文档内容
专题 1.4-6 解直角三角形及其应用
一、基础知识点
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元
素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
3.解直角三角形的应用
4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面
的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发
的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
5.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
二、热门考点训练
考点1：解直角三角形典例：（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，在 中， ， ，
，求AC的长及 的正切值．
方法或规律点拨
本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键．
巩固练习
1．（2022·上海黄浦·九年级期中）已知：在 中， ，则BC的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个
2．（2022·上海·九年级期中）在Rt 中， ，如果 ， ，那么AC的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级期中）在 中， ， ， ，则
的长是（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面
图的一部分可抽象为线段 ，已知坡长 为m米，坡角 为α，则坡 的铅垂高度 为
（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米5．（2022·江苏·星海实验中学九年级期中）在 中， ， ， 是 边上的高，
，则 的长为______．
6．（2022·上海市市北初级中学九年级期中）如图，△ABC中， ，垂足H在BC边上，如果
， ， ，那么 ___（用含 和 的式子表示）．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级期中）在 中， ， ， ，则
的值为___________
8．（2022·江苏·星海实验中学九年级期中）如图，在平行四边形 中， 于点 ，
于点 ，平行四边形 的周长为 ，面积为 ， ．求：
(1) 的长；
(2) 和 的值．
9．（2022·上海市田林第三中学九年级期中）如图，已知 中， 是边 上的中线，
， ，求 的长．
10．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，在 中， ．已知 ， ，求 ， 和 的值．（参考数据 ， ， ，结果精确到0.1）
11．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，已知在 中，
于点D， ，
(1)求 的长；
(2)如果 过 的中点E，且满足 ，求 的正切值．
考点2：解非直角三角形
典例：（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求
．
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
巩固练习1．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在 中， ， ， ， 平分
交 于点 ，则线段 的长为
A． +1 B．2 C． D． -
2．（2022·全国·九年级单元测试）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转
90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
3．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则
△
AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2022·山东·临淄区淄江中学九年级阶段练习）在△ABC中， ， ， ，则______________．
5．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2 ，
则AB＝___．
6．（2022·安徽安庆·九年级期末）已知锐角 中， ， ，则 的长为_______．
7．（2022·江苏常州·九年级专题练习）在锐角 ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2 ，BC＝6，则∠B的正切
△
值为________．
8．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）△ABC中，∠B为锐角，cosB＝ ，AB＝ ，AC＝2，则
∠ACB的度数为________．
9．（2022·上海·九年级单元测试）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___．
10．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习） 中， ， ， ，
求 边的长度．
11．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，求
的面积．
12．（2022·天津河北·一模）如图，小明、小华分别位于一条笔直公路PQ上的两点A，B处，点C处为一
超市．测得 ， ，A，B之间距离为3.8km，求小明、小华分别距离超市多少千米（结果保留小数点后一位）．
参考数据： ， ， ， ， ， ．
考点3：仰角俯角问题
典例：（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级期中）长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥
属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图 是大桥的实物图，图 是大桥的示意图．假设你站在桥上
点 处测得拉索 与水平桥面的夹角是 ，点 处距离大桥立柱 底端 的距离 为 米，已知大
桥立柱上 点距立柱顶端 点的距离 为 米，求大桥立柱 的高． 结果精确到 米 参考数据：
， ，
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的
仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（ ）
A． 米 B． 米 C．50sin40°米 D．50cos40°米2．（2022·福建·泉州五中九年级期中）如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面
上的影子分别是 、 ，坡面的坡度 ，测得 米， 米，在D处测得电线杆顶端A
的仰角为 ，则电线杆 的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
3．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空
中沿 方向水平飞行进行航拍作业， 与 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 处时、测得景点
的俯角为 ，景点 的俯角为 ，此时 到地面的距离 为 米，则两景点A、B间的距离为多少
米（结果保留根号）．（ ）
A．200米 B．300米 C． 米 D． 米
4．（2022·山东威海·九年级期中）小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端
C的仰角为30°，测倾器到旗杆底部的距离 为12米，测倾器的高度 为1.6米，那么旗杆的高度
为__________米（结果保留根号）．
5．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅 ，现在乙建筑物的顶部 测得条幅顶端A的仰角为 ，条幅底端
B的俯角为 ，已知街道宽 ，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号）
6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，
他测得仰角为 ；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为 ，若小明
的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．
