文档内容
专题 2.2 基本不等式
题型一 直接法求最值
题型二 配凑法求最值
题型三 “1”的代换求最值
题型四 消参法求最值
题型五 商式求最值
题型六 对勾函数求最值
题型七 利用基本不等式证明不等式
题型八 利用基本不等式解决实际问题
题型九 基本不等式与其余知识的综合应用
题型一 直接法求最值
例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足 ，那么 的
最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，当 取最大值时，则 的值为
（ ）
A． B．2 C．3 D．4
练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数 、 满足 ，
则当 取最大值时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 （ ）的值域为
，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．12 C． D．
题型二 配凑法求最值
例3．（2023·上海·高三专题练习）函数 在区间 上的最小值为
_____________．
例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知 ，求函
数 的最小值；
（2）已知 ，求函数 的最大值.
练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是 的函数有（ ）A． B．
C． D．
练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知 ，函数
的最大值是__．
练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知 ，则
的最小值为______．
练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 对 恒成立，则a的取
值范围是__________， 的最小值为__________．
题型三 “1”的代换求最值
例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数 ， 满足 ．则 的最小
值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线 过点 ，则 的最小
值为______．
练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的
最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数 满足
，则 的最小值是（ ）A．5 B．9 C．13 D．18
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．32 C． D．
练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 ，则 的最小值
是______．
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数 ，且 ，则 的最
小值为___________.
题型四 消参法求最值
例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知 ，且 ，则 的最小值为
__________.
例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若 ，且 ，则
的最大值为___________.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）设 ，且 ，则 （ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最大值为
练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数 满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足 ，则
的最小值为______； 的最大值为______．
练习20．（2023·浙江·二模）若 ，则 的取值范围是______.
题型五 商式求最值
例9．（2023·全国·高三专题练习）设 ,则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） ；
（3） .
练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则
的最大值是（ ）A． B． C． D．
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的最小值是______．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 最大值为
______．
练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在 ，使 成
立，则 的取值范围是___________.
题型六 对勾函数求最值
例11．（2023·高三课时练习）设 ，则 的取值范围是______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于 的 的解集是 ，
则（ ）
A．
B．
C．关于 的不等式 的解集是
D． 的最小值是
练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数 的值域是 ，则函数
的值域是（ ）
A． B． C． D．练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数 的定义
域为 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于 的不等式 的解集为
，其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数
有（ ）．
A． B．
C． D．
练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 有最小值 B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则 有最大值 D．若 ，则 有最大值
题型七 利用基本不等式证明不等式
例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设 ， ， 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：
(1) ；
(2) ．练习31．已知 ， ， ，证明：
(1) ；
(2) ．
练习32．已知 ， ，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数
的最大值；
（2）已知 ，求证： ．
练习34．已知 ，且 ，求证：
(1) ；
(2) .
练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明： .
题型八 利用基本不等式解决实际问题
例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车
市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联
新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成
本 （万元），当月产量不足40台时， （万元）；当月产量不小于40台时，
（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．
例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，
它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 的十字形地
域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为 元 ；在四个相同的矩形（图中阴
影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元 ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为 元 ．受地域影响，AD的长度最多能达到 ，其余边长没有限制．
(1)设总价为 （单位：元），AD长为 （单位： ），试建立 关于 的函数关系式；
(2)当 为何值时， 最小？并求出这个最小值．
练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一
边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩
形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总
共 万件（ ），其成本为 （万元/万件），其广告宣传总费用为 万元，
若将其销售价格定为 万元/万件．
(1)将该批产品的利润 （万元）表示为 的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最
核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款
新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产 台 需要另投入
成本 （万元），当年产量 不足45台时， 万元，当年产量 不
少于45台时， 万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为
万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
(1)求年利润 （万元）关于年产量 （台）的函数关系式；
(2)年产量 为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是
多少万元？
练习39．（2022·高三课时练习）用 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通
部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．
练习40．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中
欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地
面面积为 ，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为
6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.
题型九 基本不等式与其余知识的综合应用
例17．（2023·浙江·二模）记 为正数列 的前 项和，已知 是等差数列.
(1)求 ；
(2)求最小的正整数 ，使得存在数列 ， .
18．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知平面向量 满足 且
，当向量 与向量 的夹角最大时，向量 的模为______．练习41．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）
呈现周期性变化，经研究可用 来描述，若潮差（最高水位与最低水位
的差）为3米，求 的取值范围.
练习42．（2021·北京·高三强基计划）在 中，角A，B，C的对边长分别为a，b，
c，且 ，则 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
练习43．（2023·全国·高三专题练习）若 且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习44．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在 中，若向量 在 上的投影
向量为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
练习45．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知正项等比数列 的前n项和为
，若S＝8．则 （ ）
4
A．有最小值 B．有最大值
C．小于 D．大于
