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专题 19 三角形的内角和（综合题）
易错点拨
知识点01：三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为
细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出
②已知三角形三个内角的关系，可以求出
③求一个三角形
知识点02：三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是 ；③另一条边
是三角形
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是 ．所以三角形共有 ， 通常每个顶点处
取一个外角，因此，我们常说三角形有
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于 ．
（2）三角形的一个外角 任意一个与它不相邻的内角．
细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于
细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是 ，由三角形的内角和是180°，可推
出三角形的三个外角和是易错题专训
一．选择题
1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．55° B．35° C．25° D．20°
2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．90° C．75° D．60°
3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：
∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（ ）
A．80° B．60° C．90° D．45°
4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的
反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（2021秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，
A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD
为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）
A．60° B．10° C．45° D．10°或60°
二．填空题
7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，
∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 ，∠BOA的度数是 ．
8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将
△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝ ．9．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好
三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为 42°，那么这个“友好三角形”的
“友好角α”的度数为 ．
10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点
F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ ．
11．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线
和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 ．
12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将
△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度
数为 °．
13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ ．
三．解答题
14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做
∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求
∠BPC的度数．
15．（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之
为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点
作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使
∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线
OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ °．
②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说
明理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在
点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接
写出∠ADB的度数的变化范围．
18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝
∠AED，连接DE．
（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；
（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．
（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分
线交于点P，则α+β＝ °，∠P＝ °；
（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．
①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 ；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．
20．（2021秋•锦州期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻
BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则
∠BDC的度数为 ；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，
求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线
交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