7．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）如图，为了测量旗杆的高度 ，在离旗杆底部
米的 处，用高 米的测角仪 测得旗杆顶端 处的仰角 为 ．求旗杆 的高．（精确到
米） 参考数据： ， ，
8．（2022·山东·巨野县教学研究中心九年级期中）如图，张华同学在他学校某建筑物的C点处测得旗杆顶
部A点的仰角为 ，旗杆底部B点的俯角为 ，若旗杆底部B点到建筑物的水平距离 米，旗杆台
阶高1米，求旗杆顶点A离地面的高度（结果保留根号）．9．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定
测量小河对面一幢建筑物 的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B的仰角为 ，且D离地
面的高度 为9米，坡底的长度 米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为 ，点E，A，C在
同一水平线上，求建筑物 的高度．（结果精确到1米，参考数据： ）
10．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的
一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的
高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37 ，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰
角是 ，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：
， ， ）
11．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在
学生进校前进行体温检测．某学校大门 高6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效
识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为 ，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄像头A的仰角为 ，求体温检测有效识别区域 段的长（结果保留根号）
12．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高
楼顶部的仰角为60°看这栋高楼底部的俯角为30°热气球与高楼的水平距离 为120米，请问：这栋高楼
的楼高 为多少米?（ ，结果精确到0.1米）
13．（2022·山东·临沂第二十七中学八年级期中）如图，学校科技小组，计划测量一处电信塔的高度，小
明在A处用仪器测到D的仰角 ，向塔正前方水平直行 到达点B，测到塔尖的仰角
，若小明的眼睛离地面 ，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．14．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）端午节赛龙舟，小红在河畔的一幢楼上看到一艘龙
舟迎面驶来，她在高出水面30m的A处测得在C处的龙舟俯角为 ；她登高15m到正上方的B处测得驶
至D处的龙舟俯角为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据： ，
， ， ）
15．（2022·上海·九年级专题练习）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；
（2）量得测角仪的高度 ；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 ．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为________．
16．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡 的坡度为 ： ，坡面长 米， ，
现计划在斜坡中点 处挖去部分坡体 用阴影表示 修建一个平行于水平线 的平台 和一条新的斜坡
请将下面两小题的结果都精确到 米，参考数据： ．(1)若修建的斜坡 的坡角 即 恰为 ，则此时平台 的长为______米；
(2)坡前有一建筑物 ，小明在 点测得建筑物顶部 的仰角为 ，在坡底 点测得建筑物顶部 的仰
角为 ，点 、 、 、 、 在同一平面内，点 、 、 在同一条水平直线上，问建筑物 高为
多少米？
考点4：与方位角有关的问题
典例：小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道 进行实地测量．如图所示，他在地
面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 方向上，他沿西北方向前进 米后到达点D，此时测得
点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道 的长度．（结果保留根号）
方法或规律点拨
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关
键．
巩固练习
1．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从
A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（ ）A． 海里 B． 海里 C．40海里 D． 海里
2．山西省阳曲县青龙古镇，是全国传统古村和全省十大新锐景区，交通十分便利．周末，张老师一家自
驾到该镇（记为点A）游玩，到达B地后，手机导航显示，该镇恰好在B地的正北方向，前面路况出了问
题，车辆应沿北偏西60°方向行驶6km至C地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇．则C，A两地
的距离是______km．
3．一艘轮船以 千米时的速度向正东方向航行，到达 点时测得小岛 在点 北偏东 方向；继续航
行一小时到达 点，这时测得小岛 在点 的东北方向；再继续航行______小时，轮船刚好到达小岛 的
正南方向．
4．一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔30海里的 处，它沿北偏东 方向航行一段时间后，
到达位于灯塔 的北偏东 方向上的 处，此时与灯塔 的距离约为________海里．（参考数据：
， ， ）5．期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着
正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．
(1)求 的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地
南偏东 走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，
问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：
）．
6．如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的 处巡逻．突然接到基地A命令，
要该快艇前往 岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知 岛在基地A的南偏东 的方向，且在 处
南偏东 的方向，巡逻快艇从 处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的
医院？（参考数据： ， ）7．九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了
220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方
向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．
(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．
(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据： ， ， ]
【答案】(1)从手工坊D处回到门口A处的距离为100米；
(2)从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东 ．
【分析】（1）作出如图的辅助线，利用三角形函数先求得 、 的长，推出 米，
米，再利用勾股定理求解即可；
（2） 中，求得 ，据此即可求解．
【详解】（1）解：过点D作 于点E，过点D作 于点F．
则四边形 是矩形，
∴ ， ，根据题意， 米， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得
