文档内容
专题 18 反比例函数与几何图形的综合应用
考点一 反比例函数与三角形的综合应用 考点二 反比例函数与平行四边形的综合应用
考点三 反比例函数与矩形的综合应用 考点四 反比例函数与菱形的综合应用
考点五 反比例函数与正方形的综合应用
考点一 反比例函数与三角形的综合应用
例题：（2022·江西·崇仁县第二中学二模）如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系
原点，点A在反比例函数 的图象上，已知OA=5，OB=6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C．
①求直线AC的解析式；
②求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y= (x＞0)；
(2)①直线AC的解析式为y=- x+ ；②点P的坐标为（ ， ）．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题；
（2）①利用相似三角形的判定和性质求得CD，即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线AC的
解析式；
②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点P的坐标．（1）
解：作AD⊥OB于D，
∵AO=AB，OA=5，OB=6．
∴OD=BD=3，
∴AD= =4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入y= (x＞0)，可得k=12，
∴反比例函数的解析式为y= (x＞0)；
（2）
解：①∵AC⊥OA，
∴△OAC是直角三角形，
∵AD⊥OC，
∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA =90°，
∴∠DAC=∠DOA，
∴Rt△DAC∽Rt△DOA，
∴ ，
∴AD2=OD•CD，即16=3•CD，
∴CD= ，
∴OC=OD+CD= ，
∴C（ ，0），
∴设直线AC的解析式为y=ax+b，把A、C的坐标代入得， ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y=- x+ ；
②解 得 或 ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，
等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得A的坐标．
【变式训练】
1．（2022·山东东营·中考真题）如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反
比例函数 的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
【答案】
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明 ACO≌ ODB得到AC=OD，
△ △
OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数 ，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴经过点A的反比例函数表达式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在
平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数 的图象上，且y轴平分∠BAC，则
k的值是________．【答案】
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求
∠CEO=45°，CE=2 ，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可证CE=AE=2 ，由
“AAS”可证 OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2 ，OC=BD=2，可得点B坐标，即可求解．
△
【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，
∵点C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2 ，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在 OAC和 DCB中
△ △
，∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2 ，
∴AO=2+2 =CD，
∴DO=2 ，
∴点B坐标为(2 ,-2)，
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴k=(-2)×2 =-4 ，
故答案为：-4 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B的坐标是解题
关键．
3．（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直
角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
则点C的横坐标为________．【答案】 ##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，
0），再利用点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C
（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴ ，
解得： (舍去) ，∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴ ，
解得： (舍去)，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解
题的关键．
4．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的斜边 轴于
点 ，直角顶点 在 轴上，双曲线 经过 边的中点 ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据 是等腰直角三角形， 轴，得到 是等腰直角三角形，再根据 求
出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k．
【详解】∵ 是等腰直角三角形， 轴．∴ ； ．
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ．
故： ， ．
．
将D点坐标代入反比例函数解析式．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到 是等腰直角三
角形，用中点公式算出D点坐标．
5．（2022·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函
数y＝ （x＞0）的图象经过点B．
(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求 的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若 BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
【答案】(1)a＝4，k＝8 △(2)① ；②4或5
【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反
比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先确定出点D(5，4)，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论；
②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC=CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得
出结论；
Ⅱ、当BC=BD时，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论．
（1）
解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上，
∴﹣2×0＋b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝ (x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）
