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专题 18 用树状图或表格求概率(基础题型)
1．下列表述中，正确的是（ ）
A．“任意一个五边形的外角和是540°”是必然事件
B．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数正好为50次
C．抛掷两枚质地均匀的银币，正好一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率为
D．“367人中至少有两人的生日相同”是随机事件
【答案】C
【分析】
根据必然事件与随机事件的定义进行逐项分析即可．
【详解】
A、“任意一个五边形的外角和是360°”是不可能事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，不符合题意；
C、抛掷两枚质地均匀的银币，正好一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率为 ，符合题意；
D、“367人中至少有两人的生日相同”是必然事件，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查随机事件与必然事件，以及概率相关问题，理解基本定义，熟练分析是解题关键．
2．在两个暗盒中，各自装有编号为1、2的二个球，二个球除编号外无其它区别，则在两
个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用列举法得到所有情况，再利用概率公式计算．
【详解】
解：由题意可得：
取到的组合为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），
积为偶数的有（1，2），（2，1），（2，2），三种，所以两球上的编号的积为偶数的概率= ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的计算，解题的关键是利用列举法将所有情况列举出来．
3．一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球．现从盒子里随意
摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画树状图，共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，再由概率公式求解即
可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，
∴两次均摸到红球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了用列表法和树状图法求概率．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在阴影部分的概率是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意易得游戏转盘共8等份，阴影部分占5等份，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
指针落在阴影部分的概率是 ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
5．有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、
乙两把锁的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画树状图，共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，再由概率公式求解
即可．
【详解】
解：把打开甲的钥匙记为A，打开乙的钥匙记为B，画树状图如图：共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，
∴打开甲、乙两把锁的概率为 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的
事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机
摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一个，则两次标号之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于5的有4种，
进而可求出其概率．
【详解】
解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于5的有4种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时
自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
解：列表得：
1 2 3 4 5
3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3） （5,3）
4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4） （5,4）
8 （1,8） （2,8） （3,8） （4,8） （5,8）
9 （1,9） （2,9） （3,9） （4,9） （5,9）
所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数，
所以指针都落在奇数上的概率是6÷20= ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了概率的相关知识，对列表法和树状图等方法的使用有助于这类问题的解决．
8．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的
门都打开，松鼠要先经过第一道门（A， ，或C），再经过第二道门（ 或 ）才能出
去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【分析】
解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，
这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况
数，然后整体进行组合即可得解．
【详解】
解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两
个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为
AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
9．在一次联欢晚会上，某班进行以下游戏，准备两个不透明的袋子和7个小球（大小、形
状完全一样），一个袋子里放置3个小球，球面上分别写着“好”“运”“来”，另一个
袋子里放置4个小球，球面上分别写着“新”“年”“好”“运”．现从两个袋子里各随
机抽取一个球，球面上的字可以组成“好运”字样的获得一等奖，则获得一等奖的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画树状图，共有12个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有2个，再由概率公式求解即
可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有2个，
∴获得一等奖的概率为 ，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着汉字“三”，“帆”，除文字外两个小球
无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其文字后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小
球，记录其文字，那么两次记录的文字可以组成“三帆”一词的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的文字可以组成
“三帆”一词的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】
解：列表如下：
三 帆
三 三三 三帆
帆 三帆 帆帆
由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次记得文字可以组成“三帆”一词的有2种结
果，所以两次记录的文字可以组成“三帆”一词的概率是 = .