从手工坊D处回到门口A处的距离为100米；
（2）解： 中， ，
所以 ，
所以 ，
所以从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
8．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到
河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的
方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）
9．公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道 ，但为了让市民朋友多角度欣赏公园
景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西 方
向， 米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西 方向，甲工程队以每天 米的速
度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天 米的速度加入项目建设，直到两队起完
成景观步道的修建．（参考数据： ≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；
(2)新的景观步道能否在 天内完成？请说明理由．
10．如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正
东方向， 米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， 米．点B在点A的
北偏东 ，点D在点E的北偏东 ．
(1)求步道 的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点
D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据： ， ）
11．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏
东 方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东 方向上．（参考数据：
， ， ， ．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东 的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
12．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A
的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：
， ， ）
(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；
(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说
明理由．
13．小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的
银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在
北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
14．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东 方向，1小时后
渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据： ，
， ．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？
15．如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的
B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段
时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精
确到0.1海里， ≈1.732， ≈1.414， ≈2.449）
16．如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得
小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点B的距离．17．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PBA=36.9°，同时，巡逻船B观测到
∠PAB=67.5°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据sin36.9°≈ ，
tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ）
考点5：坡角坡比问题
典例：（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平
行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度
AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线是解题的关键．巩固练习
1．（2022·山东·巨野县教学研究中心九年级期中）在坡度为 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水
平距离）是 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）米.
A．3 B．12 C． D．
2．（2022·福建·泉州五中九年级期中）如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面
上的影子分别是 、 ，坡面的坡度 ，测得 米， 米，在D处测得电线杆顶端A
的仰角为 ，则电线杆 的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
3．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）某人沿着坡度为1：2的山坡前进了 米，则此人所在
的位置升高了（ ）
A．100米 B． 米 C．50米 D．
4．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的坡度是 ，
堤坝高 cm，水平宽度 的长度（ ）
A．100cm B． cm C．150cm D． cm5．（2022·江苏无锡·九年级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的
坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
6．（2022·山东·泰山外国语学校九年级阶段练习）如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间
的水平距离AC为6m， ，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）
A．1m B．9m C． D．
7．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ，若它
把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）如图所示，一水库迎水坡 的坡度 ，则求坡角
的正弦值 ______．9．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，斜坡 的坡度是 ，如果点B离地面的高度 是
3米，那么斜坡 的长度是_____________米．
10．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，某仓储中心有一斜坡，斜坡顶部A处的高
为2米， 在同一水平面上，若该斜坡的坡度 ，则该斜坡的水平宽度 为_________米．
11．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）如图，水库大坝横截面的迎水坡坡度（即 与 的长度之
比）为 ，背水坡（即 与 的长度之比）为 ，大坝高 ．坝顶宽 ，求大坝横
截面的周长．
12．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山
坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为
