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第二章 实数1. 知识与技能：理解平方根、立方根、实数的概念，会求数的平方根和立方根，能
对实数进行分类，掌握实数的相关运算规则。
2. 过程与方法：经历从有理数到实数的拓展过程，体会类比、转化的数学思想，提
教学目标
升数感和运算能力，能运用实数知识解决简单问题。
3. 情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发对数学学习的兴趣，
培养严谨的思维习惯和解决问题的能力。
1.重点
（1）平方根、立方根的概念及求法，能准确区分平方根与算术平方根，熟练计算数
的平方根和立方根。
（2）实数的概念、分类及运算，理解实数与数轴上点的一一对应关系，掌握实数的
加减乘除及开方运算。
教学重难点
2.难点
（1）平方根、算术平方根的概念辨析，学生易混淆二者定义，在求平方根和算术平
方根时易出现符号错误。
（2）实数运算中无理数的处理，尤其是涉及无理数的加减乘除混合运算，以及将无
理数近似值代入计算时的精度把控。
一、实数的概念和性质
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、平方根与立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一
性质 数；零的平方根为零；负数没有平方 个负的立方根；零的立方根是零；
根；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
三、二次根式及运算
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
四、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）
法分配律，如
五、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
题型01 无理数的识别【典例1】（25-26八年级上·全国·期中）在 ， ， ， ， 这几个数中，无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有：开方开不尽方的数，
例如 ；用特殊字母表示的数，例如 ；有特殊规律的数，例如 (相邻两个 之间依次增加
个 ).
【详解】解： 是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数，
是分数，是有理数，
是开方开不尽方的数，是无理数，
是整数，是有理数，
是无限不循环小数，是无理数，
综上所述，无理数有 个．
故选：B．
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）在 …（相邻两个1之间2的个
数逐次加1）， 中，无理数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数．
根据无理数的定义作答即可．
【详解】在 …（相邻两个1之间2的个数逐次加1）， 中，无理数有
…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）共4个，
故选：B
【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在实数 ， 0， ， ， 中，无理数有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，
②无限不循环小数，③含有 的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
根据无理数的概念即可判断．
【详解】解： 是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
则无理数有 个，
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·广东广州·开学考试）在实数 （每两个1
之间0的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念一定要同时理解
有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在实数 (每两个1之间0的个数依次增加1)中，无理数
有 (每两个1之间0的个数依次增加1)，一共3个．
故选C．
题型02 求一个数的平方根、算术平方根、立方根
【典例2】（24-25七年级下·新疆克孜勒苏·期中）49的平方根是 ，81的算术平方根是 ，
的立方根是 .
【答案】 9
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方
根的定义，是解题的关键．根据立方根、平方根和算术平方根的定义，得出答案即可．
【详解】解：49的平方根是 ，81的算术平方根是9， 的立方根是 ．
故答案为： ；9； ．
【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）16的算术平方根是 ；2的平方根是 ； 的立
方根是 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根．
分别根据算术平方根、平方根、立方根的定义作答即可．
【详解】解：16的算术平方根是4；2的平方根是 ； 的立方根是 ．
故答案为：4， ， ．
【变式2】（2025七年级下·广东东莞·竞赛） 的算术平方根是 ， 的立方根是
．【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根以及立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的算术平方根是 ；
∵ ， 的立方根是 ，
∴ 的立方根是 ，
故答案为： ， ．
【变式3】（25-26八年级上·四川成都·开学考试） 的算术平方根是 ； 的平方根是
．
【答案】
【分析】本题考查求算术平方根、平方根，熟记平方根、算术平方根的定义与求法是解决问题的关键．先
求出 、 ，再由算术平方根及平方根的求法求解即可得到答案．
【详解】解： ，
的算术平方根是 ；
，
的平方根是 ；
故答案为： ； ．
题型03 实数与数轴
【典例3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，正方形 的面积为3，点 在数轴上，且表示的
数为 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，与数轴交于点 （点 在点 的右侧），则点 所表示的数
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求
，再根据数轴上距离的概念可得答案．
【详解】解：∵正方形的面积为3，
；
∵以A点为圆心， 为半径，和数轴交于E点，；
∴点E所表示的数为 ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）实数 和 在数轴上如图所示，化简
的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，根据数轴可知， ， ，再根据
化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握 是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
， ，
．
故答案为： ．
【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简
．
【答案】
【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题
的关键．
根据题意判断出 ， 及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可．
【详解】解：结合数轴，得 ， ，
， ，
故答案为：【变式3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，数轴上从左到右依次有 四点，点A、B
分别表示1和 ，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等，设点 表示的数为 ，当点 表示的数是
时， 的值是 ；
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴、数轴上两点的距离、一元一次方程的几何应用、二次根式的加减，根据数
轴上两点距离公式得到 ，然后解方程即可求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型04 实数大小比较
【典例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较．
先估算出 的范围，再与 比较即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级上·上海·期末）比较大小： ．
【答案】＞
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可．
【详解】解： ，，
，
，
，即 ，
．
故答案为：>．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）比较大小： ，4 ．
【答案】
【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即
可．
【详解】解：∵ ， ，
又 ，
∴ ；
∵ ， ，
又 ，
∴ ；
故答案为： ； ．
【变式3】（24-25七年级下·广东东莞·期中）比较下列各组数大小：
（1） 12；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】
【分析】本题考查比较实数大小，根据缩放法估算无理数的值，逐项判断即可．
【详解】解：（1） ，
，即 ；
（2） ，
，
，即 ；
（3） ，
；
（4） ，
故答案为： ， ， ， ．题型05 利用平方根与立方根的定义解方程
