专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 新课程考试要求 (3)会解一元二次不等式. 2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数. 培养学生数学运算（例1--9）、数学建模（例9）、逻辑推理（例7）等核心数学素 核心素养 养. 1.二次函数的图象和性质及应用 考向预测 2.一元二次不等式的解法 3.一元二次不等式的恒成立问题 【知识清单】 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) . 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) . 零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点. 1 2 1 2 (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 在上单调递减； 在上单调递增； 单调性 在上单调递增 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 2.一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合 叫做这个一元二次不等式的解集. 3.三个“二次”之间的关系 （1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x) 的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ＝b2－4ac 有两个不等的实数 有两个相等的实数 求方程f(x)＝0的解 没有实数解 解不等式 解x，x 解x＝x 1 2 1 2 f(x)>0 或f(x)< 画函数y＝f(x)的示 0的步骤 意图 得不 __ { x | x < x 1 f(x)>0 {x|x≠－} R 等式 或 x > x}__ 2 的解 f(x)<0 __ { x | x < x < x }__ __∅__ __∅__ 1 2 集 3.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)kf(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 4.待定系数法的应用 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的 数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主 要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数 学表达形式，所以都可以用待定系数法求解． 使用待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决． 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程． 【考点分类剖析】 考点一 ：二次函数的解析式 例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 【规律方法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【变式探究】 （2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知二次函数 ，满足 且方程 有两个相等实根． （1）求函数 的解析式； （2）当且仅当 时，不等式 恒成立，试求 ， 的值． 考点二：二次函数图象的识别y log xa0 a1 例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数 a 且 与二次函数 ya1x2 x 在同一坐标系内的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 识别二次函数图象应学会“三看” 【变式训练】 （2019·辽宁高考模拟（理））函数y=1−|x−x2|的图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点三：二次函数的单调性问题例3.（2021·浙江高三专题练习）若函数 在 内不单调，则实数a的取值范围是 __________． 【总结提升】 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴 进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A ，即区间A一定在函数对称轴 的左侧(右侧)． ⊆ 【变式探究】 （2020·泰州市第二中学高一月考）已知函数 ， . （1）若函数 是区间 上的单调函数，求实数 的取值范围； （2）求函数 在区间 上的最小值. 考点四：二次函数的最值问题 例4. （2020·全国高一单元测试）已知二次函数 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且 在区间 上的最大值为12． （1）求 的解析式； （2）设函数 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【技巧点拨】 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称 轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【变式探究】 （2021·长春市第二实验中学高二月考（文））函数 在 上的最大值和最小值依次 是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ，考点五：二次函数的恒成立问题 例5. （2021·全国高三专题练习）已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实 数a的取值范围． 【总结提升】 由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键 1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． 2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的 依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) max ；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) min .. 3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；② 对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【变式探究】  x2 x,x0 （2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数 f x ．若存在 使得关于x的 2 x,x0 xR f xax1 不等式 成立，则实数a的取值范围是________． 考点六：二次函数与函数零点问题 f(x) x2 ax1(a 0) 例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数 . f(x) [0,) x f(x)4 （1）若 的值域为 ，求关于 的方程 的解； a2 g(x)[f(x)]2 2mf(x)m2 1 [2,1] m （2）当 时，函数 在 上有三个零点，求 的取值范围. 【规律总结】 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2 ＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． 2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题． f(x)ax2 (b2)x3 【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数 ，且-1,3是 f(x) 函数 的零点. f(x) f(x)3 （1）求 解析式，并解不等式 ; g(x) f(sinx) g(x) （2）若 ，求行数 的值域考点七：一元二次不等式恒成立问题 例7. （2021·全国高三专题练习）设函数 ．若对于 ， 恒成立， 求m的取值范围． 【总结提升】 由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键 1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． 2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的 依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) max ；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) min .. 3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；② 对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数 f x x2 x1，若在区间1,1上， 不等式 f x2xm恒成立，则实数m的取值范围是___________． 考点八：二次函数的综合应用 例8．（2021·上海高三二模）已知函数 ( 为常数， ). （1）讨论函数 的奇偶性； （2）当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围. 【总结提升】 对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方 程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一 ahx ahx ah x ah x 种手段．通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 max 或 min 即可，利用 h x h x 导数知识结合单调性求出 max 或 min 即得解. 【变式探究】 f(x) g(x) （2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数 f(x) x2 (m2)xm， x ，且函数 y  f(x2) 是偶函数.g(x) （1）求 的解析式；  1  ,1   （2）若不等式g(lnx)nlnx�0在e2 上恒成立，求n的取值范围； 例9.（山东省青岛市春季高考二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在 国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市 场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场 价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏 不能出售. （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关 系式； （2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购 成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【重点总结】 解答函数应用题的一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【变式探究】 （2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点. v 研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是 x 0 x4 v 4 x20 v x 养殖密度 （单位：尾/立方米）的函数.当 时， 的值为2千克/年；当 时， 是 的 x20 v 一次函数；当 时，因缺氧等原因， 的值为0千克/年. 0 x20 v x （1）当 时，求 关于 的函数表达式. x （2）当养殖密度 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.