30°．已知山坡坡度 ，即 ，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ．（结果精确到0.1m，参
考数据： ）13．（2022·上海·九年级专题练习）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度．如图所示，
测得斜坡 的坡度 ，坡底AE的长为8米，在B处测得树 顶部D的仰角为30°，在E处测得树
顶部D的仰角为60°，求树高 ．（结果保留根号）
14．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的
重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场
的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点
测得 点与塔底 点的距离为 ，李华站在斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡度 ，坡面
长 ，李华在坡顶 处测得轮毂 点的仰角 ，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架 的高度． 结果精确到 ，参考数据 ， ， ，
，
15．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡 上进行跑步训练．在训练过程中，
始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为 ，距水平地面的高度总为 （在直线
上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知 ，斜坡 的坡度 ： ，
斜坡 的坡角为 ．
(1)点 坐标为______， 段 关于 的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡 上的跑步速度是______ ，并求 段 关于 的函数解析式；
(3)若小明沿 方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据： ，
， ）
考点6：解直角三角形的其它应用问题
典例：（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学
的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知 ， ．(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身
高 为 ，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为 ，求此时
的距离．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
）
方法或规律点拨
本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为45°，若
窗高 米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则在A处搭建的挡板AC（垂直于AB）的
长最少应为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．1.5米
2．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若
索道AC和地面AB的夹角为 ，则索道的落差BC可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底
座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长 ，支撑板长，托板 固定在支撑板顶端点C处，且 ，托板 可绕点C转动，支撑板
可绕点D转动．
（1）若 ， ，求点A到直线 的距离为________；
（2）为了观看舒适，保持 ，在（1）的情况下，将 绕点D顺时针旋转，使点B落在直线
上即可，求 旋转的角度为________．
4．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，在 中， ， ，
，点 、 分别是边 、 上的点，且 ，将 沿 对折，若点 恰好落到了
的外部，则折痕 的长度范围是______．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体
数据如图所示（单位：cm），且AC=BD，AF BE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱
盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点 ， ， 的位置，气簧活塞杆CD
随之伸长 ．已知直线BE⊥ ， =2CD，那么AB的长为 ____cm， 的长为 ____cm．6．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款
红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，
是水平地面，其中 是测温区域，测温仪安装在竖直标杆 上的点D处，若该测温仪能识别体温的
最大张角为 （即 ），能识别体温的最小张角为 （即 ）
(1)当设备安装高度 为2米时，求测温区域 的长度；（结果保留根号）
(2)为了达到良好的检到效果，该公司要求测温区 的长不低于 米，则设备的最低安装高度 约是
___________米．（结果保留1位小数，参考数据： ， ）
7．（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左
边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠
在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm， ，ED长度约为21cm．求
出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．（点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．
参考数据： ， ， ）8．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图， 、 分别表示地面
和墙壁的位置， 表示垂直于地面的栏杆立柱， 、 是两段式栏杆，其中 段可绕点O旋转，
段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触
到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时 ， 段与竖直方向夹角为 ．已知立柱宽度为
，点O在立柱的正中间， ， ， ．
(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；
(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留 的安全距离，问一辆最宽处
为 ，最高处为 的货车能否安全通过该入口？（本小题中 取 ）
9．（2022·山东潍坊·九年级期中）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水
平位置升起．图2是其示意图，其中 ， ， ， ， ，现由
于故障， 不能完全升起， 最大为 ．(1)求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
(2)若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据： ， ， ）
10．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，湖边 、 两点由两段笔直的观景栈道 和 相连.为了计算 、
两点之间的距离，经测量得： ， ， 米，求 、 两点之间的距离．（参
考数据： ， ， ， ， ， ）
11．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）综合与实践
小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高
度角（即正午太阳光线与地平面的夹角）为 ，冬至日的正午太阳高度角为 ，小明家的玻璃窗户
高为 ，在 点上方 的 处安装与墙垂直的宽为 的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩（
可变化）；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求
可伸缩的遮阳蓬 宽度的范围．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