解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2＋3，4)，
即：D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝ 的图象于点E，
∴E(5， )，
∴DE＝4﹣ ＝ ，EF＝ ，∴ ＝ ＝ ；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D(m＋2，4)，
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B(2，4)，C(m，8)，
∴BC＝ ，
∴ ＝m，
∴m＝5，
即： BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
△
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂
直平分线的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
6．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数
和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ，．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角
三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出点 的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出 ， ， 的面积，利用 即可得到答案；
（3）分三种情况，当 ， 时；当 ， 时；当 ，
时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
（1）
解：由题意可知 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，∴ ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）
解：∵ ，
，
，
∴ ；
（3）
解：存在
分三种情况，∵ ，
∴直线 的表达式为 ．
①如图1，当 ， 时，
设点 ，则
∵
∴ 平分 ．
∴ ，解得
∴∴ ；
②如图2，当 ， 时，设点 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
③如图3，当 ， 时，点 与点 重合，
∴ ，
∴ ，∴ ，
综上所述，存在点 使得 是等腰直角三角形，其坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题
的关键是分三种情况求出点 的坐标．
考点二 反比例函数与平行四边形的综合应用
例题：（2022·河南南阳·八年级期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（-1，2）是平
行四边形OABC的两个顶点，反比例函数 的图像经过点B．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)将平行四边形OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数 的图像上，并
说明理由；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是以OC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D在反比例函数 的图像上，理由见解析
(3)（ ，0）或（ ，0）或P（-2，0）
【分析】（1）过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CEO≌△BFA得到OE=AF，CE=BF，求出
点B坐标即可求得m值；
（2）根据翻折性质求得点D坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式中判断即可；
（3）先求出OC，分OP=OC、CP=OC两种情况求解即可．（1）
解：过C作CE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，则∠CEO=∠BFA=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC AB，OC=AB，
∴∠COE=∠BAF，
∴△CEO≌△BFA（AAS），
∴OE=AF，CE=BF，
∵A（2，0），C（-1，2），
∴AF=OE=1，BF=CE=2，OA=2，
∴OF=OA-AF=1，则点B坐标为（1，2），
将点B（1，2）代入 ，得：m=2，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）
解：点D在反比例函数 的图像上，理由为：
根据翻折性质得点D坐标为（-1，-2），
∵当x=-1时， =-2，
∴点D在反比例函数 的图像上；
（3）
解：存在，如图，∴ ，
当OP=OC时，OP= ，则P（ ，0）或P（ ，0），
1 2
当CP=OC时，OP=2OE=2，则点P（-2，0），
3 3
综上，满足条件的点P坐标为（ ，0）或（ ，0）或P（-2，0）．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及平行四边形的性质、反比例函数的性质、待定系数
法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、翻折性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌
握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴
上，反比例函数 的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，
，则k的值为______．
【答案】2
【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面积列出方程求解．
【详解】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，则AF EH，
则： ，△DEH∽△DAF，
∴ ，
设A（x，y），则E（3x， y），
则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝ y，
∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，
∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4，
则△ODE的面积是 ，
∴ × y×4x＝ ，
∴xy＝2，
∴k＝xy＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查看反比例函数的k的意义，结合平行线分线段成比例列方程是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·八年级期中）如图，点D是平行四边形 内一点， 轴， 轴，且
， ， ，若反比例函数 的图象经过A、D两点，则k的值是______．【答案】12
【分析】作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，证明 AOM≌△CBD（AAS），
得出OM=BD=2，根据 ABD的面积求出AE=4，设D点横坐标为m，表示出D（m△，6），则A点坐标为
（m+4，2），据反比例△函数的定义得出关于m的方程，即可求出m和k的值．
【详解】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，如下图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA BC，OA=BC，
∴∠AOM=∠CNM，
∵BD y轴，
∴∠CBD=∠CNM，
∴∠AOM=∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB=90°，BE⊥AM，
∴∠CDB=∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM=BD=2，
∵S ABD= BD•AE=4，
△
∴AE=4，∵∠ADB=135°，
∴∠EDA=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴D点纵坐标为6，
设D点横坐标为m，
∴D点坐标为（m，6），
A点坐标为（m+4，2），
∵反比例函数图象经过A、D两点，
∴k=6m=（m+4）×2，