故选：A.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
11．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．如图，现有三张
正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有
冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡
片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出相同的情况数，根据概率公式求解即可．
【详解】
假设第一张冰墩墩为 ，第二章冰墩墩为 ，雪容融为 ，
由题意画出如下树状图：所有等可能的情况有6种，那么抽出的两张卡片都是冰墩墩的有2种，
（抽出的两张卡片都是冰墩墩） ，
故选 ．
【点睛】
本题考查概率问题，掌握概率的意义以及灵活运用树状图是解答本题的关键．
12．九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员
随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参
加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．
【详解】
解：九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级
参加比赛，一共有12种情况，
其中抽出的同学是女生的有4种情况，
∴抽出的同学为女生的概率是 ．
故选择：B．
【点睛】
本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率的方法，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，
所有种情况，找出其中抽出的同学是女生的情况是解题关键．13．一个不透明的布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中1个黑球、2个白球、3个红球，
从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出摸出任意1个球共有（1+2+3=6）种情况，再确定摸出的是白球有2种情况，最后利
用概率公式求解即可．
【详解】
解：摸出任意1个球，共有（1+2+3=6）种情况；
其中是白球的情况共有2种，
∴摸出白球的概率为 ；
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率的计算公式，即等可能事件中，一个事件发生的概率为该事件包含的结果
数除以总的结果数，因此解题关键是牢记公式，明确结果数．
14．国家出台全面二孩政策，自2016年1月1日起家庭生育无需审批．如果一个家庭已有
一个孩子，再生一个孩子，那么两个都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果和两个都是女孩的情况，再利用概
率公式求解即可．
【详解】
解：根据题意画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的情况有一种，
∴两个都是女孩的概率是
故选：C．
【点睛】
本题考查概率公式，解题的关键是熟练画树状图得到所有等可能的结果数和所求情况的结
果数．
15．在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，我们随
机从中取出一个记下颜色，不再放回，从中再摸出一个，摸出的两个球的颜色不同的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好摸到一个红球、一个白球的情况数，然后根
据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画图
由树状图可知，共有20种等可能结果，摸出的两个球的颜色不同的有12种，则摸出的两个球的颜色不同的概率是 ．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了概率，解决本题的关键是掌握求概率的公式．
16．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
一枚硬币总计有两个面，抛掷之后任一一面朝上的可能性是相同的，则根据概率公式计算
即可．
【详解】
抛掷一枚硬币，共有正面朝上和反面朝上两种情况，
∴反面朝上的概率为： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式，熟练运用概率公式是解题关键．
17．为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已
知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是
1个白球和1个黑球的结果共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】A
【分析】根据树状图展示的所有结果，找出恰好1个白球和1个黑球所占结果．
【详解】
由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果，
其中恰好1个白球和1个黑球只有1种结果．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是树状图的知识点，根据树状图展示的所有结果，找到符合条件的结果数是解
题的关键．
18．一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸
出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件； B．摸到白球是不可能事件；
C．摸到红球和摸到白球的可能性相等； D．摸到红球比摸到白球的可能性大．
【答案】D
【分析】
利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【详解】
解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C．根据不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，
故C选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，
故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，
谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可
能性就相等得出是解题关键．
19．小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏：小明摸到的牌面是5（不放
回），小颖从剩余的牌中抽取一张（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，
9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关），谁的牌面大谁就获胜．则小明获胜的
概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得小颖只有摸到 ，小明才可以获胜，从而利用概率公式计算．
【详解】
解：小明获胜的概率＝
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率公式：某随机事件的概率=这个随机事件发生的情况数除以总情况数．
20．从箱子中摸出红球的概率为 ，已知口袋中红球有 个，则袋中共有球( )个
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用概率公式求解即可．
【详解】
设袋中共有n个球，由概率公式得： ，
解得：n=16，
经检验n=16是原方程的解
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式，能熟练利用概率公式求解是解答的关键．
21．2020年某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理、化学、生物三个学科
中随机抽取一科参加测试，小明和小颖都抽到生物学科的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】
解：如图所示：
一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到物理学科的概率是： ，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
22．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡
片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好
都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率是 ；
故选：B．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比
23．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣烷4个、
腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的
概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
粽子总共有11个，其中甜粽有6个，根据概率公式即可求出答案.
【详解】
由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为： ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了概率的基本运算，熟练掌握公式是关键.
24．如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域
的概率是（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
用红色区域的圆心角除以周角度数即可．
【详解】
解：转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是
长度比，面积比，体积比等．
25．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差
别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录
其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是故选C．
【点睛】
本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．
26．一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有
数字-1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】
解：根据题意可得：4个小球中，其中标有2，3是正数，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．
27．从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马
鸣和杨豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 ，
故选C.
