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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 17 平行线的性质和判定
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·开化期末）下列命题是真命题的是（ )
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【完整解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误；
B、等腰三角形有锐角三角形，也有钝角三角形，错误；
C、 两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等 ，错误；
D、 角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，正确；
故答案为：D.
【思路引导】根据平行线的性质判断A；利用等腰三角形的性质和三角形内角和分析判断B；根据全等三
角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质定理判断D.
2．（2分）（2021八上·丹东期末）如图，① ，② ，③ ，④
可以判定 的条件有（ ）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【完整解答】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定 ；
②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定 ；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定 ；
④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定 ；
即①②④可判定 ．
故答案为：A．
【思路引导】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
3．（2分）（2021八上·宝安期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光
源P点照射到抛物线上的光线 等反射以后沿着与直线 平行的方向射出，若 ，
，则 的度数为（ ）°
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：故答案为：C
【思路引导】根据平行线的性质可得 ，再利用角的运算可得
。
4．（2分）（2021八上·天桥期末）如图，直线a∥b，将含有45°的三角板ABC的直角项点C放在直线b
上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．10° B．15° C．25° D．20°
【答案】D
【完整解答】解：过点B作 ，则 ，
∴ ， ，
由题意可得： ，
∴ ，
故答案为：D
【思路引导】过点B作 ，则 ，根据平行线的性质可得
。
5．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB
交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为
半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可
求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
6．（2分）（2021八上·平阳期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它
是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点
P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7，则S ﹣S 的值是（ ）
CFP AEP
△ △
A．3 B．3.5 C．4 D．7
【答案】B
【完整解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴△x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S ＝S ，EP＝MG，
AEP CGM
△ △∴S ﹣S ＝S ﹣S ＝S ＝ ＝ ＝ S ，
CFP AEP CFP CGM 梯形FPMG 正方形EHGF
△ △ △ △
∵S ＝S ﹣4S ＝28﹣4× ＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
正方形EHGF 正方形ABCD AEB
△
则S ﹣S 的值是3.5.
CFP AEP
△ △
故答案为：B.
【思路引导】根据正方形的面积可得AB2＝28，设AE＝x，则BE＝7-x，在Rt AEB中，应用勾股定理可
得2x2-14x＝-21，易得AH∥CF，由平行线的性质可得∠EAP＝∠GCM，由题意△可知：△AEB≌△CGD，
则AE＝CG，进而证明△AEP≌△CGM，得到S ＝S ，EP＝MG，推出S -S = S ，然
AEP CGM CFP AEP 正方形EHGF
△ △ △ △
后根据S ＝S -4S 进行求解即可.
正方形EHGF 正方形ABCD AEB
△
7．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点
O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（ ）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
【答案】C
【完整解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠BCO=∠ACD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，
∴BO平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO= ，
∵ ，
∴ ，
∵AD⊥AO，
∴∠OAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠OAB= ，
∴∠BAD=∠ABC，
∴BC∥AD，
∴∠BCD=∠ADC= ，
∴AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB= ，
∴ .
故答案为：C.
【思路引导】由角平分线的概念可得∠BCO=∠ACD＝α，∠CBO=∠ABO=α，由等腰三角形的性质得
∠ABC=∠ACB=2α，结合内角和定理得∠AOB=90°+α，∠OAB=90°-2α，由余角的性质得∠BAD=2α，则
∠BAD=∠ABC，由平行线的性质得∠BCD=∠ADC=α，则可推出AB=AD，由等腰三角形的性质以及内角
和定理可得∠ABD=∠ADB=90°-α，然后根据∠BDC=∠ADB-∠ADC进行计算.
8．（2分）（2021八上·陆川期中）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作
等边△ABC和等边 DCE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点 ，BE与CD交于点Q，连接
PQ，以下五个结论：① ACD≌ BCE；②CP=CQ；③PQ AE；④BO=OE；⑤∠DOE=60°，恒成
立的结论有（ ）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①③⑤
【答案】A
【完整解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴ （SAS），
∴①正确，
∵ ，
∴∠CEB=∠CDA，
又∵∠ACB=∠DCE=60° ，
∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，
在 CDP和 CEQ中，
∴ CDP≌ CEQ，
∴CP=CQ，②正确；
又∵∠PCQ=60°可知 PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60° ，
∴ ③正确，
∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60° ，
∴∠AOB=∠DOE=60°
∴⑤正确
没有条件证出BO=OE，④错误；
综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤.
故答案为：A.
