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专题2.28 一元一次不等式和一元一次不等式组知识点分类专题（巩固篇）
（专项练习）
一、填空题
知识点一、不等式（组）的定义
1．如果 是关于x的一元一次不等式，则m=_______
2．写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组：________．
3．已知2a－2x2－3a＜1是关于x的一元一次不等式，则a＝________，不等式的解集为
________．
知识点二、不等式的基本性质
4．以下说法正确的是：_______.
①由 ，得 ；②由 ，得
③由 ，得 ；④由 ，得
⑤ 和 互为相反数；⑥ 是不等式 的解
5．已知 ，则整数 ________．
6．已知 ，若 则b的取值范围________
知识点三、不等式（组）的整数解
7．不等式的3x﹣6≤2+x非负整数解共有 ___．
8．不等式 的非负整数解共有__个．
9．关于 的不等式 的非负整数解为________．
知识点四、不等式（组）的最值
10．不等式 的最小整数解是__________．
11．若不等式 的最小整数解是 ，不等式 的最大负整数解是 ，则
_____．
12．若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是_____．
知识点五、不等式（组）与一次函数
13．如图，直线l：y＝ax+b经过（﹣3，0），（0，1）两点，直线l：y＝kx﹣2；①若
1 1 2 2
l∥l，则k的值为 _____；②当x＜1时，总有y＞y，则k的取值范围是 ________．
1 2 1 214．已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+4相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D
（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是 _____．
15．已知一次函数 （m为常数），若其图象经过第一、三、四象限，
则m的取值范围为____．
16．如图，直线 与 交点的横坐标为 ．则关于 的不等式
的解集为______．
知识点六、不等式（组）的参数问题
17．已知不等式 的正整数解恰好是1、2、3，则 的取值范围是______．
18．若不等式组 无解，则 的取值范围是_________．
19．若整数 使关于 的一次函数 不经过第三象限，且使关于 的不等式组
有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数 的值之和为______．20．如果不等式组 的解集中任何一个x的值均不在3≤x≤4的范围内，则a的取值
范围是_______．
知识点七、不等式（组）与方程（组）
21．若方程组 的解 ， 的值都不大于 ，则 的取值范围是______．
22．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，求m的取值范
围______．
23．已知关于x、y的方程组 的解为非负数，则整数m的值为________．
知识点八、用不等式（组）解决直角坐标系中的参数问题
24．若点P（m， ）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是_______．
25．若关于 的不等式组 的解集是 ，则 在第_______________象
限.
26．若点P（2m﹣3，﹣m）在第四象限，则m的取值范围是 __________________．
知识点九、用不等式（组）解决几何问题
27．在 中，若 ， ，则中线 的最小整数值是___________．
28．在实数范围内规定新运算“ ”，其规则是：a b＝2a﹣b，已知不等式x k≥2的解集
在数轴上如图表示，则k的值是_△____． △ △
29．已知一个锐角为（5x﹣35）°，则x的取值范围是_____．
知识点十 、不等式（组）的应用
30．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.2]=5，[-1]=-1，[-
π]=-4；如果 ，则x的最大值为______．
31．为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安
排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于
4人．则这个中学共选派值勤学生______人．
32．某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不
下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有学生______．
知识点十一 、用不等式（组）解决二次根式和绝对值问题
33．若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
34．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________．
35．已知 那么|x-3|+|x-1|=_____．
36．已知关于x的不等式组 只有两个整数解，则实数m的取值范围是
__________．
37．不等式 x﹣2x＞1的解集是 ___．
二、解答题
知识点十二、 的解集
38．解不等式：
（1） （2）
39．解下列不等式：
（1） （2）参考答案
1．1
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
解：∵ 是关于x的一元一次不等式，
∴ ≠0且|m|=1,
∴m＝1.
故答案是：1.