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
28．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其
他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就
是其发生的概率．
【详解】
解：∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．故选：A．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．
29．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸
出一张，摸到1号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据概率公式直接求解即可．
【详解】
解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是 ，
故选：A．
【点睛】
此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
30．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是
男工人的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
设三名男工人编号为1、2、3，两名女工人编号为4、5，根据列树状图可直接进行求解概
率．
【详解】
解：设三名男工人编号为1、2、3，两名女工人编号为4、5，则有树状图如图所示：
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为 ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
31．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则
两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先画出树状图，从而可得投掷两次的所有可能的结果，再找出两次掷得骰子朝上一面的点
数之和为5的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】
解：由题意，画树状图如下：由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，
两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，
则所求的概率为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
32．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两
人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先画出树状图，然后运用概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一
女两位选手的概率为 ．故选C．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确画出树状图成为解答本题的关键．
33．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位
乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．
【详解】
解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，
共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，
即甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
列举出所有的情况，再得到至少有一盒过期的情况数，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，
设未过期的两盒为A，B，过期的两盒为C，D，随机抽取2盒，
则结果可能为（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），
共6种情况，其中至少有一盒过期的有5种，
∴至少有一盒过期的概率是 ，
故选D．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
35．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取
1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，
这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．则这
两个数的差为0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意可列表如下，由表格可知，共有12种等可能的情况，其中差为0的情况有3种，
（两个数的差为0） ．
减数
差 1 2 3 4
被减数
1 0 1 2 3
2 0 1 23 0 1
27．如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个
矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概
率公式求出即可．
【详解】
解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，
则如图的三条横线和三条竖线组成可以9个矩形，其中含点A矩形4个，
∴所选矩形含点A的概率是
故选：D
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
36．如图，直线 ，直线c与a､b都相交，从所标识的 ､ ､ ､ ､ 这五个
角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
互补的角有： 与 ､ 与 ､ 与 ､ 与 ､ 与 ､ 与 ．列表如
下：
1 2 3 4 5
5 -
4 -
3 -
2 -
1 - 0
由列表可知共有20种等可能的结果，所选取的两个角互为补角的有12种情况，∴P（所选
取的两个角互为补角） ．
37．刘皖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一
个作者姓名，分别是：《论语》、孔子、《道德经》、老子，从这四张书签中随机抽取两
张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意先画出树状图，确定所有的等可能的结果数，在其中找出满足抽到的书签正好是
相对应的书名和作者姓名的结果数，再根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：不妨用A，B、C、D分别表示《论语》、孔子、《道德经》、老子，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中满足条件的结果数为4种，
抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了通过用列表法或树状图法来解决概率问题，解题的关键是：利用树状图展示所