【思路引导】①由题意用边角边可证△ACD≌△BCE；②由①中的全等三角形可得∠CEB=∠CDA，结合
已知用角边角可证△CDP≌△CEQ，再由全等三角形的对应边相等可得CP=CQ；③根据有一个角等于60
度的等腰三角形是等边三角形可得△PCD是等边三角形，则∠PQC=∠DCE=60°，根据内错角相等两直线
平行可得PQ∥AE；④由题意没有条件证出BO=OE；⑤由等边三角形性质可得∠ACB=∠DEC=60°，由同
位角相等两直线平行可得BC∥DE，由两直线平行内错角相等可得∠CBE=∠DEO，于是根据三角形外角的
性质∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC可得∠AOB=∠DOE=60°.
9．（2分）（2021八上·安庆开学考）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，
设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【完整解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．
【思路引导】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出
AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，
∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即
可。
10．（2分）（2021八上·忠县期末）如图，在 中，已知 于点 ， 平分
，交 于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，
.则下列结论：① ；② ；③点 是 的中点；④
；⑤ 为等边三角形.其中结论正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【完整解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，
∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【思路引导】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，
∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得到
∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由同
角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明
CE=AE=EB，据此判断③⑤.
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作
，交 于点D，交 于点E， ， ，则
.
【答案】5
【完整解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得
∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
12．（2分）（2022八上·柯桥期末）一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中 ，
，若 ，则 等于 度.【答案】75
【完整解答】解：∵ 和 均是直角三角形，其中 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：75.
【思路引导】易得∠B=45°，∠DFE=60°，根据平行线的性质可得∠FEC=∠DFE=60°，则∠GEB=30°，根
据外角的性质可得∠GEB+∠B=∠AGE，据此计算.
13．（2分）（2021八上·紫金期末）如图， ，若 ， ， ，则
∠AEC的度数为 ．
【答案】100°
【完整解答】解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，
∴∠D＝180°−∠DAC−∠1＝54°，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，∵∠DBC＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠DBC＝46°，
∴∠AEB＝180°−54°−46°＝80°，
∴∠AEC＝180°−∠AEB＝180°−80°＝100°，
故答案为：100°．
【思路引导】先求出∠AEB＝180°−54°−46°＝80°，再利用邻补角的性质可得∠AEC＝180°−∠AEB＝180°
−80°＝100°。
14．（2分）（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，将△CDE
沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A＝75°，则∠C′EA的大小为 °．
【答案】30
【完整解答】解：如图，
∵C′D∥AB，
∴∠DGE=∠A=75°，
由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，
∴∠C′EA=∠DGE-∠C'=75°-45°=30°，
故答案为30．
【思路引导】由C′D∥AB，推出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，再根据三角形外交
性质得出∠C′EA的度数。
15．（2分）（2020八上·萍乡期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．
如果∠1=15°，那么∠2的度数是【答案】30°
【完整解答】如图所示：
由题意得，AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵三角板为含有45°角的直角三角板，
∴∠2=45°-∠3=45°-15°=30°．
故答案是：30°．
【思路引导】根据平行线的性质得出∠1=∠3，由此得出答案。
16．（2分）（2021八上·石景山期末）如图，点D是 的平分线OC上一点，过点D作 交
射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＝
【完整解答】解：∵ED∥OB，
∴∠EDO=∠DOB，
∵D是∠AOB平分线OC上一点，
∴∠EOD=∠DOB，
∴∠EOD=∠EDO，
∴DE=OE，
故答案为：=．【思路引导】先求出∠EDO=∠DOB，再求出∠EOD=∠EDO，最后求解即可。
17．（2分）（2020八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC∥BD，BC=BD，在AB上截取
BE，使BE=BD，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，BC=7，
BG=4，则AB= .
【答案】
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∵BF⊥AB，∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ABF=90°，
∴∠DBC-∠CBF=∠ABF-∠CBF，
∴∠EBH=∠DBG，
∵BE=BD，
∴∠BEH=∠BDG，
∴△EBH≌△DBG（ASA），
∴BH=BG=4，
过D作DP⊥BD交BF的延长线于P，
∴∠ACB=∠BDP=90°，
∵∠EBG=∠DBH=90°，
∴∠ABC=∠DBP，
∵BC=BD，
∴△ABC≌△PBD（ASA），∴AC=PD，AB=PB，
∵BH=BG，
∴∠BHG=∠BGH，
∵BC⊥BD，PD⊥BD，
∴BC∥PD，
∴∠BHG=∠PDG，
∵∠BGH=∠PGD，
∴∠PGD=∠PDG，
∴PD=PG，
设PD=PG=x，
∴PB=x+4，
∵BD=BC=7，
∴72+x2=（4+x）2，
解得：x= ，
∴AB=PB=4+ = ，
故答案为： .
