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专题 2.28 用二次函数解决问题（专项练习 1）
一、单选题
1．如图，抛物线 交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B
的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标
为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．用长 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大
透光面积是（ ）.
A． B． C． D．
3．如图所示，将一根长 m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系
是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
4．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 的篱笆围成．已知墙长为 若平行于墙的一边长不小于 则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图 和 都是边长为 的等边三角形，它们的边 在同一条直线 上，点
， 重合，现将 沿着直线 向右移动，直至点 与 重合时停止移动．在此过程中，
设点移动的距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ，则 随 变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，矩形 中， ，P是线段 上一点（P不与B重合），M是上一点，且 ，设 的面积为y，则y与x之间的函数关系式为
（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA
与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．
设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y
与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．8．如图，边长为 的正 的边 在直线 上，两条距离为 的平行直线 和 垂直于直线
， 和 同时向右移动（ 的起始位置在 点），速度均为每秒 个单位，运动时间为 （秒），
直到 到达 点停止，在 和 向右移动的过程中，记 夹在 和 间的部分的面积为 ，
则 关于 的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为
，当涵洞水面宽 为 时，涵洞顶点 至水面的距离为A． B． C． D．
10．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如
图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣ x2，当水位线在 AB位置时，水面
宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3m B． m C．4m D．9m
12．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 （单位：元）与每件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
13．某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销
售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价
应定为（ ）
A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件
14．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一
个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利
润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x-40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）
15．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，
则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获
利大，每把伞每天应提高收费（ ）
A．7元 B．6元 C．5元 D．4元
二、填空题
16．用一根长为 的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________ ．
17．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为 m，则围成
长方形的生物的面积 （单位： ）与x的函数表达式是___________．（不要求写自变量 的
取值范围）18．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长 ），中间用两道墙隔开
（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 ，则这三间长方形种牛饲养室的总占
地面积的最大值为______ ．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连
接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE
面积的最大值为_________．
20．如图，一段抛物线： 记为 ，它与 轴交于两点 ， ；将
绕 旋转 得到 ，交 轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交 轴于 ； 如此进行
下去，直至得到 ，若点 在第 段抛物线 上，则 ___________．21．二次函数 的图像如图所示，点A 位于坐标原点，A，A，A，…，A 在y轴的
0 1 2 3 2009
正半轴上，B ，B ，B ，…，B 在二次函数 第一象限的图像上，若△AB A，
1 2 3 2009 0 1 1
△AB A，△AB A，…，△A B A 都为等边三角形，计算出△A B A 的边长为
1 2 2 2 3 3 2008 2009 2009 2008 2009 2009
_____．
22．如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形
APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°．M、N分别是对角线AC、BE的中
点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为______．（结果留根号）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物
线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则
△ABP的面积是_____．24．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽 为 时，桥洞顶部离水面 ．若选取拱形顶
点 为坐标原点，以水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．
25．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式
为 ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 高为8米的点 ， 处要安
装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 是__________米．
26．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为
，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为________m．
27．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达
式为 ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装
两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．28．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（ ，且x为
整数）出售，可卖出 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
29．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当
每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个
房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元．
30．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，
计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶
50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
三、解答题
31．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生
物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），
设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，
并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．32．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 时，宽为 ，若水
位上升 ，水面就会达到警戒线 这时水面宽为 ．
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱
桥的拱顶？
33．如图，正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上一动点，点 ， 同
时从点 出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，当点 与点 重合时，运动停止，设运动时间为 ，运动过程中 的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并写出自变
量 的取值范围．
34．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市
场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出
5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？参考答案
1．B
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点 横坐标，代入 可得纵坐标.
解：令 得 ，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当 时，
所以点Aʹ的纵坐标为2.
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
2．C
【分析】
设窗的高度为xm，宽为 m，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
解：设窗的高度为xm，宽为（ ）m，
故S= ．
∴S= = ．∴当x=2m时，S最大值为 m2．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．
3．C
【分析】
设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．
设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关
键．
4．C
【分析】
设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二
次函数的图像及性质求最值即可．
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图像的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
【点拨】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图像及性质是解题关键．
5．A
【分析】
根据图像可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出面积y
是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为y=x· ·
= ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图像的性质可判断答案为A,
故选A.
【点拨】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次
函数图形得出结论.