有等可能的结果 ，再从中选出符合题中事件的结果数 ，然后用概率公式： 来计
算出概率．
38．某班从两名男生和两名女生四位选手中随机选取两人参加校演讲比赛，恰好选出是一
男一女两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画树状图，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，
∴恰好选出是一男一女两位选手的概率为 ＝ ，
故选：D．【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
39．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ，
， ，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是
_____________．
【答案】
【分析】
求得阴影部分的面积后用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．
【详解】
解：∵∠ABC＝90°，AC＝50cm，AB＝30cm，
∴由勾股定理得：BC＝40cm，
∴S ＝ AB•BC＝ ×30×40＝600（cm2），
△ABC
∴S ＝S ﹣4S ＝502﹣4×600＝100（cm2），
阴影 正方形 △ABC
∴小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查几何概率问题，解题的关键是求得阴影部分面积，难度不大．
40．如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为 的正方形“易加学院”微课二维码．为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现
点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________
．
【答案】300
【分析】
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，可估计点落入黑
色部分的概率为0.75，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【详解】
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在075左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.75，
∴估计黑色部分的总面积约为20×20×0.75 = 300，
故答案为：300．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
41．如图，在 的正方形网格中已有5块被涂成阴影，则在未涂的空格中，任选一格涂
成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率是________．
【答案】【详解】
如解图，未涂空格共有20个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有4种，
∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为 ．
42．在一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余都相同的红球8个，白球若干个，从袋中
随机摸出一球，摸到白球的概率为 ，则袋中白球个数为__________．
【答案】4．
【分析】
首先设白球有 个，根据题意，利用概率公式即可得方程： ，解此方程即可求得
答案．
【详解】
解：设白球有 个，根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用，熟悉概率 所求情况数与总情况数之比，是解题的关键．
43．甲袋中装有3个相同的小球，分别写有数字1，2，3；乙袋中装有2个相同的小球，分
别写有数字1，2.现从两个袋子中各随机取出1个小球，则取出的两个小球上数字之和为3
的概率是______．【答案】
【分析】
直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：根据题意，画出树状图如图：
一共有6种可能，取出的两个小球上数字之和为3的有2种，
取出的两个小球上数字之和为3的概率是
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了树状图求概率，正确得出所有结果是解题的关键．
44．2020年，新冠肺炎疫情突如其来，各大中小幼学校延期开学，实行“停课不停教不停
学”，网络直播教学成为其中最常见的教学方式，某区为了解九年级老师使用线上授课软
件情况，在4月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“一起中学”，B表
示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“QQ群课堂”，E表示“钉钉”，现将调
查结果绘制成两种不完整的统计图表：
组别 使用人数（人） 占调查人数的百分率
A 3 5%
B 12 20%
C a 35%D 15 c
E b 15%
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）b＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？
（3）该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1
人，请用列举法求出抽取两名老师都是理科老师的概率．
【答案】（1）9，图见解析；（2）125人；（3） ．
【分析】
（1）先根据 组别的使用人数和百分率可得调查的总人数，再利用“使用人数 百分率
调查总人数”分别求出 的值，然后将频数分布直方图补充完整即可；
（2）先求出 的值，再利用500乘以 即可得；
（3）先画出树状图，从而可得在 组随机抽取两人的所有可能结果，再找出抽取两名老
师都是理科老师的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】
解：（1）调查的总人数为 （人），
则 （人），
（人），
将频数分布直方图补充完整如下：（2） ，
（人），
答：估计该区使用“ 群课堂”有125人；
（3）将两名理科老师分别记为 ，一名文科老师记为 ，画树状图如下：
由此可知，在 组随机抽取两人的所有可能结果有6种，它们每一种出现的可能性都相等；
其中，抽取两名老师都是理科老师的结果有2种，
则所求的概率为 ，
答：抽取两名老师都是理科老师的概率为 ．
【点睛】
本题考查了频数分布直方图、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
45．目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关
注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或
列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
【答案】（1）27°，条形统计图见解析；（2）
【分析】
（1）首先读图可知B类人数有150人，占75%，求出总人数，然后根据总人数求出A类的
人数，补全条形统计图；再求出C类人数所占百分比，用百分比乘以360°即可求出C类扇