【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）求满足下列各式的未知数 ：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．
（1）整理后利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：
，即 或 ，
解得 或 ；
（2） ，
，
，
．
【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
（1）直接利用平方根的定义求解即可；
（2）移项，利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解： ，
当 时，
当 时，
或 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【变式2】（24-25七年级下·广东东莞·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方根解方程，立方根解方程．
（1）先开平方，再计算即可；
（2）先开立方，再计算即可；
（3）先开立方，再计算即可．
【详解】（1）
解得： 或
（2）
（3）
【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）利用开方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，掌握平方根、立方根的意义成为解题的关键．（1）先求得 ，再运用平方根解方程即可；
（2）先求得 ，再运用立方根解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
所以 或 ．
（2）解： ，
，
，
．
故答案为： ．
题型06 程序设计与实数运算
【典例6】（25-26七年级下·全国·单元测试）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是 时，则输出的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解
题的关键，注意有理数和无理数的区别．把 代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【详解】因为 ，4是有理数，所以继续转换．因为 ，2是有理数，所以继续转换．因为2的
算术平方根是 ， 是无理数，输出．
故答案为：
【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结
果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果．
输入 后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，
继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出．
【详解】解：输入 ，
第一步：求64的立方根， ，是有理数，不输出；
第二步：求4的算术平方根， ，2是有理数，不输出；
第三步：求2的立方根， 是无理数，输出y．
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入 的值是64
时，输出 的值是
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握实数的运算法则．把64代入程序进行计
算即可求解．
【详解】解∶ 由题意得当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，
经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了算术平方根．根据题意结合算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：当输出的y的值为 时，输入的值为 ，
，
，
所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ，
故答案为：16．题型07 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式
【典例7】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判
断即可．
【详解】解：A、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
B、 是二次根式，符合题意；
C、 不是二次根式，不符合题意；
D、 ， ，不是二次根式，不符合题意；
故选B．
【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）下列式子： ．其中是最简二次根式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解： 中，最简二次根式有 ， ，一共2个，
故选：B．
【变式2】（24-25八年级下·北京·阶段练习）下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，理解其定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A： ， 与 不是同类二次根式，故该选项不合题意；
B： ， 与 是同类二次根式，故该选项符合题意；
C： ， 与 不是同类二次根式，故该选项不合题意；
D： ， 与 不是同类二次根式，故该选项不合题意．
故选：B ．【变式3】（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，① ，② ，③ ，④ ，⑤
，⑥ ，⑦ ，其中二次根式有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如 的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有 ， ， ， ，
共五个．
故选C．
题型08 利用二次根式的性质化简
【典例8】（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）当 时，化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）已知 ，化简 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式2】（2024八年级下·山东临沂·竞赛）已知 ，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用去绝对值法则及利用二次根式的性质化简是解决本题的关键．
先将原式化为 ，再根据 化简绝对值，再进行加减计算．
【详解】解： ，
∵ ，
所以
∴原式 ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）在 中， ， ， 边上的高 ，
则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是勾股定理、二次根式的性质，熟练掌握勾股定理并运用分类讨论思想是解题的关键．
分两种情况，根据勾股定理分别求出 、 ，进而求出 ，再根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解：如图 ，在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
则 ，
；
如图 ，
则 ，
；
综上所述： 或 ．故答案为： 或 ．
题型09 二次根式的混合运算
【典例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）根据算术平方根，立方根，绝对值的定义求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算，立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则
是解题的关键．
（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行乘法计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，零指数幂，利用完全平方公式和平方差
公式进行求解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
（1）先进行二次根式的乘法，二次根式的除法和零指数幂，然后再进行二次根式的减法运算；
（2）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的减法，最后进行二次根式的除法运算；
（3）先利用完全平方公式和平方差公式进行整理，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)9
(2)
(3)(4)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
（1）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可；
（2）利用完全平方公式先去括号，再进行运算即可；
（3）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可；
（4）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
题型10 二次根式中的新定义型问题
【典例10】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）定义：任意两个数，按规则 扩充得到
一个新数c，将所得的新数称为“如意数”．
(1)若 ， ，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果 ， ，证明“如意数”c是非负数．
【答案】(1)8
(2)见解析
【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式 的非负性，难度不大．（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果；