6．A
【分析】
根据勾股定理可得 ，因为 ，所以 ，过点M作 于点E，
可得 ，然后根据相似三角形的性质得到 ，由此可用x表示ME，最
后根据三角形的面积公式即可确定函数关系．
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
如图，过点M作 于点E，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，P不与B重合，那么 ，可与点C重合，那么 ．
故y与x之间的函数关系式为 ．
故答案选A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式．
7．C
【分析】
根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
解：当x≤2cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y＝ x2，
是一个开口向上的二次函数；
当x＞2时，
重合部分是直角梯形，
面积为：y＝8﹣ （x﹣2）2，
是一个开口向下的二次函数，
故选：C．【点拨】本题是对函数图像的考查，熟练掌握图像的面积及函数知识是解决本题的关键.
8．B
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图像
为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3
时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分．
如图①，当0≤t＜1时，BE＝t，DE＝ t，
∴s＝S ＝ ×t× t＝ t2；
△BDE
如图②，当1≤t＜2时，CE＝2−t，BG＝t−1，
∴DE＝ （2−t），FG＝ （t−1），
∴s＝S ＝S −S −S
五边形AFGED △ABC △BGF △CDE
＝ ×2× − ×（t−1）× （t−1）− ×（2−t）× （2−t）
＝− t2＋3 t− ；
如图③，当2≤t≤3时，CG＝3−t，GF＝ （3−t），∴s＝S ＝ ×（3−t）× （3−t）＝ t2−3 t＋ ，
△CFG
综上所述，当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图像为开
口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，
不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
9．C
【分析】
根据抛物线的对称性及解析式求解．
解：依题意，设 点坐标为 ，
代入抛物线方程得： ，
即水面到桥拱顶点 的距离为16米．
故选： ．
【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图像与性质是解题关键．
10．B
【分析】
根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．
由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为 ，将原点坐标代入可得 ，
解得：a＝ ，
故该抛物线解析式为y＝ ＝
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点
坐标设出顶点式是解题关键．
11．D
【分析】
根据题意可得点A、B的横坐标分别为-6和6，然后把点B的横坐标代入抛物线解析式求解即可．
解：由题意及抛物线的对称性得：点A、B的横坐标分别为-6和6，
则有把点B代入解析式得： ，所以这时水面离桥顶的高度为9m；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．D
【分析】
由每件涨价 元，可得出销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，
再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴ 销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，
∴ 每星期销售出商品的利润 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间
的函数关系式．
13．D【分析】
根据函数解析式为y＝−x2＋160x−4800，可得当x＝− ＝80时，y有最大值1600．
解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝﹣ ＝80时，y＝ ＝1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，
然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
14．D
【分析】
根据题意直接列式计算求解即可．
解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，由题意可得：
；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到二次函数表达式即可．
15．C
【分析】
设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量
为（100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．
解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100-5x），
整理得S=-5x2+50x+1000，
=-5（x-5）2+1125，
∵-5＜0
∴当x=5时,S最小,
即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元
故选C．【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题
目中实际条件解决问题．
16．
【分析】
先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（10-x）cm，
其面积为s=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，
∴当x=5时，s的最大值=25
∴周长为20cm的矩形的最大面积为25cm2．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的
性质求解．
17．
【分析】
设围成长方形的生物园的长为 m，围成长方形的生物园的宽为（ -x）m，利用矩形的面积公
式列出矩形面积S与x的关系式；
解：设围成长方形的生物园的长为xm，则宽为（ -x）m，围成长方形的生物园的面积为
Sm2，
S=x（ -x）=-x2+8x，
∴围成长方形的生物的面积 （单位： ）与x的函数表达式是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．144
【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根
据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．
解：如图，设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48-4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB•BH=x（48-4x）=-4（x-6）2+144
∴x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144，
故答案为：144．
【点拨】本题考查实际问题与二次函数最值，需要根据题目列出函数关系式，然后利用函数的性
质求出该问题的最值．
19．
【分析】
作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得 EDN≌ DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角
形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S ＝
△BDE
＝ （9﹣x）＝﹣ （x﹣4.5）2+ ，根据二次函数的性质即可求得．
解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在 EDN和 DCM中
∴ EDN≌ DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝ AC＝ 6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S ＝ ＝ （9﹣x）＝﹣ （x﹣4.5）2+ ，
△BDE
∴当BD＝4.5时，S 有最大值为 ，
△BDE
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解
题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
20．-1
【分析】
将这段抛物线C 通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C 与
1 1
C 的顶点到x轴的距离相等，且OA ＝AA，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C
2 1 1 2 6
的顶点，从而得到结果．∵y＝−x（x−2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝−（x−1）2＋1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A 坐标为（2，0）
1
∵C 由C 旋转得到，
2 1
∴OA ＝AA，即C 顶点坐标为（3，−1），A（4，0）；
