文档内容
专题 23 等差、等比数列及其前 n 项和
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
Ⅰ、等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，
n
即a － a ＝ d 恒成立，则称{a }为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
n＋1 n n
数学语言表达式：a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝.
②推广：若{a
n
}为等差数列，则2a
n－1
＝a
n
＋a
n－2
(n≥3，n∈N
＋
)成立.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a }的首项是a ，公差是d，则其通项公式为a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1 n 1
(2)前n项和公式：S ＝na ＋ ＝ .
n 1
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*).
n m
(2)若{a }为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
(3)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列.
n n m 2m m 3m 2m
(5)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列也为等差数列.
n n
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N
＋
)时，则S
2n
＝ n ( a
n
＋ a
n＋1
)，且S
偶
－S
奇
＝nd，＝.
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N
＋
)时，则S
2n－1
＝ (2 n － 1) a
n
，且S
奇
－S
偶
＝a
n
，S
奇
＝na
n
，S
偶
＝(n－1)a ，＝.
n
Ⅱ、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个 常数 q，即＝q 恒
n
成立，则称{a }为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
n
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G 为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
3.等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和.
n n n
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则a·a＝a a ，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝a ·a .
s t p q p q
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a ，a ，a ，…仍是等比数列，公比为
k k＋m k＋2m
q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，其公比为 q n .
n 2n n 3n 2n
本专题在高考中占有重要地位，多以选择题，填空题的形式出现，在解答题中也会时常出现。
题型一 等差数列基本量的运算
例1 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
答案 D
分析 根据给定条件，利用等差数列前 项和公式及性质计算即得.解析 在等差数列 中， ，解得 ，
而 ，由 ，得 .
故选：D
方法归纳 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，n，d，a ，S ，知道其中三个就能求
1 n n
出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 和公差d.
1
题型二 等差数列的判定与证明
例2 已知首项为1的数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
答案 (1)证明见解析；
(2) .
分析 （1）根据给定条件，利用 变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得.
（2）由（1）求出 ，进而求出 ，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.
解析 （1）由 ，得 ，即 ，
两边同加 ，得 ，则 ，因此数列 为常数列，
所以数列 为等差数列.
（2）由（1）知， ，则 ， ，
当 为正奇数时， ， ；当 为正偶数时， ， ，
当 为正奇数时， ；当 为正偶数时， ，
所以 .
方法归纳 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对任意n∈N*，a
n＋1
－a
n
是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a
n
＝a
n＋1
＋a
n－1
.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a＝pn＋q(p，q为常数)．
n
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S＝An2＋Bn(A，B为常数)．
n
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
答案 C
分析 直接由等差数列的性质即可求解.
解析 由题意 .
故选：C.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
答案 C
分析 根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
解析 因为等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，
所以 .故选：C
(2)若等差数列 的前m项的和 为20，前3m项的和 为90，则它的前2m项的和 为
（ ）
A．30 B．70 C．50 D．60
答案 C
分析 根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值.
解析 ∵在等差数列 中， ， ， 也成等差数列，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选:C.
方法归纳 (1)项的性质：在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋a＝a＋a.
n m n p q
(2)和的性质：在等差数列{a}中，S 为其前n项和，则
n n
①S
2n
＝n(a
1
＋a
2n
)＝…＝n(a
n
＋a
n＋1
)．
②S
2n－1
＝(2n－1)a
n
.
③依次k项和成等差数列，即S，S －S，S －S ，…成等差数列．
k 2k k 3k 2k
题型四 等比数列基本量的运算
例5 已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．24 B．12 C．20 D．15
答案 D
分析 根据给定条件，借助等比数列前 项和公式求出公比 即可得解.
解析 设等比数列 的公比为 ，显然 ，否则 ，此等式不成立，
则 ，由 ，整理得 ，即 ，
因此 ，所以 .
故选：D
方法归纳 (1)等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而
1 n n解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S ＝na ；当q≠1时，
n n 1
{a}的前n项和S＝＝.
n n
题型五 等比数列的判定与证明
例6 已知 为数列 的前 项和，若 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)令 ，若 ，求满足条件的最大整数 .
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）利用 与 的关系式可得 ，即 ，即可得证.
（2）由（1）可得 ，则 ，设 ，根据等比数列的前 项和公式
可得 ，令 ，结合 ，即可求解.
解析 （1）证明：由 可得，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
则
，即 ，
即 ，即 ，
又 ，
所以数列 是首项为6，公比为2的等比数列.（2）由（1）得 ，则 ，
设 ，
则
令 ，得 ，
即 ，即 ，
又 ， ， ，
所以满足条件的最大整数为 为5.
方法归纳 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列．
n
(2)等比中项法：若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a＝a
n
·a
n＋2
(n∈N*)，则{a
n
}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}是等比数列．
n n n
题型六 等比数列的性质
例7（1）记等比数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．121 B．63 C．40 D．31
答案 A
分析 利用等比数列的下标和性质求得 ，进而利用等比数列的通项公式求得 ，再利用等比数列的求
和公式即可得解.
解析 根据题意，设等比数列 的公比为 ，
若 ，则有 ，得 ，
又由 ，则 ，解得 ，故 ，
则 .
故选：A.
（2）已知等比数列 ， ， 为函数 的两个零点，则
（ ）
A． B． C． D．3
答案 C
分析 由题意 ，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.
解析 由题意 是一元二次方程 的两个根，由韦达定理有 ，
而对于等比数列 而言， ，
从而
.
故选：C.
方法归纳 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n项和
公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
题型七 分组求和与并项求和
例8 已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2024项和．
答案 (1)
(2)1012分析 （1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得 即可；
（2）得到 表达式后，发现 （ ），故由分组求和法即可求解.
解析 （1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可知， ，即 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可知， ，
对于任意 ，有 ，
所以 ，
故数列 的前2024项和为
．
方法归纳 (1)若数列{c}的通项公式为c＝a±b，且{a}，{b}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数
n n n n n n
列{c}的前n项和．
n
(2)若数列{c}的通项公式为c ＝其中数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c}的前
n n n n n
n项和．
题型八 错位相减法求和
例9 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， （ 且 ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和 ，求证： ．
答案 (1)
(2)证明见解析
分析 （1）根据 的关系可得 为等差数列，即可求解 ，进而可得 ，（2）利用错位相减法求和，即可求证.
解析 （1）当 时， ，
即 ，解得 ．
因为 （ ），
所以 （ ），
又 （ ， ）， ，
所以 （ ），
又 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，由于 ，所以
方法归纳 (1)如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，常采用错位相减法．
n n n n
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S －qS”
n n n n
的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S＝na.
n 1
题型九 裂项相消法求和
例10 已知等差数列 的前n项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 为数列 的前n项和，求 的值.
答案 (1)
(2)
分析 （1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出 的通项公式；
（2）根据等差数列前 项和公式可得 ，裂项可得 ，即可求出 .
解析 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 可得 ，
解得 ，
所以 ；
因此 的通项公式为 ，（2）由（1）可得 ；
所以 ，
因此数列 的前n项和 ;
即可得 .
方法归纳 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a}是等差数列，则＝，
n
＝.