【思路引导】利用平行线的性质可求出∠CBD的度数，再证明∠EBH=∠DBG，利用ASA证明
△EBH≌△DBG，利用全等三角形的性质可求出BH的长；过D作DP⊥BD交BF的延长线于P，易证
∠ABC=∠DBP，利用ASA证明△ABC≌△PBD，利用全等三角形的性质可得到AC=PD，AB=PB；然后
证明∠PGD=∠PDG，利用等角对等边可证得PD=PG，设PD=PG=x，可表示出PB的长，再利用勾股定理
建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AB的长.
18．（2分）（2019八上·河北期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角
∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；
④∠A+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有 ．（填序号）【答案】①②③④
【完整解答】解：①设点A,B在直线MF上,
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①符合题意．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝ ∠ABC+ ∠MBC＝ ×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②符合题意，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝ ∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③符合题意，
④∵∠BEC＝180°﹣ （∠MBC+∠NCB）＝180°﹣ （∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣
（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④符合题意，
故答案为：①②③④．
【思路引导】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定一一判断
即可．
19．（2分）（2021八上·滨江期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上的点，连接
CD，CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点△ A'落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对
称点B'落在CA'的延长线上.若AC＝15，BC＝20，则下列结论：①EB'∥CD，②∠DEC＝45°，③EA'＝
3，④S ＝18.
BCE
△
其中正确的是 （将所有正确答案的序号都填在横线上）.
【答案】①②③
【完整解答】解：∵AC＝15，BC＝20，∠ACB＝90°，
∴AB＝25，
∵S ＝ AC×BC＝ AB×CD，
ABC
△
∴ ×15×20＝ ×25×CD，∴CD＝12，
∴AD＝ ＝9，
∴BD＝25﹣9＝16，
由折叠得，∠ACD＝∠DCA'，∠BCE＝∠B'CE，∠BEC＝∠B'EC，AD＝AD'＝9，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCA'+∠BCE+∠B'CE＝90°，
∴∠DCA'+∠B'CE＝45°＝∠DCE，故②正确；
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴DC＝DE＝12，
∴A'E＝DE﹣DA'＝12﹣9＝3，故③正确；
∵∠BEC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CEB'＝135°，
∴∠B'EA'＝90°＝∠CDE，
∴CD∥B'E，故①正确；
∵S ＝ BE×CD，
BCE
△
∴S ＝ ×（16﹣12）×12＝24，故④错误；
BCE
△
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【思路引导】由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式可得CD，由勾股定理求出AD，进而可得BD，
由折叠的性质可得：∠ACD＝∠DCA'，∠BCE＝∠B'CE，∠BEC＝∠B'EC，AD＝AD'＝9，根据角的和差
关系可得∠DCA'+∠B'CE＝45°＝∠DCE，据此判断②；易得DC＝DE＝12，根据A'E＝DE-DA'可判断③；
求出∠CEB'＝135°，则∠B'EA'＝90°＝∠CDE，据此判断①；根据三角形的面积公式求出S ，据此判断
BCE
△
④.
20．（2分）（2021八上·瑞安期中）在四边形 中， ， ， ，
，P是 边上的一点，连结 ，将 沿直线 对折得到 ， 点恰好落在线段 上，当 时，则 的面积为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，作CH⊥AD于H.
∵AD BC，
∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，
∵∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，
∴∠CBP＝∠BPC，∠CPD＝∠D，
∴CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，
∵CH⊥PD，CP＝CD，
∴PH＝DH，设PH＝DH＝y，
∵∠A＝∠ABC＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，
则有 ，解得 ，
∴S ＝ •PC•B ＝ × ×4＝
PBC
△
故答案为： .
【思路引导】作CH⊥AD于H，由平行线的性质可得∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，由折叠的性质可
得∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，推出CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，由等腰三角形的性质可得
PH＝DH，设PH＝DH＝y，则AH＝BC＝x，AB＝CH＝4，根据AD=AP+PD可得AD=x+y=7，根据AB=4
可得x2-y2=16，联立求解可得x、y，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
三．解答题（共9题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·凤县期末）如图， ，P为 ， 之间的一点，已知
， ，求∠1的度数.
【答案】解：过点P作射线 ，如图.∵ ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，∴ .
又∵ .
∴ .
【思路引导】过点P作PN∥AB，可推出PN∥AB∥CD，再利用平行线的性质可求出∠4的度数，同时可
证得∠1=∠3，即可求出∠1的度数.
22．（5分）（2021八上·胶州期末）已知：如图．在△ABC中．点D，E，F分到在边AB，AC，BC上，
CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°．∠DEF=∠B，求证：DE∥BC．
【答案】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°．
∴ ，
∴∠B=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠DEF，∴ ．
【思路引导】根据同旁内角互补两直线平行得出 ，根据两直线平行同位角相等得出∠B=∠EFC，
再根据∠DEF=∠B，等量代换得出∠EFC=∠DEF，再根据内错角相等两直线平行得出 ．
23．（5分）（2021八上·铁西月考）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，
∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC EF，求∠BMD的度数．
【答案】解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°−∠C＝60°，
∠F＝90°−∠E＝45°，
∵BC EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°．
【思路引导】利用三角形内角和求出∠B＝60°，∠F＝45°，根据平行线的性质可得∠MDB＝∠F＝45°，再
利用三角形内角和求出∠BMD即可.