【点拨】考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
2． （答案不唯一）
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小
大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
解：根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为 此题答案不唯一．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的
简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
3． x>－【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1即可求得a的值，然后解不等式
即可求解．
解：解：根据题意得：2-3a=1，
解得：a= ，
则不等式是： -2x＜1，
解得：x＞— ．
故答案是： ， x＞—
【点拨】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考
查．
4．②③④
【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．
解：解：①由 ，当 时，得 ，故结论①错误；
②由 ，得 ，故结论②正确；
③由 ，得 ；故结论③正确；
④由 ，得 ；故结论④正确；
⑤ 和 互为相反数，当 为奇数时， ，故结论⑤错误；
⑥ 是不等式 的解，故结论⑥错误；
故正确的结论为：②③④．
【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．
5．1
【分析】估计 在哪两个连续整数之间，再根据不等式的性质求3- 的范围即可．
解：解：∵ ，
即 ，
，
，∵
∴n=1．
故答案为：1
【点拨】本题考查了算术平方根的估算，解题关键是确定 在哪两个连续整数之间，再确
定整数n值．
6．2- ＜b＜2
【分析】先根据二次根式被开方数大于等于0、算术平方根以及不等式的基本性质求出a的
取值范围，然后再求出2-a的范围即可解答．
解：解：∵ ， ＞0，a＞0
∴ ＜0，a＞0
∴0＜a＜
∴- ＜-a＜0
∴2- ＜2-a＜2
∴2- ＜b＜2．
故答案为2- ＜b＜2．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的性质、不等式的基本性质等知
识点，确定出a的取值范围是解答本题的关键．
7．5
【分析】不等式移项、合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
解：3x﹣6≤2+x，
3x﹣x≤2+6，
2x≤8，
解得：x≤4，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4共5个．故答案为5．
【点拨】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算步骤是解本题的关键．
8．4
【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即
可．
解：解： ，
，
，
解得： ，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．0，1，2
【分析】先解不等式，确定不等式的解集，然后再确定其非负整数解即可得到答案．
解：解：解不等式 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的非负整数解为：0，1，2．
故答案为：0，1，2．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用及一元一次不等式的整数解的知识，确定其解集
是解题的关键．
10．
【分析】先求出不等式的解集，再从中找出最小正整数即可．
解： ，
2(3x-1)-5(x-1) ≥10，
6x-2-5x+5≥10，
6x-5x≥10+2-5，x≥7，
∴最小整数解是7．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本
题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
11．3
【分析】根据不等求得 的取值范围，从而可以得到 、 的值，进而求得 的值．
解：解： ，
移项，得 ，
合并同类项，得， ，
不等式 的最小整数解是 ，
，
，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得， ，
不等式 的最大负整数解是 ，
，
，
故答案为：3．
【点拨】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
12．13
【分析】先解不等式得到 ，再根据正整数解是1，2，3得到 时，然后
从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
解：解：解不等式3x＋1＜m，得 ．
∵关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，
∴ ，
∴ ，
∴整数m的最大值是13．
故答案为13．【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式
的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件
进而求得不等式的最大整数解．
13． ≤k≤
【分析】①利用待定系数法即可求出直线 的解析式，再根据 ，即可取出 的值；
②将x=1代入 ，即可得出直线l 经过(1， )，再将(1， )代入 ，即可
1
得出此时k的值．将x=0代入 ，得出直线l 经过定点(0，-2)．画出图象，可根据
2
图象知当直线l 绕着点(0，-2)顺时针旋转至两直线平行之间任意位置时都满足题意，即得
2
出k的取值范围．
解：①将点(-3，0)、( 0，1)代入 ，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
②将x=1代入 ，得： ，
∴直线l 经过(1， )，
1
将(1， )代入 ，得： ，
解得 ，
∵直线l 经过定点(0，-2)，
