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专题 11 一次函数的基本性质
题型一 函数的概念与基本性质
1．下列各曲线中表示 是 的函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量 、 ，一个量变化，另一个量也随之变化，当 每取一个
值， 就有唯一的值与之相对应，这时我们就把 叫做自变量， 叫做因变量， 是 的函数，
只有选项 中的“ 每取一个值， 才有唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“唯一相对应”的，
故选： ．
2．下列曲线中不能表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量 、 ，一个量变化，另一个量也随之变化，当 每取一个
值， 就有唯一的值与之相对应，这时我们就把 叫做自变量， 叫做因变量， 是 的函数，
只有选项 中的“ 每取一个值， 不是唯一值与之相对应”，其它选项中的都是“有唯一相对应”的，
所以选项 中的 表示 的函数，
故选： ．
3．下列式子中， 不是 的函数的是A． B． C． D．
【解答】解： 、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ， 是 的函数，故此选项不合题意；
、 ， 不是 的函数，故此选项符合题意；
故选： ．
4．函数 的自变量 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【解答】解：由题意可得： ，
解得： 且 ，
故选： ．
5．下列曲线中，表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 图中，对于 的每一个取值， 可能有两个值与之对应，不符合题意；
图中，对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，符合题意；
图中，对于 的每一个取值， 可能有两个值或三个值与之对应，不符合题意；
图中，对于 的每一个取值， 可能有两个值与之对应，不符合题意；
故选： ．6．某图书馆的租书收费的相关费用有两种形式，其中一种为月租费，另一种为无月租费．这两种收费方
式的 （元 与 （次数）之间的函数关系如图所示．明明根据图象得出下列结论：
① 描述的是无月租费的收费方式．
② 描述的是有月租费的收费方式．
③当每月租书的次数为30次时．两种收费方式花费一样多．
④琳琳的家人都爱看书，一个月租书次数达到50次，她选择 较为划算．
其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 当 时， ， ，
描述的是无月租费的收费方式， 描述的是有月租费的收费方式，故①②正确；
当 时， ，
当每月租书的次数为30次时．两种收费方式花费一样多，故③正确；
当 时， ，
选择 比较便宜，较为划算，故④错误；
故选： ．
7．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）
0 10 20 30
温度
318 324 330 336 342 348
声速下列说法错误的是
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．当空气温度为 时，声速为
C．温度越高，声速越快
D．当温度每升高 ，声速增加
【解答】解： 选项，在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，故该选项正确，不符合题意；
选项，查看表格，可知该选项正确，不符合题意；
选项，随着温度的增高，声速越来越快，故该选项正确，不符合题意；
选项，从 到 ，声速增加了 ，故该选项错误，符合题意；
故选： ．
8．某公司为了激发员工工作的积极性，规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过 件，则每件3元，
超过 件，超过的部分每件 元．如图是一名员工一天获得的薪金（元 与其生产的产品件数 之间的函
数关系图象，则下列结论错误的是
A．
B．
C．若该员工一天获得的薪金是180元，则其当天生产了50件产品
D．若该员工一天生产了46件产品，则其当天获得的薪金是160元
【解答】解：由题意和图象可得，
，故选项 正确，不符合题意；，故选项 正确，不符合题意；
若该员工一天获得的薪金是180元，则他共生产产品： （件 ，故选项 正确，
不符合题意；
若该员工一天生产了46件产品，则其当天获得的薪金是： （元 ，故选项 错误，
符合题意，
故选： ．
9．下列图象中，能表示 是 的函数的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量 的任何值， 都有唯一的值与之相对应，
所以能表示 是 的函数是前三个图．
故选： ．
10．下列式子中，能表示 是 的函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的定义可知：
只有函数 ，当 取值时， 有唯一的值与之对应；
故选： ．
题型二 一次函数和正比例函数的定义
11．一次函数 的图象经过点 ，每当 增加1个单位时， 增加3个单位，则此函数表达式
是A． B． C． D．
【解答】解；由题意可知一次函数 的图象也经过点 ，
，
解得
此函数表达式是 ，
故选： ．
12．下列函数关系式中，属于一次函数的是
A． B．
C． 、 是常数） D．
【解答】解： ．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；
．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；
．当 时，不是一次函数，故本选项不符合题意；
．是一次函数，故本选项符合题意；
故选： ．
13．若函数 是一次函数，则 的值为
A． B．2 C． D．
【解答】解： ，
，
又 ，
，
，
故选： ．14．已知函数 是正比例函数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 是正比例函数，
， ．
解得； ， ．
故选： ．
15．已知 与 成正比例，且 时， ．求 关于 的函数表达式．
【解答】解：设 是常数且 ，
将 ， 代入 得 ，
解得 ，
所以 ．
16．若 与 成正比例，且 时 ，求 与 的函数表达式．
【解答】解： 与 成正比例，
设 ，
将 ， 代入得： ，解得 ，
所以， ，
所以 与 的函数表达式为： ．
17．如图，直线所对应的一次函数的表达式是： ．【解答】解：设一次函数解析式为： ，
由题意得， ，
解得， ，
则一次函数解析式为 ，
故答案为： ．
题型三 一次函数的图像和系数的关系
18．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴的负半轴相交于 、 ，则下列结论
一定正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
， ，
．
故选： ．
19．若一次函数 的值随 值的增大而增大，则常数 的取值范围是 ．【解答】解： 一次函数 的值随 值的增大而增大，
，
解得， ；
故答案是： ．
20．一次函数 的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，请写出 的取值范围 ．
【解答】解： 次函数 的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，