， ， ， ）12．（2022·上海·九年级专题练习）超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度
都是 米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手 ， 是两根与地平线 都垂直的
支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（参考数据： ， ， ，
）
(1)求点B与点C离地面的高度差 的长度；
(2)如果支撑杆 、 的长度相等，且 ．求扶手 的长度．
13．（2022·上海·九年级专题练习）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，
降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“ ”的度数处于 到 之间
时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，
小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价
比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少 ，
今年这款激光电视每台的售价是多少元？
14．（2022·上海领科双语学校九年级期中）如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机
的双翼 和 成轴对称， 和 均垂直于地面，双翼边缘的端点 与 在同一水平线上，且它
们之间的距离为 ，双翼边缘 ，且与闸机侧立面夹角 ．
(1)求闸机通道宽度，即 和 之间的距离；
(2)经实践调查， ： 至 ： 该公园入园游客较多，图 为该公园 ： 至 ： 每一小时为一个时
段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数
据的平均数为 人．
①求出 ： ： 时段的入园游客人数；
②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过 人”或“在园内游客总数超过 人”的
对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别
说明原因．
15．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，
小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户
改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，
如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为
0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据
（tan60°= ≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太
阳照射到室内区域面积为___________ ．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
三、效能测试（50分）
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东青岛·九年级期中）如图， 是线段AB在投影面P上的正投影， ，
，则投影 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为 ，
，则两脚张开的距离AB为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·上海黄浦·九年级期中）在 中， ，那么下列各式中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北沧州·九年级期末）如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，
且点B在点A正南方向，由点 向正西方向走a米到达点 ，此时测得点 在点A的南偏西 方向上，
则河宽 的长为( )．
A．a 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2022·吉林·长春经济技术开发区洋浦学校九年级期中）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．
已知A、B两点之间的距离为35米， ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．35sin 米 B． 米 C．35cos 米 D． 米6．（2022·陕西·西安市第二十六中学九年级期中）如图，在矩形 中， ，直线l与
分别相交于点E，F，P，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·上海奉贤·九年级期中）在 中， ， ， ______．
8．（2022·山西临汾·九年级期中）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三
角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积
与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则 ＝_____．
9．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测
得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西
60°方向，此时轮船与小岛的距离 为________海里．10．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学
楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么
教学楼的高 ________米．（结果保留根号）
11．（2022·湖南岳阳·中考真题）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广
场点 处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道 为东西方向，赛道起点 位于点 的北偏西 方向
上，终点 位于点 的北偏东 方向上， 米，则点 到赛道 的距离约为______米（结果保留
整数，参考数据： ）．
12．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度，沿旗杆正前方
2 米处的点B出发，沿斜面坡度i=1: 的斜坡BC前进4米到达点C，在点C处安置测角仪，测得旗杆
顶部E的仰角为37°，量得仪器的高CD为1.5米，已知A、B、C、D、E在同平面内，AE⊥AB，
AE∥CD，则旗杆AE的高度是_________米．（参考数据： ， ， ，
，计算结果精确到1米）0
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
点A的坐标为 ．
(1)求点B的坐标；
(2)求 的值．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为
2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座
垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，
∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面
的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， ）15．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）“太阳鸟”是某市文化广场的标志性雕塑.某“数
学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得
到了以下信息：
信息一：在H处用高1.5米的测角仪BH，测得最高点A的仰角为30°．
信息二：在F处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得 米，点D、F、H在同一条直线上．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)在 中， ________（填 、 或 ），∴ ________．
(2)设 米，则 ________米（用含x的代数式表示）米， ________米（用含x的代数式表
示）．
(3)“太阳鸟”的高度AD约为多少米？（精确到0.1， ）
