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专题 1.3 直角三角形
直角三角形的性质
【例1】如图， 中， ， 于点 ，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． ，
，故本选项不符合题意；
． ，
，
，
，
，故本选项不符合题意；
． ，
，
，
，
，故本选项不符合题意；
．根据已知条件不能推出 ，故本选项符合题意；
故选： ．
【变式训练1】有下列说法：①任何数的零次幂都等于1；②直角三角形中的两个锐角互余；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中
正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：说法①，0除外的任何数的零次幂都等于1，不符合题意；说法②，因为直角三角形一个角为直角，三角形内角和为 ，所以两锐角之和为 ，
即两锐角互余，符合题意；
说法③，两直线被第三条直线所截，在两直线平行的条件下，同位角会相等，不符合题意；
说法④，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】在 中， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
又 ，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中，点 在边 上（不与点 ，点 重合），
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【解答】解： ． ，
，
，
，
，
只有当 时， ，故错误；
． ，
，，
，
，
即 ，故正确；
． ， ，
垂直平分 ，
而 不一定等于 ，故错误；
．根据 ， ，无法证明 ，故错误，
故选： ．
直角三角形30°
【例2】如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上，
．若 ，则 的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：过点 作 于点 ，
， ， ，
，
， ， ，
，
．
故选： ．【变式训练1】如 图 ， 中 ， ， 于 点 ， 若 ，
，则 的面积为
A．12 B．24 C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
， ，
，
的面积为 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中， ， ，过点 作 ，交 边
于点 ，若 ，则 的长为A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图， 中， ， ， ，点 是 边上的动点，
则 长不可能是
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
【解答】解： ， ， ，
，
点 是 边上的动点，
，
的值不可能是3.5
故选： ．
折叠问题（勾股定理）
【例3】如图， 中， ，沿 折叠 ，使点 恰好落在 边上的点
处，若 ，则 等于A． B． C． D．
【解答】解： 中， ， ，
，
由折叠的性质可得： ， ，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图所示，将长方形 沿 折叠，使点 恰好落在 边上，得到点
，若 ，求 的度数．
【解答】解：由题意得 ，
，
，
，
．
【变式训练2】如图，已知 中， ， ， ．沿 折叠，使
得点 与点 重合，则折痕 的长为 2 ．
【解答】解：由题意可得， 平分 ，
又 ，
可得则 ．
故答案为2
【变式训练3】小明拿一张如图的直角三角形纸片 ，其中 ，他将纸片沿
折叠，使点 与点 重合， ，则 的度数为 ．
【解答】解： ，
， ，
由翻折的性质得， ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
直角三角形的判定（HL）
【例4】下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是
A．一条直角边和它的对角分别相等
B．斜边和一条直角边分别相等
C．斜边和一锐角分别相等
D．两个锐角分别相等
【解答】解： 、根据 或 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题
意；
、根据 可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；
、根据 或 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；
、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选： ．【变式训练1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是
A．三边对应相等 B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
【解答】解： 、三边对应相等，利用 能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由 不能判定它们全等，故本选项符
合题意；
、一条直角边和斜边对应相等，利用 能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用 能证明两三角形全等，故本选
项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列条件不能判定两个直角三角形全等的是
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【解答】解： 、根据 定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不
符合题意；
、根据 定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、根据 定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列说法错误的是
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．三角分别相等的两个三角形全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【解答】解： ．三边分别相等的两个三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意；
．三角分别相等的两个三角形全等，说法错误，故本选项符合题意；
．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意；
．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意；
故选： ．命题与定理
【例5】下列命题中是假命题的是
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等边对等角
【解答】解： 、全等三角形的对应角相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项说法是假命题，符合题意；
、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
、等边对等角，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列命题中真命题有几个
①三角形的任意两边之和都大于第三边；②三角形的任意两角之和都大于第三个角；③同
位角都相等；④若 ，则 ；⑤相等的角都是直角；⑥同角的补角不一定相等；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①三角形的任意两边之和都大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
②三角形的任意两角之和不一定大于第三个角，如直角三角形，故原命题错误，是假命题
不符合题意；
③两直线平行，同位角都相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若 ，则 ，正确，是真命题，符合题意；
⑤相等的角不一定都是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑥同角的补角一定相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
真命题有2个，
故选： ．
【变式训练2】下列命题中，是真命题的是
A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角
B．如果点 的坐标满足 ，那么点 一定在第二象限C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等
D．如果一个等腰三角形的一个内角为 ，那么这个三角形是等边三角形
【解答】解： 、三角形的外角大于该三角形任意一个不与它相邻的内角，原命题是假命
题；
、如果点 的坐标满足 ，那么点 不一定在第二象限，可能在第四象限，原
命题是假命题；
、如果两个直角三角形，有两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等，原命
题是假命题；
、如果一个等腰三角形的一个内角为 ，那么这个三角形是等边三角形，是真命题；
故选： ．
【变式训练3】有下列命题：某中正确的有
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于 的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①
错误；
②直角三角形两锐角互余，所以②正确；
③有一个外角等于 的等腰三角形，则这个等腰三角形有一个 的内角，所以它是等
边三角形，所以③正确；
④三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以④错误．
故选： ．
证明题
【例6】如图，点 、 在 的边 上，连接 、 ．① ；② ；
③ ．以此三个等式中的两个作为条件，另一个作为结论，构成三个命题：①②
③；①③ ②；②③ ①．
（1）以上三个命题是正确的为 （直接作答）；
（2）请选择其中一个正确的命题，并说明理由（先写出所选命题，然后说理）．【解答】解：（1）以上三个命题是正确的为：①② ③；①③ ②；②③ ①，
故答案为：①② ③；①③ ②；②③ ①；
（2）选择①③ ②，
证明： ，
，
在 和 中，
，
，
．
【变式训练1】如图，在 中， ， 、 分别是 与 的平
分线，并交于点 ．
（1）若 ，则 4 ；
（2） 的度数．
【解答】解：（1） 平分 ， ，
，
在 中， ， ，
，故答案为：4；
（2）在 中， ，
则 ，
、 分别是 与 的平分线，
， ，
．
【变式训练2】如图，在 中， ， 于 ．
（1）若 ，求 和 的度数；
（2）若 ，求 与 的度数．
【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
，
；
（2） 中， ， ，
，
，
．
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 平分 ．
（1）求 ；
（2）若 于点 ， ，证明： 是直角三角形．
【解答】（1）解： ， ，
，平分 ，
；
（2）证明： ；
，
，
，
，
，
是直角三角形．
