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专题 17 方差、极差、标准差（综合题）
易错点拨
知识点：极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中 ，称为极差，极差＝
细节剖析：
极差是 ，它受 的影响较大.一组数据极差越小，
这组数据就越
2.方差
s2
方差是 .方差 的计算公式是：
1
S2 x x 2 (x x)2 ...(x x)2
n 1 2 n ，其中，x是 x 1， x 2，… x n的
细节剖析：
（1）方差反映的是一组数据 的情况.方差越大，数据的 越大；方差越小，
数据的波动 .
（2）一组数据的每一个数都 同一个常数，所得的一组新数据的方差
k k2
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的 倍.
3.标准差
s
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示 ．
区别：极差表示 ，它受 的影响较大；方差反
映了 ．方差越大，稳定性也 ；反之，则稳定性 ．
所以一般情况下只求 用极差，在考虑到 时用方差.易错题专训
一．选择题
1．（2021秋•汝州市期末）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x、x、
1 2
x、…、x中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝ （|x﹣x|+|x﹣x|+…+|x﹣
3 n 1 2 n
x|）叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说明数据
的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的是（ ）
甲 12 13 11 15 13 14
乙 10 16 10 18 17 7
A．甲、乙两组数据的平均数相同
B．乙组数据的平均差为4
C．甲组数据的平均差是2
D．甲组数据更加稳定
2．（2021秋•青羊区期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩
（单位：环）统计如表：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.7 9.6 9.6 9.7
方差 0.25 0.25 0.27 0.28
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2022春•定海区期末）若一组数据x+1，x+1，…，x+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据
1 2 n
x+2，x+2，…，x+2的平均数和方差分别为（ ）
1 2 n
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
4．（2021秋•历下区期中）在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举
夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进
行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．
姓名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 总计
杨倩 20.9 21.7 21.0 20.6 21.1 21.3 20.5 147.1
根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.3
5．（2020秋•泰山区期末）甲，乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成
绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于 95 分为优异，则下列说法正确的是
（ ）
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 40 93 92 5.2
乙 40 93 94 4.7
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
6．（2021•天心区模拟）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量
的平均数 （单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产
量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
S2 1.9 2.1 2 1.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空
7．（2021秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有
参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是
92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 （填“变小”、“不变”、“变大”）．
8．（2021秋•福田区期末）新兴农场果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选10棵，每棵产量的
平均数 （单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又
稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．
甲 乙 丙44 44 42
S2 1.7 1.5 1.7
9．（2021 秋•巨野县期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝
，由公式提供的信息，①样本的容量是 4，②样本的中位数
是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 （填序号）
10．（2022春•黄陵县期末）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气
温的方差大小关系为S 2 S 2（填＞或＜）
甲 乙
11．（2021秋•莱州市期中）跳远运动员李强在一次训练中，先跳了 6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，
7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为 ．如果李强再跳两次，成绩分别
为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 ．（填“变大”、“不
变”或“变小”）
12．（2021秋•海曙区校级期末）已知一组数据的方差s2＝ [（x﹣6）2+（x﹣6）2+（x﹣6）2+（x﹣
1 2 3 4
6）2]，那么这组数据的总和为 ．
三．解答题
13．（2021秋•中牟县期末）为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、
乙两班中各随机抽取10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
乙班 83.7 82 46.21
甲班 83.7 86 13.21
请将乙班学生成绩按从小到大的顺序写在横线上 ．
（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．
（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．
14．（2021秋•平顶山期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂
可以提供规格为75g的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10
个，记录它们的质量（单位：g）如下：
A加工厂74 74 74 75 73 77 78 72 76 77B加工厂78 74 77 73 75 75 74 74 75 75
并对以上数据进行整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
A加工厂 a 74.5 c 3.4
B加工厂 75 b 75 2
根据以上分析，回答下列问题：
（1）统计表中a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为75g的鸡腿有多少个？
（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．
15．（2021秋•渭城区期末）某学校从九年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体
向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，甲组成绩的众数是 ，乙组成绩的中位数是 ；（2）已知甲组成绩的方差s ＝0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
16．（2021秋•乾县期末）某中学开展“唱歌”比赛活动，八（1），八（2）班各选出5名选手参加复赛，
5名选手的复赛成绩（满分为100分），如图所示：
（1）根据图示填写下表：
班级 中位数/分 众数/分
八（1）班 85
八（2）班 100
（2）通过计算得知八（2）的平均成绩为85分，请计算八（1）的平均成绩．
（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．
（4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的
成绩比较稳定．17．（2021秋•新民市期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派
出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85
B校 85 100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
18．（2022春•宁武县期末）市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让
他们在相同条件下各射击10次，成绩如图所示．
为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答
下列问题：
（1）先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；
（2）根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应
是 ，理由是： ．19．（2021秋•驻马店期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多
少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学
生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信
息作为参考．请你回答下列问题：
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班 100 98 110 89 103 500
乙班 86 100 98 119 97 500
（1）根据上表提供的数据填写下表：
班 级 参加人数 优秀率 中位数 方 差
甲 5
乙 5
（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．
20．（2021•锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成
绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的 5名选手的决赛成绩如
图所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 a 85 b s 2
初中
高中部 85 c 100 160
（1）根据图示计算出a、b、c的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s 2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
初中