1 1 2 2 2
照此类推可得，C 顶点坐标为（5，1），A（6，0）；
3 3
C 顶点坐标为（7，−1），A（8，0）；
4 4
C 顶点坐标为（9，1），A（10，0）；
5 5
C 顶点坐标为（11，−1），A（12，0）；
6 6
∴m＝−1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会
从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型．
21．2009
【分析】
此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△AAB 的边长为m，由于此三
0 1 1 1
角形是正三角形，则∠B AA＝60°，∠B Ax＝30°，可用边长m 表示出B 的坐标，代入抛物线
1 0 1 1 0 1 1
的解析式中，即可得到m 的值，同理可求出△AB A、△AB A 的边长，通过观察得到这些三
1 1 2 2 2 3 3
角形边长值的变化规律来求得到△A B A 的边长．
2008 2009 2009
解：设△AAB 的边长为m；
0 1 1 1
∵△A AB 是等边三角形，
0 1 1
∴∠A AB ＝60°，∠B Ax＝30°；
1 0 1 1 0
故B （ ， ）；
1
由于点B 在抛物线的图像上，则有：
1
×（ m）2＝ ，解得m＝1；
1 1
同理设△AAB 的边长为m；
1 2 2 2同上可得B （ ，1+ ）；
2
由于点B 也在抛物线的图像上，则有：
2
×（ m）2＝ +1，解得m＝2；
2 2
依此类推，△AB A 的边长为：m＝3，
2 3 3 3
…
△AB A 的边长为m ＝n+1；
n n+1 n+1 n+1
∴△A B A 的边长为2009．
2008 2009 2009
【点拨】此题是典型的规律型试题，需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律，然后根据
得到的规律求出特定的值．
22．
【分析】
连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结
合二次函数即可求解；
解：连接MP，NP，
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，
∴MP= AP，NP= BP，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，
∴MP⊥NP，
∴MN2=MP2+NP2，
即MN2=（ AP）2+（ BP）2= [AP2+（12-AP）2]= （AP2-12AP+72）= （AP-6）
2+18，当AP=6时，MN有最小值3 ，
∴点M、N之间的距离最短为3 ；
故答案为3 ；
【点拨】本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数
最小值是解题的关键．
23．2
【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形
的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x=0，x=2，
1 2
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S= ×2×2=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的
关键．
24．
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可．
解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，由题意知B（6，-4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（6，-4）代入，得：-4=36a，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
25．
【分析】
根据题意可知E、F两点是关于y轴对称的，且纵坐标都为8，则代入解析式可分别求解出两点的
横坐标，从而计算出EF的长度．
由题，E、F两点是关于y轴对称，纵坐标都为8，代入解析式，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．
26．4
【分析】
根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是OC的长．
解：根据抛物线的对称性，
∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ．
故答案是：4．
【点拨】本题考查二次函数图像性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图像的性质．
27． 米
【分析】
已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线
解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”，
把y=8代入 得：
x=±4 ，
∴由两点间距离公式得：EF=8 （米），
故答案为：8 米．
【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键
28．25
【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为
数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
29．360 10240
【分析】
设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则
，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
设房价为x元，利润为y元，
则有 ，
故 元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关
键．
30．70
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
31．（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为
112.5平方米；（3） ．
【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求
解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，然后由（1）
可知6≤x＜15，可进行求解．
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x＝3，x＝12，
1 2
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5时，y ＝112.5；
最大
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x的取值范围为 ．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．
32．（1）坐标系见详解， ；（2）5小时．
【分析】
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得
点B、D的横坐标，设抛物线解析式为 ，然后可进行求解；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．
解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为 ，点D的坐标为 ，则 ，
由抛物线经过点D和点B，可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时 的速度上升，从警戒线开始，到
达拱顶的时间为 （小时），
答：从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
33．
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方
形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
解：设运动时间为 ，
点 ， 同时从点 出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，
， ， ， ，
的面积 正方形 的面积 的面积 的面积 的面积，
即：
【点拨】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、
△ADF的面积、△ECF的面积．
34．（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y =4500；（3）70≤x≤90.
最大值
【分析】
(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之
间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量,
即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单
价.(3) 根据开口向下的抛物线的图像的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）
2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y =4500；
最大值
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x=70，x=90．
1 2
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用.