形统计图的圆心角；
（2）用画树状图法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一名男
士和一名女士的概率．
【详解】
（1）首先根据条形统计图和扇形统计图中的数据，知B类有150人，占比75%，
所以总人数= （人）；
A类人数为 （人），补全条形统计图图下图；
C类有15人，所占百分比= ，圆心角=百分数×360°=27°；（2）画树状图为：
共有20种等可能的情况，而刚好抽到1名男士和1名女士的可能结果有12种，
所以P（抽到一名女士和一名男士） ．
【点睛】
本题考查学生的读图能力和求随机事件的概率，解题关键是必须认真观察、分析、研究统
计图．
46．一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从
中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（ 且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是__________
（用含n的代数式表示）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据题意列出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案；（2）直接根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）记袋中的3个白球分别为白1，白2，白3，从袋中随机摸出2个球，共有6种等
可能的情况，
分别是（红，白1）（红，白2）（红，白3）（白1，白2）（白1，白3）（白2，白
3），
满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率是 ；
（2）当袋子当中有 个球时，摸出红球的概率是 ；
当袋子当中有 个球时，摸出红球的概率是 ；
当袋子当中有 个球时，摸出红球的概率是 ；
当这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
47．2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定
采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语
三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；
第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是_______；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据简单事件的概率公式即可得；
（2）先画出树状图，从而可得黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果，再找出抽到
的学科恰好是历史和地理的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】
解：（1）黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果，
则黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ，
故答案为： ；
（2）将物理、化学、历史三个学科分别记为 ，将道德与法治、地理、生物三个
学科分别记为 ，
画树状图如下：
由此可知，黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可
能性都相等；其中，抽到的学科恰好是历史和地理的结果只有1种，
则所求的概率为 ，答：黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率是 ．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
48．盒中有x个白球和y个黄球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，
它是白球的概率是 ；若往盒中再放进1个黄球，这时取得白球的概率变为 ．
（1）填空：x＝ ，y＝ ；
（2）小聪和小明利用x个白球和y个黄球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从剩
下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小聪获胜，若颜色不同则小明获胜，求小明
获胜的概率．
【答案】（1）2，1；（2）小明获胜的概率为
【分析】
（1）根据题意易得 ，然后求解即可；
（2）根据（1）可得：白球的个数为2个，黄球的个数为1个，然后列出树状图即可求解
概率．
【详解】
解：（1）由题意得：
，
解得： ；
故答案为2；1；（2）由（1）可得：白球的个数为2个，黄球的个数为1个，则可列树状图如图所示：
∴小明获胜的概率为 ．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
49．语文老师要求学生们在寒假期间精读四大名著中的一本．
（1）小明选择精读《水浒传》的概率是_________；
（2）求小明与小刚选择精读同一本名著的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分
析过程）
【答案】（1） ；（2） ，见解析
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）利用画树状图展示所有的结果数，再找出小明与小刚选择精读同一本名著的结果数，
然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1） 小明在寒假期间精读四大名著中的一本有四种选择，选择精读《水浒传》只
有一种情况，根据概率公式得： ，
故答案是： ．
（2）利用画树状图时，不妨用 来表示四大名著，得到下图：根据树状图可知：一共有16种情况，其中小明与小刚选择精读同一本名著有4种情况，
根据概率公式： ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是：要展示出所有可能的结果，再从中选出符
号条件的结果数，然后利用概率公式求概率．
50．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是
3的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中
随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概
率．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据事件发生的概率计算公式： ，（k为包含事件的结果数，n为该事件所有
等可能出现的结果数），抽到牌面数字是3的结果有两种，共有4种结果，可得出答案；
（2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果
数（如下图），牌面数字相同的有两种，共有12种结果，故可得出答案．
【详解】
（1）四张牌为：2,3,3,6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种，
；
∴
（2）解：列表如下：
第二次
2 3 3 6
第一次
2
3
3
6