（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
；
（2）解：∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴“如意数”c为非负数．
【变式1】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定： ， ，
其中 、 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【变式2】（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新运算： ※
．
例如： ．
(1) ___________；
(2)求 的值．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果；
（2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式3】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数 、 ，按规则 扩充得到
一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 、 的“如意数” ；
(2)已知 ，且 、 的“如意数” ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式，
（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c；（2）先有理化可得 ，根据题目中所给的运算规则可得
，问题即可得解．
【详解】（1）
（2）∵ ， ， 的“如意数” ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
题型11 二次根式中的分母有理化
【典例11】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题：
(1)化简 ；
(2)若 是 的小数部分，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及无理数的小数部分确定，熟练掌握分母有理化、完全平
方公式等运算是解题的关键．
（1）通过分母有理化，利用平方差公式将分母中的根式去掉，从而化简式子．
（2）先确定 的小数部分 ，再将 代入式子，通过完全平方公式和分母有理化等运算来求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解：根据题意，得 ，
所以．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程：
．请解决下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ________；
② ________；
(2)求 的值；
(3) ________．
【答案】(1)① ，②
(2) ．
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分
母有理化的法则．
（1）利用分母有理化的步骤进行化简即可；
（2）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可；
（3）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可．
【详解】（1）解：① ；
② ；
故答案为： ， ；
（2）解：原式 ；
（3）解：．
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列解题过程：
；
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算： ．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查了利用平方差公式对分母进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键．
（1）根据题目的运算法则计算，即可得答案；
（2）根据规律，化简求值即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：．
【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）先阅读，再解答：
由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中
的根号，例如：
．
请解决下列问题：
(1) 的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号： ________； 直接写结果
(3)利用你发现的规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）将分子分母同乘 并将计算即可；
（3）根据规律将原式化简后再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）由题意可得 的有理化因式是 ，
故答案为： ；
（2）原式
故答案为： ；
（3）原式题型12 二次根式中的规律探究问题
【典例12】（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式：
； ； ； ；
(1)根据上述式子的规律填空： ______； ______；
(2)计算： ；
(3)请用含自然数 的代数式把上述规律表示出来．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据题意进行计算即可；
（ ）结合题意和（ ）的结论，以此类推计算即可；
（ ）结合（ ）和（ ）的结论，归纳规律表示代数式即可．
【详解】（1）解：∵ ；
；
；
；
∴ ； ；
故答案为： ； ；
（2）解：∵ ；
；；
；
∴ ；
（3）解：∵ ；
；
；
；
∴ ．
【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·期末）先来看一个有趣的现象： ．这里
根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这
一性质的数还有许多，如： ， 等等．
(1)猜想： ＝ ，并验证你的猜想；
(2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
(3)证明你找到的规律；
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
【答案】(1) ，见解析
(2) ＝n
(3)见解析
(4) （答案不唯一）
【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，
（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用 表示即可；
（3）根据二次根式的乘法法则验证即可；
（4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
验证： ；
（2）解： ；
（3）证明：
．
（4）解： ，验证如下：
（答案不唯一）．
【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，
② ，
③ ，
④ ．
(1)观察算式规律，计算 ______； ______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______．
(3)计算： ．
【答案】(1)6，27
(2)
(3)
【分析】本题考查的是与算术平方根有关的数字规律问题，发现数字的变化规律是解题的关键．（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号 ) ，结果是(序号 )；
（3）直接利用上述规律计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ；
；
（2）解：由题意得： ；
（3）解：原式
．
【变式3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）观察下列各式：
，
，
，
……
(1)填空： ______；
(2)请用含字母的等式写出你发现的规律为______；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，数字规律的探索，熟练掌握二次根式的混合计算法则，正确归
纳规律是解答本题的关键．
（1）结合题意和前三项的结论，以此类推计算即可；
（2）根据前四项，归纳规律表示代数式即可；
（3）根据 对原式变形计算即可得解．【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解： ，
，
，
，
，
第n个等式可表示为： ，
故答案为： ．
（3）解：原式
．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出 的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 符合题意．
故选：A．
2．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）有下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤12，其
中一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式 ，依次分析每个式子．
本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如 的式子，需满足根指数为 且被开
方数非负”是解题的关键．
【详解】解： ，根指数是 ，是三次根式，不是二次根式，①不符合．
是二次根 式．②符合．
：当 时，式子无意义，不能保证 恒成立，③不一定是二次根式．