解得m=2，k=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与平行四边形的综合，表示出A、D的
坐标是解决本题的关键．
3．（2021·河北保定·九年级期末）如图，平行四边形OABC的边OC在y轴上，对角线AC，OB交于点
D，函数 的图象经过点 和点D．
(1)求k值和点D的坐标；
(2)求平行四边形OABC的周长．
【答案】(1) ，D(6，10)；
(2)
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式为．根据题意可知 ，由平行四边形的性质可知 ，代入反比例函数解析式
即可求出 ，即得出D点坐标；
（2）由A点坐标可求出OA的长，再根据平行四边形的性质可得 ，即可求出OC的长，最后
根据平行四边形的周长公式计算即可．
（1）
∵函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得： ．
∴反比例函数解析式为 ．
∵平行四边形OABC的边OC在y轴上，且对角线AC，OB交于点D，
∴ ，
∴ ．
∵函数 的图象经过点D，
∴ ，
∴D(6，10)；
（2）
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，且
∴ ．
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数与平行四边形的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数 的图象上，
顶点B、D在 轴上． 已知点 、 ．
(1)直接写出点C、D的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；
(4)求平行四边形ABCD的面积S．
【答案】(1)C(3，-2)；D（5，0）
(2)
(3) ；
(4)
【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案；
（2）直接将点 代入反比例函数 ，即可求出解析式；
（3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出OA的长，即可得出
AC的长；
（4）由 ，即可求解．
（1）
解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且 、 ，
∴C(3，-2)；D（5，0）．（2）
∵反比例函数图象经过点（-3，2），
∴
反比例函数的解析式为 ．
（3）
；
过点A作AE⊥x轴于E，在Rt AEO中，
△
，
∴ ．
（4）
．
【点睛】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．
5．（2021·湖南永州·九年级期中）如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行
四边形，点A的坐标为 ，反比例函数 在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F．
(1)若 ，求反比例函数的关系式．(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接
PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请
直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)OA＝5，
(3)存在，P（4，2） 或P（-1，2）
【分析】（1）把点A坐标代入解析式，即可求解；
（2）根据反比函数的比例系数的几何意义可得 ，从而得到 ，
，进而得到点F的坐标为（6a，2a），可得到 ，求
出a，即可求解；
（3）先证得四边形OBFE为平行四边形，可求出点E ，然后分两种情况讨论，即可求解．
（1）解∶∵点A的坐标为 ， ，∴点A的坐标为 ，把 代入 得：k=48，∴反比
例函数的关系式为 ；
（2）解：分别过点A，F，C作x轴的垂线交x轴于点D，E，G，AD交OF于点H．
∵点A，F在反比例函数图像上，∴ 又， ，∵△AOF的面积S=9，四边形OACB
是平行四边形， ， ，∵点A的坐标为 ，AC∥x轴，∴点C的
纵坐标为4a， 点F为BC的中点，k=12a2，∴点F的纵坐标为2a，∴点F的横坐标为 ， 点F
的坐标为（6a，2a）， ，解得a＝1，∴点A（3，4），F（6，
2）， OD＝3 AD＝4， OA＝5，∵ ，∴AC=OB＝ ，∴点 ，即
；
（3）解：存在，根据题意得：∠APO=90°，∵四边形OACB为平行四边形，∴OE∥BF，OA=BC，
∵EF∥OB，∴四边形OBFE为平行四边形，∴OE=BF，∵BF=CF，∴AE=OE= ，∴PE= ，
由（2）得：点A（3，4），∴点E ，∴ON= ，EN=2，如图，当点P在线段OA的右侧上时，过点
P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N， ∵EN⊥x轴，
PM⊥x轴，∴EN∥PM，∴四边形ENMP为平行四边形，∴PE=MN= ，PM=EN=2，∴OM=4，∴点P（4，2）；如图，当点P在线段OA的作侧上时，过点P作PT⊥x轴于点T，过点E作ES⊥x轴于点S，
同理：四边形PEST为平行四边形，∴PT=ES=2，TS=PE= ，OS=
，∴OT=1，∴点P（-1，2）；综上所述，点P的坐标为（4，2）或（-1，2）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练
掌握反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图1，已知 ， ，平行四边形 的边 、
分别与 轴、 轴交于点 、 ，且点 为 中点，双曲线 为常数， 上经过 、 两点．
(1)求 的值；
(2)如图2，点 是 轴正半轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，分别交反比例函数 为常数，
图像于点 ，交反比例函数 的图像于点 ，当 时，求 点坐标；(3)点 在双曲线 上，点 在 轴上，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，试求出满
足要求的所有点 的坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA， EDM≌ EAO，得到AO=DM=1，从而得到D
（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得△到，将△点B（0，-2）作同样的平移即可得到点
C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即 ，设点G（0，t），则
，构造等式 ，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m， ），运用平移思想，分A平移得到Q和
A平移得到P两种情形计算即可．
（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，
∠DEM=∠AEO，∴ EDM≌ EAO，∴AO=DM=1， ∵点D在第一象限，且在反
△ △比例函数 上，∴D（1，k）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2
个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2(-2+k)，解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为
y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2， ∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴
点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，,根据FM=FN，∴MH=HN即 ，
设点G（0，t），则 ，∴ ，∴ ，解得t=
，故点G坐标为（0， ）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m， ），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平
行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单
位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得
到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数 上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时