．
．
故答案是： ．
21．已知一次函数 的图象如图所示，则 可取的整数有
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图，一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则 ．
解得 ．
所以 可取的整数有： 、0、1、2，共有4个．
故选： ．22．一次函数 与 ， 为常数，且 ，它们在同一坐标系内的图象可能为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，故
此选项不可能；
、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，故
此选项不可能；
、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，故
此选项有可能；
、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，故
此选项不可能；
故选： ．
23．如果一次函数 的图象经过第一、三、四象限，那么 、 应满足的条件是A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且
【解答】解：由一次函数 的图象经过第一、三、四象限，得 ， ．
故选： ．
24．若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 是正比例函数，
．
又函数 的图象是 随 的增大而减小，
．
观察选项，只有选项 符合题意．
故选： ．
25．当直线 经过第一、三、四象限时，则 的取值范围是 ．
【解答】解： 经过第一、三、四象限，
．
解得 ．
故答案是： ．
26．已知一次函数 ．
（1）当 为何值时， 随 的增大而增大？
（2）当 为何值时，函数图象经过原点？
（3）若图象经过一、二、三象限，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 随 的增大而增大，
，
解得： ；（2） 函数图象经过原点，
，
解得： ；
（3） 图象经过一、二、三象限，
，
解得：
27．已知一次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得
，
解得 ．
故选： ．
题型四 一次函数的图像和性质的运用
28．一次函数 的图象经过点 ， ，则以下判断正确的是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解： 一次函数 ，
随 的增大而增大，
、 是一次函数 图象上的两个点， ，
．
故选： ．29．一次函数 的图象过点 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
随 的增大而增大，
，
．
故选： ．
30．点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于
A．5 B． C．7 D．
【解答】解： 点 在一次函数 的图象上，
，
，
即代数式 的值等于 ．
故选： ．
31．若直线 的解析式为 ，则下列说法正确的是
A．直线 与 轴交于点 B．直线 不经过第四象限
C．直线 与 轴交于点 D． 随 的增大而增大
【解答】 、当 时， ，
直线与 轴交于点 ，不符合题意；
、 ， ，
直线经过第一、二、四象限，不符合题意；
、当 时， ，解得： ， 直线与 轴交于点 符合题意；
、 ，
随 的增大而减小，不符合题意．
故选： ．
32．一次函数 的图象过点 ，且 随 的增大而增大，则 的值为
A． B． 或2 C．1 D．2
【解答】解：根据题意得 且 ，
解得 ．
故选： ．
33．已知一次函数 过点 ，则下列结论正确的是
A． 随 增大而增大
B．
C．直线过点
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【解答】解：把点 代入一次函数 ，得，
，
解得 ，
，
、 ， 随 增大而减小，选项 不符合题意；
、 ，选项 不符合题意；
、当 时， ，解得： ，
一次函数 的图象与 轴的交点为 ，选项 符合题意；
、当 时， ，与坐标轴围成的三角形面积为 ，选项 不符合题意．
故选： ．题型五 一次函数的图像的平行、旋转
34．将一次函数 的图象平移后经过点 ，这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是
水平 向左移动 个单位 ．
【解答】解：设水平向右平移 个单位，则平移后直线方程是 ，
把 代入，得 ，
解得 ．
即将一次函数 的图象水平向左移动 个单位后经过 ，
故答案是：向左移动 个单位．
35．函数 的图象向下平移3个单位，所得新图象的函数表达式是 ．
【解答】解：因为函数 的图象向下平移3个单位，
所以所得新图象的函数表达式是 ．
故答案为： ．
36．如图，已知一条直线经过点 ， ，将这条直线向右平移与 轴、 轴分别交于点 、 ，
若 ，则直线 的函数表达式为 ．【解答】解：设直线 的解析式为 ，
点 点 在直线 上，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
直线 的函数解析式为： ，
故答案为： ．
37．将一次函数 的图象向上平移5个单位．
（1）求平移后的一次函数表达式；
（2）若点 和点 都在平移后的一次函数图象上，求 的值．
【解答】解：（1）一次函数 的图象沿着 轴向上平移 5 个单位所得函数解析式为：，即 ．
（2） 点 和点 在该一次函数的图象上，
，
解得： ．
38．在平面直角坐标系 中，将函数 图象向右平移5个单位长度，则平移后的图象与 轴、
轴分别交于 、 两点，则 的面积为 2 4 ．
【解答】解：根据题意知，平移后直线方程为 ．
所以 ， ．
故 ， ．
所以 ．
故答案是：24．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，点 的横坐标为3，直
线 交 轴于点 ，且 ．
（1）试求直线 的函数表达式；
（2）若将直线 沿着 轴向左平移3个单位，交 轴于点 ，交直线 于点 ．试求 的面积．【解答】解：（1）根据题意，点 的横坐标为3，代入直线 中，
得点 的纵坐标为4，即点 ；
即 ，又 ．
即 ，且点 位于 轴上，
即得 ；
将 、 两点坐标代入直线 中，得 ；
；
解之得， ， ；
即直线 的解析式为 ；
（2）根据题意，平移后的直线 的直线方程为 ；即点 的坐标为 ；
联立直线 的直线方程，解得 ， ，
即点 ， ；
又点 ，如图所示：
故 的面积 ．
40．将直线 沿 轴向上平移4个单位的到 ，则 与 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解： 将直线 沿 轴向上平移4个单位的到 ，
的解析式为： ，
与 轴交于 ，
如图， 与 轴交于 ，与 轴交于 ，
与 轴交于 ，与 轴交于 ，
，过 作 于 ，反向延长 交 于 ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
与 的距离为 ，
故选： ．
41．如图：一次函数 交 轴于 ，交 于 ， 交 轴于 ，直线 顺时针旋
转 得到直线 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求四边形 的面积；
（3）求直线 的解析式．【解答】解：（1）由 ，解得 ，
．