2当直线l 绕着点(0，-2)顺时针旋转至两直线平行之间任意位置时都满足题意，
2
∴ ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
14．
【分析】若点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），则D点在两条直线的下方
同时在x轴上方，可列出不等式组求解．
解：解：∵点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），
∴D点在两条直线的下方同时在x轴上方，
∴列不等式组 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与一元一次不等式的综合应用，准确计算是解题的
关键．
15．
【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式组求解．解：解：由一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
解得，m＞ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理
解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象
限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过
原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
16．
【分析】求出直线 与 轴的交点，利用图象法即可解决问题；
解：解： 直线 与 的交点的横坐标为 ，
关于 的不等式 的解集为 ，
时， ，
不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解
不等式问题．
17．
【分析】首先求得不等式 的解集，其中方程的解可用a表示，根据不等式的正整
数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围．
解：解：解不等式 得： ，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为 ．
【点拨】此题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定 的范围是解
题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．18．a≤2
【分析】根据不等式解集的情况列得 ，计算即可．
解：解：∵不等式组无解，
∴ ，
解得a≤2，
故答案为：a≤2．
【点拨】此题考查不等式组的解集求参数，正确掌握不等式组的解集的几种情况正确列式
计算是解题的关键．
19．5
【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出 ，根据不等式组的解集不等式组的解
集为 ，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出 ，综合得出
，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．
解：解：关于 的一次函数 不经过第三象限，
，
解得 ，
，
解不等式①得 ，
解不等式② ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∵ 为整数，
∴ 或 ，
∴2+3=5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌
握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．
20．a≤2或a≥4
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与3≤x≤4的关系，
可得答案．
解：解： ，
解不等式①，得a＜x，
解不等式②，得x＜a+1，
∴不等式组的解集为a＜x＜a+1，
∵不等式组 的解集中任何一个x的值均不在3≤x≤4的范围内，得
∴a+1≤3或a≥4，
解得a≤2或a≥4，
即a的取值范围是a≤2或a≥4．
故答案为：a≤2或a≥4．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关
键．
21．
【分析】解关于x、y的二元一次方程组 得 ，根据 ， 的值都不大于
，得到关于 的不等式组，解不等式组即可求解．
解：解：解关于x、y的二元一次方程组 得，
∵ ， 的值都不大于 ，
∴ ，
解不等式组得 ．
故答案为：
【点拨】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根据题
意得到关于a的不等式组是解题关键．
22．－5＜m＜
【分析】直接把方程①与②相加或相减可得x+y与x-y，再把原不等式组中的x+y与x-y整
体代换成含m的式子，而后解不等式组即可．
解：解： ，
①-②，得x-y=-5m+1；
①+②，得3x+3y=-3m+9，
整理得x+y=-m+3；
∵ ，
∴ ，
解不等式③，得m＜ ，
解不等式④，得m＞-5，
所以-5＜m＜ ．
故答案为-5＜m＜ ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、不等式组的解法，解含参数的方程组时，
若求解的是两个未知数的和或差，要先观察方程组中未知数系数若成交错相等，则可直接
整体加或减．
23．7，8，9，10
【分析】首先解方程组，然后根据解为非负数建立不等式组求解集，再写出解集中的整数
即可．
解：解：解方程组 ，
得 ．
由题意，得 ，
解得 ．
因为m为整数，所以m只能为7，8，9，10．
故答案为：7，8，9，10．
【点拨】本题考查方程组与不等式组，解方程组并得出关于m的不等式组是解题的关键．
24．
【分析】由题意知点P必在第一象限，根据第一象限的坐标特征，可列出关于m的一元一
次不等式组，解不等式组即可求得m的取值范围．
解：∵点P（m， ）关于原点的对称点Q在第三象限
∴点P（m， ）在第一象限
则
解不等式组得：
故答案为：
【点拨】本题考查了两点关于原点对称的性质，点在各个象限的坐标特征，解一元一次不
等式组，掌握这些知识是解决本题的关键．
25．四【分析】利用不等式组的解集“同小取小”得到m≥4，然后可得m+1＞0，2-m＜0，再根据
点的坐标象限分布特征即可求解.