点Q(0，6)；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|
n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数 上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6(舍去)，此时点Q(0，-6)；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m， ），则
B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，
故点P（-1，-4），即点A向
下平移4个单位，当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练
掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．
考点三 反比例函数与矩形的综合应用
例题：（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴
的正半轴上，点B在反比例函数y＝ （k＞0）的第一象限内的图像上，OA＝6，OC＝4，动点P在y轴的
右侧，且满足S PCO＝ S OABC．
矩形
△(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
(2)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q
的坐标．
【答案】(1)点P的坐标为
(2)点Q的坐标为（11， ）或（11， ）或（－1， ）或（－1， ）
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（m>0），根据S PCO
△
＝ S OABC构建方程，即可求解；
矩形
（2）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时，当四边形CBPQ是菱形时，分别求解，即可解决问题．
（1）
解：∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，
∴点B的坐标为（6，4），
∵点B在反比例函数y＝ （k＞0）的第一象限内的图像上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
设点P的横坐标为m（m>0），
∵S PCO＝ S OABC，
矩形
△
∴ ，即 ，
∵点P在这个反比例函数的图像上，
∴点P的纵坐标为 ，
∴点P的坐标为 ；
（2）
解：由（1）可知点P的横坐标为5，
∴设点Q的坐标为（a，b），点P的坐标为（5，c），
分两种情况：当四边形CBQP是菱形时，如图2，
由菱形和矩形的性质可知，PC=BC=OA＝6，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴点P的坐标为（5， ）或（5， ），
∵ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∵PQ=PC= 6，
∴ ，
解得 ，
∴点Q的坐标为（11， ）或（11， ）；
②当四边形CBPQ是菱形时，如图3，由菱形和矩形的性质可知，
PB=BC=OA＝6，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴点P的坐标为（5， ）或（5， ），
∵ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∵PQ=BC= 6，
∴ ，
解得 ，
∴点Q的坐标为（－1， ）或（－1， ）；
综上，点Q的坐标为（11， ）或（11， ）或（－1， ）或（－1， ）．
【点睛】本题考查反比例函数综合问题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象和矩形
ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且 ， ，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩
形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，根据矩形的性质以及平移的性质，得到平移后A与C在反比例函数图象上，从而根据反比例函数图象上的点的坐标特征解决此题．
【详解】解：如图．
由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．
∵AB=2，AD=4，平移前点A的坐标为（2，6），
∴平移后A坐标为（2，6-a），平移后点C的坐标为C（6，4-a）．
∴2（6-a）=6（4-a）．
∴a=3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移，熟练掌握反比例函数图象
上的点的坐标特征、矩形的性质、平移的性质是解决本题的关键．
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上
的三等分点，反比例函数 刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积 ，
则反比例系数k的值为__．
【答案】10
【分析】根据题意求得 ，进而即可根据反比例函数系数k的几何意义求得k
的值．
【详解】 是CO边上的三等分点，
，，
反比例函数 刚好经过小矩形的顶点 ，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的面积，求得矩形OAGD的面积是关键．
3．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在
反比例函数 的图象上，且 ．将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到矩
形 ，函数 的图象刚好经过 的中点 ，交 于点 ．
(1)求该反比例函数关系式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出点B的坐标为（2， ），进一步求得N（2+ ，2），代入曲线方程中即可
得出k的值，便可得出反比例函数的解析式；
（2）根据k的值可得出点M、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出S OBM=S AOB+S
梯形
ABMD-S DOM=S ABMD，故可得出 OBM的面积． △ △
梯形
（1） △ △矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在反比例函数 的图象上，且
，
点 的坐标为 ，
，
将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到矩形 ，
， ，
，
函数 的图象刚好经过 的中点 ，
， ，
，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ；
（2）
，
， ，
把 代入 得， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化-旋转，反比例函
数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M的坐标是解题的关键．
4．（2022·四川雅安·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数 的图像经过点 ，交 于点 ．
(1)求 的值及直线 的解析式；
(2)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1) ，直线 解析式为
(2) 的周长最小时，
(3)
【分析】（1）先求出D点坐标，然后再代入反比例函数解析式可求得k；然后再确定点E得坐标，再通过
待定系数法即可解答；
（2）先求出 关于 轴对称点为 ，连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，再运用待
定系数法求得直线 的解析式，直线 与x轴的交点即为P点坐标；
（3）先求出直线DE与x轴交点Q的坐标，再求出PE的长，然后结合点D、点E的坐标可求得 、
,最后根据 求解即可．
（1）
解：∵ ， ，
∴ ．
又∵点 是边 的中点，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵ 为 上一点，得 ．
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为 得：
，解得 ，
∴直线 解析式为 ．
（2）
解： 关于 轴对称点为 ，
连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，