24．（5分）（2021八上·恩平期中）将一副直角三角板按如图放置（其中 ），使含
角的三角板 的较长直角边 与等腰直角三角板 的斜边 平行，求 的度
数．【答案】解：
根据特殊直角三角形的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质及三角形内角和定理即可求出答案。
25．（7分）（2021八上·顺德期末）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝
DE．
（1）（3分）求证：DE BC；
（2）（4分）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DB＝DE．
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠DEB =∠CBE，
∴ ；（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC= ，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC= ．
【思路引导】（1）由角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，由等腰三角形的性质得出∠DEB =∠CBE，即
可得出结论；
（2）由等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠ABC，由角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE=36°，根
据三角形外角定理即可得出答案。
26．（5分）（2022七下·城固期末）如图，AB∥CD，点E为CD上一点，连接BE，过点E作EG平分
∠BED，作EF⊥EG，若∠B＝64°，求∠CEF的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DEB=64°，
∵ EG平分∠BED ，
∴ ，
∵ EF⊥EG ，
∴∠GEF=90°，
∴ ∠CEF =180°-∠DEG-∠GEF=180°-32°-90°=58°，
∴∠CEF=58°
【思路引导】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可得∠B=∠DEB=64°，再利用角平分线的定
义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）可得
∠DEG=32°，然后根据垂直定义可得∠GEF=90°，最后利用平角进行计算即可求出∠CEF的度数.
27．（6分）（2021八上·浦东期末）如图，已知 .（1）（3分）根据要求作图：在边 上求作一点 ，使得点 到 、 的距离相等，在边
上求作一点 ，使得点 到点 、 的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）（3分）在第（1）小题所作出的图中，求证： .
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE∥AC．
【思路引导】（1）由题意可知，D是∠BAC的角平分线与BC的交点，点E是AD的中垂线与AB的交点；
（2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得∠CAD=∠ADE，再根据平行线的判定即可求解。
28．（11分）（2022七下·覃塘期末）已知直线 ，动点C在 与 之间．（1）（3分）如图1，若 与 都是锐角，求 三者之间的数量关系；
（2）（4分）如图2，将一块三角尺（其中 ）按图中位置摆放，点D，E，F是
三角尺的边与平行线的交点，若 ，求 的度数；
（3）（4分）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线
段 上，且 ，求 与 之间的数量关系．
【答案】（1）解： ，
理由：如图，过C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵∠MEC=∠AEN，又∠AEN＝∠A，
∴∠MEC=∠A=30°，
由（1）可知：∠C=∠PDC+∠MEC，又∵∠C＝90°，
∴∠PDC=90°-30°=60°，
则∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：设 ，则 ，
由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】（1）过C作CD∥PQ，则PQ∥CD∥MN，根据平行线的性质可得∠1=∠ACD，
∠2=∠BCD，然后根据∠ACB=∠ACD+∠BCD进行解答；
（2）由对顶角的性质可得∠MEC=∠AEN，结合∠AEN＝∠A，得∠MEC=∠A=30°，由（1）可知
∠C=∠PDC+∠MEC，据此可求出∠PDC的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，根据平角的概念得∠GEN=2(90°-x)，由（1）得∠C=∠CEM+∠CDP，则
∠CDP=90°-x，由对顶角的性质可得∠BDF=∠CDP=90°-x，据此解答.
29．（11分）（2022七下·临河期末）已知 // ，点B、C在 上（B在C左侧），A在 上，
连接 、 ， ， ， 平分 ， 平分 ， 、 交于点
E．
（1）（2分）求 的度数；
（2）（4分）若将图1中的线段 沿 向右平移到 如图2所示位置， 平分 ，
平分 ， 、 交于点E， ， ，请你直接写出 的度数：
（3）（5分）若将图1中的线段 沿 向左平移到 如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时 的度数又是多少．（不需要证明）
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴
∴∠PAC=180°-40°=140°， 而AE平分∠PAC，
∴∠PAE= ×140°＝70°，
∴
∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=30°，
在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，
（2）解：∵ ， ， ，
∴
∵ 平分 ， 平分 ，
（3）解：∵ ， ， ， ∵ 平分
， 平分 ，
如图，过 作 ，∴
∴
【思路引导】（1）利用平行线的性质，角平分线的定义计算求解即可；
（2）先求出∠PDC=140°，再根据角平分线的定义计算求解即可；
（3）结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