解：解：∵关于x的不等式组 的解集是x＜4，
∴m≥4，
∴m+1＞0，2-m＜0，
∴P（m+1，2-m）在第四象限．
故答案为：四．
【点拨】本题主要考查了不等式组的解集以及点的坐标，根据不等式组的解集求出m的取
值范围是解答本题的关键．
26．m＞
【分析】先根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，再进一步求解即可．
解：解：∵点P（2m﹣3，﹣m）在第四象限，
∴ ，
解不等式①，得：m＞ ，
解不等式②，得：m＞0，
则m＞ ，
故答案为：m＞ ．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组和点的坐标符号特征，正确求出每一个不等式
解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是
解答此题的关键．
27．2
【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在
△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
解：解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=7，CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜12，
∴1＜x＜6，
∴1＜AD＜6．
最小整数解为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理，倍长中线法证明三角形全等，关键是掌握三
角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
28．-4
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合
图象可以求得k的值．
解：解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x k＝2x﹣k≥2，
∴2x△﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣4．
故答案填：﹣4．
【点拨】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
29．7＜x＜25解：解：由题意可知：0＜5x﹣35＜90
解得：7＜x＜25
故答案为7＜x＜25
30．2
【分析】首先根据定义确定出代数式 的范围，建立不等式组，从而求解不等
式即可．
解：解：根据定义可知： ，
解得： ，
∴x的最大值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查新定义问题，准确将题干信息转化为不等式组并求解是解题关键．
31．158
【分析】设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生
人，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；
解：设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生 人，
依题意得： ，
解得： ，
∵x为正整数，
∴ ，
∴ 人；
故答案是：158．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确计算是解题的关键．
32．37人或42人
【分析】设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人，根据“如果每间宿舍住8人，那么最
后一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值
范围，再结合x为整数即可确定x的值，再将其代入（5x+12）中即可求出结论．解：解：设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人，
依题意得： ，
解得：4＜x＜ ．
又∵x为整数，
∴x可以为5或6．
当x＝5时，5x+12＝5×5+12＝37；
当x＝6时，5x+12＝5×6+12＝42．
故答案为：37人或42人．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解
是解题关键．
33．﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
解：解：若代数式 有意义，
必有 ，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤ 且x≠ ．故答案为：﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【点拨】本题考查了二次根式的概念：式子 （a≥0）叫二次根式， （a≥0）是一个非
负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在
分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
34． 且
【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可．
解：由题意得 且
解得
且
故答案为： 且
【点拨】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一
般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考
虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
35．2
【分析】先求出不等式组的解集，再根据x的取值化简绝对值即可求解．
解：解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为： ，
∴x-3＜0，x-1＞0，
∴ ．
故答案为：2
【点拨】本题考查了求不等式组的解集和绝对值的化简，正确求出不等式组的解集，正确
化简绝对值是解题关键．
36．
【分析】分 和 两种情况，列出不等式组，根据不等式组有两个整数解求解
可得．
解：解：当 时， ，，
；
当 时， ，
，
不等式的解为 ，
不等式组 只有两个整数解，
两个整数解为 和 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据绝对值性质分类讨
论及由不等式组的整数解得出 的值．
37． ##
【分析】先根据不等式的基本性质求得 ，再根据二次根式的分母有理化计算即可．
解：解：∵ x﹣2x＞1，
∴( ﹣2)x＞1，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式以及二次根式的分母有理化，熟练掌握不等式的基
本性质以及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
38．（1） ；（2） 或 ．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；
（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.解：解：（1）∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
原不等式变形为： 或 ，
解得： 或 ．
【点拨】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.
39．（1） 或 ；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
解：（1）
当 时，则 ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， 或 ；
（2）
当 ，即 时， ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