设直线 解析式为 得
，解得 ，
∴直线 解析式为
∴直线 与 轴交点为 ，
∴ 的周长最小时， ．
（3）
解：直线 解析式为 ，设其与 轴的交点为 ，
当y=0，可得x=6
2
∴ 的坐标为 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于反比例综合题，主要考查了反比例函数解析式、最短路径以及三角形的面积等知识点，
掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
5．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反
比例函数 的第一象限内的图像上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足
．
(1)若点 在这个反比例函数的图像上，求点 的坐标；
(2)连接 、 ，求 的最小值；
(3)若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ， 或
【分析】（1）由矩形的性质可得出点 的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出 的值，进而
可得出反比例函数解析式，由 可求出点 的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标
特征可求出点 的坐标；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 '交直线 于点 ，利用两点之间线段最短可得出此
时 取得最小值，由点 的坐标可求出点 的坐标，再利用勾股定理即可求出 的最小值；
（3）设点 的坐标为 ，由线段 的长及点 的纵坐标可得出 只能为边，分点 在点 的上方及
点 在点 的下方两种情况考虑：①当点 在点 的上方时，由 可求出 的值，进而可得出
点 ， 的坐标，结合 可得出点 ， 的坐标；②当点 在点 的下方时，由
可求出 的值，进而可得出点 ， 的坐标，结合 可得出点 ， 的坐标．综上，此题可
得解．
(1)
解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴点 的坐标为 ， ，
∵点 在反比例函数 的第一象限内的图像上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
设点 的纵坐标为 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴当点 在这个反比例函数的图像上，点 的坐标为 ；
(2)
如图1，由（1）可知，点 在直线 上，作点 关于直线 的对称点 ，连接 '交直线 于
点 ，
∵点 和点 关于直线 的对称，
∴直线 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
即此时 取得最小值，最小值为 的长，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．(3)
∵ 轴， ，点 的纵坐标为 ，
∴ 不能为对角线，只能为边，
设点 的坐标为 ，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点 在点 的上方时，由 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又∵ ，且 轴，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
②当点 在点 的下方时，由 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又∵ ，且 轴，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
综上所述：当以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时，点 的坐标为 ， ，
或 ．【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题，
勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类
讨论的方法思考问题．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为
（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC
以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当 BPQ与 COQ相似时，求t的值；
△ △
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行
四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．
【答案】(1)3
(2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为 或(3)① ；②当以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（ ，0）
【分析】（1）由点 ， 的运动速度，可找出当 时点 ， 的坐标，进而可得出 ， 的长，再
利用三角形的面积公式可求出此时 的面积；
（2）由 可知分两种情况考虑，①当 时，利用相似三角形的性质可得出关于 的
分式方程，解之经检验后即可得出 值；②当 时，利用相似三角形的性质可得出关于 的分
式方程，解之经检验后即可得出 值．综上，此问得解；
（3）①由题意可得出点 ， 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于 ， 的方程，解
之即可得出结论；
②由①可得出点 ， 的坐标，分 为边及 为对角线两种情况考虑： 当 为边时，利用平行四边
形的性质可求出 值，进而可得出点 的坐标，由点 ， 重合可得出此种情况不存在； 当 为对角
线时，利用对角线互相平分可求出 的值，进而可得出点 ， 的坐标．综上，此问得解．
（1）
当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
．
故答案为：3；
（2）
当运动时间为 秒时， ， ， ．
与 相似， ，
分两种情况考虑：
①当 时， ，即 ，
解得： ， ，
经检验， ， 是原分式方程的解， 符合题意，
；②当 时， ，即 ，
解得： ， ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
；
综上所述：当 与 相似时， 的值为 或 ．
（3）
①依题意，得：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
反比例函数 的图象经过点 、 两点，
，
，
．
②由①可知：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ．
分两种情况考虑：
当 为边时， ，
，
点 的坐标为 ，此时点 ， 重合，不符合题意，
此种情况不存在；
当 为对角线时， ，
，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
综上所述：当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 ， ．【点睛】本题考查了三角形的面积、相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形
的性质，解题的关键是：（1）找出当 时点 ， 的坐标；（2）利用相似三角形的性质，找出关于 的
方程；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于 ， 的方程组；②分 为边及 为对角
线两种情况，利用相似三角形的性质求出点 ， 的坐标．
考点四 反比例函数与菱形的综合应用
例题：（2022·四川遂宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，
点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB
所在直线解析式为 ．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存
在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【答案】(1) ，
(2)0≤m≤
(3)点N坐标为（ ， ）；点M的坐标为（ ， ）
【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解
函数解析式即可；
（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；
