文档内容
专题 18 平行线的判定与性质（综合题）
易错点拨
知识点01：平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为： ）.
c
a
1
3
b 2
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为： ).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行， ），
又∠3+∠1=180°（ ），
所以∠2+∠1=180°.
细节剖析：平行线性质定理的证明，要借助 ，因为公理是人们在生产和生活中总
结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
知识点01：平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由 判断 ．平行线的性质
是由 来寻找角的 ．（2）应用 时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质 ，用于 并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是 ．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
易错题专训
一．选择题
1．（2021春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM
与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
2．（2021 春•沙坪坝区校级期末）如图，直线 AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为
（ ）
A．38° B．42° C．52° D．62°
3．（2019秋•缙云县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点
B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（ ）A．64° B．69° C．111° D．116°
4．（2018秋•武昌区校级期中）如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过
P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．
则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
6．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
7．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD
延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
二．填空题
8．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE
从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋
转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速
度是 1°/s，在射线BF到达BP之前，有 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是
s．
9．（2021秋•牡丹区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；
③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有 ．10．（2021春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：
①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．
正确的是 ．
11．（2021春•西城区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等
的角有 个．
12．（2021春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为
．
13．（2022春•岳池县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：
①∠BOE＝ （180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论
（填编号）．
三．解答题
14．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段
MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于
点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P
逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个
运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足
条件的t的值．
15．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接
AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．16．（2022春•凤凰县期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分
∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作
HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
17．（2022春•潍坊期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，
CD为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF的位置关系，并说
明理由．18．（2021秋•汝州市校级月考）平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问
题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：
（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；
（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：
∠CAM＝∠BAN．
19．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线
OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存
在，说明理由．20．（2021秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图 1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝
°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝
；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎
样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以
找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