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴ ．
【点睛】
题目主要考察简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结
果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）．
51．某单位随机安排甲、乙两人到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．
（1）甲在A社区接种疫苗的概率是_________；
（2）求甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）某单位随机安排甲到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．一共有3重可能，其中甲
在A社区接种疫苗就1种情况，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，列出甲乙两人到社区接种疫苗所有情况共9种，其中甲、乙两人不在同一
社区接种疫苗的情况共有6种，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）某单位随机安排甲到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．
一共有3重可能，其中甲在A社区接种疫苗就1种情况，
∴甲在A社区接种疫苗的概率是 ，
故答案为 ；
（2）画树状图，列出甲乙两人到社区接种疫苗所有情况共9种，其中甲、乙两人不在同一
社区接种疫苗的情况共有6种，
∴甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率 ．
【点睛】
本题考查列举法求概率与画树状图或列表法求概率．掌握列举法求概率与画树状图或列表
法求概率是解题关键．
52．为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，
B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的
名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，
先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，
（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿
者被选中的概率．
【答案】（1）随机；（2）
【分析】
（1）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的
结果无法确定．根据定义可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到 都被选中的结果数，再利用概率
公式计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）由随机事件的定义可得：
“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案：随机．
（2）画树状图如下：
一共有 种等可能的结果，其中 都被选中的结果数有 种，
A，B两名志愿者被选中的概率
【点睛】
本题考查的是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌
握列表法或画树状图的方法是解题的关键．
53．如图是三个从外观看毫无差别的鸡蛋，其中有两个是熟鸡蛋，一个是生鸡蛋．
（1）随机取出一个是熟鸡蛋的概率是______，要使随机取出一个熟鸡蛋的概率为 ，则
应在其中添加______鸡蛋；
（2）若从中随机取出两个鸡蛋，求正好是两个熟鸡蛋的概率．【答案】（1） ，2个生；（2）见解析，
【分析】
（1）根据等可能事件的概率公式，直接得到答案即可；
（2）先画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，求解即可．
【详解】
解：（1）解：随机取出一个是熟鸡蛋的概率=2÷3= ，
要使随机取出一个熟鸡蛋的概率为 ，则应在其中添加2个生鸡蛋
故答案是： ，2个生；
（2）根据题意，列出树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中正好是两个熟鸡蛋的共有2种．
所以 ．
（两个熟鸡蛋）
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图，展示等可能的结果，是解题的关键．
54．小平的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到A组
（体温检测）、B组（便民代购）和C组（环境消杀）．
（1）小平爸爸被分到A组的概率是多少；
（2）小平的班主任肖老师也参加了该社区的志愿者队伍，试用画树状图或列表的方法表示
所有可能的结果，并求出肖老师和小平的爸爸被分到同一组的概率．【答案】（1） ；（2）树状图见解析，
【分析】
（1）小平爸爸随机分到一组有3种情况；其中1种是分到A组，根据概率公式可得答案；
（2）通过画树状图，得出一共有多少种情况，再从中选出满足条件有多少种情况，最后根
据概率公式可得答案．
【详解】
解：（1）小平爸爸被分到A组的概率为 ；
故答案是： ．
（2）小平爸爸和肖老师分组可用树状图表示如下：
不妨让树状图开始表示小平爸爸，其次表示肖老师：
一共有9种等可能情况，被分到同一组的有3种情况，所以小平爸爸和肖老师被分到同一
组的概率为： ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了概率的求法，利用树状图可以得出可能的结果数，解题的关键是：熟悉概率的
求法．
55．某茶农要对1号、2号、3号、4号四个品种共500株茶树幼苗进行移栽成活实验，从
中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，3号茶树幼苗成活率为89.6%，把实验数
据绘制成图1和图2所示的两幅不完整的统计图．（1）实验所用的2号茶树幼苗的数量是多少株？
（2）求出3号茶树幼苗的成活数，并补全统计图2；
（3）该茶农要从这四种茶树中选择两个品种进行推广，请用列表或画树状图的方法求出幼
苗成活率最高的品种被选中的概率．
【答案】（1）100株；（2）112株，图见解析；（3）
【分析】
（1）用1减去其它3个品种所占百分比得出2号茶树幼苗所占百分比，再乘以总株数500
即可．
（2）先利用3号茶树幼苗所占百分比求出其总株数，再乘以成活率即可．
（3）求出各品种茶树幼苗成活率，即得出幼苗成活率最高的品种，再利用画树状图或列表
法求出幼苗成活率最高的品种被选中的概率即可．
【详解】
（1） 株．
故实验所用的2号茶树幼苗的数量是100株．
（2） 株．
故3号茶树幼苗的成活数是112株, 补全条形图如下：（3）1号茶树幼苗的成活率为 ；
2号茶树幼苗的成活率为 ；
3号茶树幼苗的成活率为 ；
4号茶树幼苗的成活率为 ．
故4号茶树幼苗的成活率最高．
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中抽到4号茶树幼苗的有6种结果，
所以4号品种被选中的概率为 ．
故幼苗成活率最高的品种被选中的概率为 ．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，利用画树状图或列表法求概率．从条形统计图与扇形统计图中得到必要的信息和数据是解答本题的关键．正确的画出树状图或表格也是
解答本题的关键．