（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S ONB=S OFD，求出
△ △
NH即可求得点N坐标，设M（x， ），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．
（1）解：延长AD交x轴于F，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，则AF⊥x轴，∵点D坐
标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反
比例函数的解析式为 ；将A、B坐标代入 中，得 ，解得： ，∴一
次函数的解析式为 ；
（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），∴ ，∴m= ，∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤
．
（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，
由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，则∠NOB=∠FOD，又
∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S ONB=S OFD，则 ，
△ △
∴NH= ，∵点N在直线AB上，∴当x= 时， ，∴点N坐标为（ ， ）；
设M（x， ），则x+0= +4，解得：x= ， ，∴点M的坐标为（ ， ）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析
式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅
助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形 顶
点 与原点 重合， 点 在 轴的正半轴上，点 在函数 的图象上，
________．【答案】
【分析】延长AD交x轴于F，求出DF和OF，即可求出A点的坐标，再代入函数解析式求出k即可
【详解】解：延长AD交x轴于F，
∵四边形ABOD是菱形，
∴AD=OD=4，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
又 ，AD∥OB，
∴A点的坐标是（ ，6），
代入y= 得：k=6 = ，
×
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，用待定系数法求反比例函数的解析式和菱形的性质等知
识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．2．（2022·江苏南京·二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数 ，
的图像上．若 ，则A的坐标为______．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设DE=n，则 ， ，即可得出 ，然后根据菱
形的性质及含30°直角三角形的性质可求出n的值，进而问题可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
设DE=n，由四边形ABCD是菱形可知： ，
∴点A、D的纵坐标为n，
∵顶点A，D分别在函数 ， 的图像上，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴点 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质，熟练掌握反比
例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴上， ， 两点
的坐标分别为 ， ，直线 ： 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．
(1)求该反比例函数的解析式及 的值；
(2)判断点 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点 在该反比例函数的图象上，理由见解答
【分析】（1）因为点 在双曲线 上，所以代入 点坐标即可求出双曲线 的函数关系式，
又因为点 在 双曲线上，代入即可求出 的值；（2）先求出点 的坐标，判断即可得出结论．
（1）
解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得 ；
（2）
解：因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ；
，
点 在双曲线上．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用 表示出点
的坐标．
4．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图1，菱形 顶点 在 轴上，顶点 在反比
例函数 上，边 交 轴于点 ， 轴， ， ．
(1)求 ．(2)如图2，延长 交 轴于点 ，问是否在该反比例函数上存在的点 ，坐标轴上的点 ，使得以 、 、
、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 的坐标，若不存在请说明理
由．
【答案】(1)k＝ ；
(2)Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0， ）．
【分析】（1）设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，根据菱形的性质，得AB＝5，BE＝5−x，在Rt ABE中用勾股
△
定理求出EC＝2，AE＝4，表示出点C、D的坐标，列方程 − ＝4即可求出k；
（2）先求出直线AB的解析式，得F点坐标，设P点坐标（m， ），分情况讨论：①Q在x轴上，设
为（n，0），②Q在y轴上，设为（0，n），根据平行四边形对角线互相平分列式求出n，即可得到点Q
坐标．
(1)
解：设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，
在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝5，则BE＝5−x，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
在Rt ABE中，根据勾股定理，得 ，
△
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴EC＝2，AE＝4，
∴C（2， ），D（5， ），
∴ − ＝4，
解得：k＝ ；
(2)∵k＝ ，
∴C（2，− ），D（5，− ），
∴A（0，− ），B（−3，− ），
设直线AB的解析式：y＝kx＋b，
代入A，B点坐标，得
，
解得：
，
∴直线AB的解析式： ．
当 时，x＝2，
∴F（2，0），
设P（m， ），存在以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵Q在坐标轴上，
①Q在x轴上，设Q（n，0），
当AF，PQ为对角线时，2＝m＋n，− ＝ ，
解得： ，
∴Q（−3，0），
当AP，FQ为对角线时，得m＝n＋2， − ＝0，解得： （舍），
当AQ，FP为对角线，得n＝m＋2，− ＝ ，
解得： ，
∴Q（7，0）；
②当Q在y轴上，设Q（0，n），
当AF，PQ为对角线时，m＝2，− ＝n ，
解得： ，
∴Q（0，4），
当AP，FQ为对角线时，得m＝2， − ＝n，
解得： ，
∴Q（0， ），
当AQ，FP为对角线，得m＋2＝0， ＝n− ，
解得： （舍），
综上，Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0， ）．
【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式、平行四边形的性质
以及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
5．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第
一象限， 轴，反比例函数 的图象经过顶点D．(1)若 ，
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数 的图象上；
(2)若 ， ，求菱形ABCD的边长．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)
【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由 为菱形得 ， ，进而求得
，从而求得 即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G，先求
得 ，即可判断C落在反比例函数 的图象上；
（2）设 ，则 ， ，从而求得BD=2BE=2 ，得 进而有 ，
解得 ，即可求解．
（1）
①解：过点D做y轴垂线交于点F，∵ 为菱形，
∴ ， ，
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴ ，
∴ ，
∴
②证明：过点C做x轴垂线交于点G，
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴ ，
∴ ，
∴C落在反比例函数 的图象上；
（2）
解：∵ ， ，DB=2BE，AC=2AE，
∴设 ，则 ， ，
∴BD=2BE=2 ，
∴
∵D在反比例函数上，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴菱形ABCD的边长为6．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练
掌握菱形的性质是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线
的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为____；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线
上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
【答案】(1)13
(2)反比例函数解析式为
(3)①点E的坐标为（12，-5）；（4，-15）；（- ，25）；②点Q的坐标为（3，-20）
【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的
坐标为（12，5），得到AJ=JC=12，OJ=BJ=5，则 ；
（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作
AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=15，则Q点的横坐标为3，由此求解即可．
（1）
解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（12，5），
∴AJ=JC=12，OJ=BJ=5，
∴ ，
故答案为：5；
（2）
解：∵AJ=JC=12，OJ=BJ=5，
∴点A的坐标为（-12，5），
∵反比例函数 经过点A（-12，5），
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
（3）
解：①设E点坐标为（m， ），
∵OJ=BJ=5，
∴OB=10，∴B点坐标为（0，10），
∵点B关于点O的对称点为D点，
∴D点坐标为（0，-10），
∴直线l为 ，
设P点坐标为（a，-10）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为（ ，25）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，
∵ 与 的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ 的坐标为（12，-5）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，点 的坐
标为（ ，-15）；
综上所述，当E点坐标为（ ，-5）或（4，-15）或（ ，25）时，以P、E、A、B四点构成的四边形
是平行四边形；②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-12，5），直线l为 ，
∴AT=15，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=15，
∴Q点的横坐标为3，
∵Q在反比例函数 上，
∴ ，
∴点Q的坐标为（3， ）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平
行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
考点五 反比例函数与正方形的综合应用
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，A、B分别是 轴正半轴上和 轴正半轴上的点，以AB为边在
第一象限内作正方形ABCD，反比例函数 的图象经过点C．
(1)若点C坐标为（2，3），则 的值为______；
(2)若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
① 则 的值为______；
② 此时点D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
(3)若C、D两点都在函数 的图象上，直接写出点C的坐标为______．
【答案】(1)6
(2)①8，②在；
(3)（1，2）
【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数解析式中的 的值即可；（2）①求出C点坐标，运用待定系数法即可；
②由题意可得D点坐标，代入反比例函数解析式，即可得出结论；
（3）根据全等三角形的性质和判定可得C、D点的坐标特点，即可得到点C的坐标
（1）
∵点C坐标为（2，3），反比例函数 的图象经过点C，
∴ ；
（2）
①连接AC，过点C作CE⊥y轴，过点D作CF⊥x轴，如图所示，
∵A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）
∴OA=OB=2
∵
∴ ，
在正方形ABCD中，AC为对角线
∴ ， ，
∴C点的横坐标为2
∴
∴
∵反比例函数 的图象经过点C
∴
②由上小问可知，反比例函数的解析式为 ，
∵ ，∴
∵CF⊥x轴
∴
∴
∵正方形ABCD，
∴
∴
∴
∴
将 代入反比例函数的解析式 得， ，
∴点D在该反比例函数的图象上
（3）
过点C作CE⊥y轴，过点D作CF⊥x轴，
∵CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴ ，
∵正方形ABCD，
∴
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）∴ ，
同理可得出： ≌
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵C、D两点都在函数 的图象上
∴
∴
∴ ，
∴
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴点C的坐标：
【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定和性质，以及待定系数法求反比例函数解
析式，得出C、D点的坐标特点是本题的特点．
【变式训练】
1．（2022·江苏·星海实验中学八年级期末）如图， 是射线 上一点，过 作 轴于点 ，
以 为边在其右侧作正方形 ，过 的双曲线 交 边于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m， ），把点A的坐标代入反比例函数 ，得到反比例函数的解析式为y＝ ，结合正方形的性质，得到点C，点D和点E的横坐标，把点E的横
坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案．
【详解】解：设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m， ），
∴线段AB的长度为 ，点D的纵坐标为 ，
∵点A在反比例函数 上，
∴k＝ ，即反比例函数的解析式为：y＝ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴正方形ABCD的边长为 ，
点C，点D和点E的横坐标为m＋ ，
把x＝ 代入y＝ 得：y＝ ，即点E的纵坐标为 ，
∴EC＝ ，DE＝ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，正
确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函
数y= （x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．【答案】-9
【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y= 中，先求
出m的值，则可求出k的值．
【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，
∵E点是CD的中点，
∴(m-3， ).
∵B、E都在y= 的图像上，
∴ ，
解得m=-3，
∴B(-3，3)，
∴k=-3×3=-9，
故答案为-9．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、
B，四边形ABCD是正方形，双曲线 在第一象限经过点D，将正方形向下平移m个单位后，点C刚好
落在双曲线上，则m＝________________．【答案】3
【分析】过点C作 轴于点F，过点D作 轴于点E，作 于G，求出D点坐标，代
入双曲线，求出双曲线的解析式，再求出C点坐标，根据平移的性质，得到平移后C点的新坐标，代入双
曲线即可求出m的值
【详解】如图，过点C作 轴于点F，过点D作 轴于点E，作 于G，
直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、B，
当 时， ，即
当 时， ，即
四边形ABCD是正方形，
在 和 中，
,
D点坐标为（6，2），把D点坐标代入双曲线 ，得
则双曲线的解析式为：
同理，
且
四边形DEFG是正方形
C点坐标为（4，6）
当正方形向下平移m个单位后，C点坐标变为（4，6-m），代入双曲线，
得 ，
解得 ．
故答案为：3
【点睛】本题考查函数与几何图形的综合知识，难点在于作辅助线把两者连线起来．
4．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，正方形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在y轴的正半
轴上，顶点C、D都在反比例函数 图象上，则点C的坐标是______．
【答案】
【分析】设 ，作 轴于点E， 轴于点F，进而得到 全等，从而得
到用a表示的D的坐标，从而构建方程解出a的值，进而得到C的坐标．【详解】解：设 ，作 轴于点E， 轴于点F，
则CE=-a， ，
由四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
，
，
由点D在反比例函数 上，
，
解得： （舍）或 ，
，
故答案为：【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的坐标特征、正方形的性质、三角形全等的有关知识，属于较难
的题．
5．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作 轴于点
B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数 图像上．
(1)若点 的横坐标为－2，求 的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 的横坐标，就可以得到 的坐标，即可求 的值；
（2）由正方形 的面积为 ，求出边长为 ，再表示出 和 的纵坐标为 ，进而求出 的坐
标，代入反比例函数 即可．
（1）
解： 当 时， ，
的坐标为 ，
， ，
的坐标为 ，
点 在反比例函数 图象上，
，
；
（2）解： 正方形 的面积为 ，
，
和 的纵坐标为 ，
的坐标为 ， ，
，
的坐标为 ， ，
代入 得
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握利用正方形的边长相
等来表示出各个点坐标．
6．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴
上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝ （x＞
0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
【答案】(1)E（6， ）
(2)12
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A（2，4），得到k=2×4=8，求得点E的坐标为(6，
)；（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，根据梯形的面积公式即可得到答案．
（1）
解：在正方形ABCD中，AB=BC=4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝ 的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴ =6，
将 =6代入y＝ 中，得： ＝ ，
∴点E的坐标为(6， )．
（2）
解：设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，
根据反比例函数的几何意义得 ，
∴ ，
∴
得 ，
∴k= ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函
数的几何意义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA
＝6，OB＝3，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好落在反比例函数
的图象上，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或 或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，
利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得
出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三
角形的性质求解即可．
（1）
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴ ；
（2）
如图所示，过点D作 轴， ， ,
同（1）方法可得： ，
∵ ，
∴四边形OGEA为矩形，∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x= ，
∴m= ，
∴D’(6+ ，9)即D’( ，9)；
（3）
当OA’=OP时，如图所示：
∵A’( ，6)，
OA’= ，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：点A’与点Q关于x轴对称，
Q( ，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴ ，
解得： ，
∴OP=A’Q= ，
∴Q( ，6)，
综上可得：Q( ，6)或( ，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形
的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