， ，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式．
，是整数，不是 形式，⑤不是二次根式．
综上，只有②是二次根式，共 个，
故选： ．
3．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）下列实数： ， ， ， ， ，0， ， ，
…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，
即可作答．
【详解】解： ， ，
则 ， ， …（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）都是无限不循环小数，
故无理数有3个,
故选：A4．（25-26八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则．
依次对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能直接相加，所以 ，该选项错误；
B、2与 不是同类二次根式，不能直接相加，所以 ，该选项错误；
C、根据二次根式的乘除法则， ，该选项正确；
D、根据多项式乘法法则 ，
该选项错误．
故选：C．
5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知 ，则 化简后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先
得出 ，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由二次根式有意义的条件得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的 为256时，输出的 是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据
流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案．【详解】解：当输入的 为256时，
是有理数，
是有理数，
是有理数，
是无理数，
即输出的 是 ，
故选：A．
二、填空题
7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中） 的立方根为 ， 的平方根为 ， 的倒数为
．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、平方根和倒数，掌握以上知识点是解题关键．
根据立方根、平方根和倒数的定义解答即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的立方根是 ，
∵ ，
∴ 的平方根是 ，
∵ ，
∴ 的倒数为 ，
故答案为： ， ， ．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）：
（1） ；
（2）3 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的比较大小，运用作差法和把两个数分别进行立方是解题的关键．
（1）先计算两数之差，再判断差的正负性，进而确定原数的大小关系；
（2）先将两个数分别立方，再根据实数的大小比较方法，从而得出原数的大小关系．
【详解】（1），
，
，
，
即 ；
（2） ，
；
故答案为 ， ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若 是 的小数部分，则代数式 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了无理数小数部分的表示，利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟
练掌握无理数小数部分的表示．
根据无理数的取值范围表示出小数部分，然后代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键．
根据同类二次根式的概念列出方程，求出 ．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
，
．
故答案为2．
11．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）用“ ”定义新运算，对于任意实数 ，都有 ，
例如： ，那么 ．【答案】
【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据定义，代入计算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·天津·阶段练习）若直角三角形的两边长为a、b，且满足 ，则该
直角三角形的第三边长为 ．
【答案】 或5
【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可求出 ，再分边长为4
的边是斜边和边长为4的边是直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为 ；
②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为 ．
综上所述，该直角三角形的第三边长为 或5．
故答案为： 或5．
三、解答题
13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
14．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： ．
解：原式 ……第一步
……第二步
．……第三步
(1)任务一：以上步骤中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
(2)任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】(1)一；乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
（ ）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答；
（ ）先运算除法，再运算乘法，最后算减法即可．
【详解】（1）解：任务一：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，
未按照从左到右的顺序依次计算，
故答案为：一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算；
（2）解：正确的计算过程：
原式
．15．（20-21七年级下·福建莆田·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内： ， ， ，
，1.7， ，0，4.262262226……（两个6之间一次增加一个“2”）．
整数{ }；
负分数{ }；
无理数{ }．
【答案】见解析
【分析】此题考查了实数的分类，化简二次根式，首先计算 ，然后根据实数的分类方法即可求解．
【详解】解： ，
整数{ ， ，0}；
负分数{ ， }；
无理数{ ，4.262262226……（两个6之间一次增加一个“2”}．
16．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点
A表示 ，设点B所表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，主要利用了在数轴上向右移动作加法的规律，还利用了绝对值的性质和
二次根式的运算．
（1）根据向右爬行作加法列式即可；
（2）把m的值代入，再根据绝对值的性质和二次根式的乘法运算进行计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意得 ．
（2） ．
17．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是 与 ．
(1)求a的值；
(2)求这个正数m；
(3)求关于x的方程 的解．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．
（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值；
（2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m；
（3）将 代入 即可求解．
【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是 与 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：将 代入 得 ，
解得 .
18．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知 的算术平方根是2， 的立方根等于本身，且
的小数部分为c．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据算术平方根的定义，立方根的性质，无理数的估算，进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ 的整数部分为3，
∴ ；
（2）由（1）知： ， ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
19．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考：
① ；② ；③ ；…(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
(2)试用含 （ 为自然数，且 ）的等式表示这一规律，并加以验证．
【答案】(1)
(2) （ 的整数），证明见解析
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）由题干找出规律求解即可；
（2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明．
【详解】（1）解：∵① ；
② ；
③ ；…
∴写出第④个等式为： ；
（2）解：
（ 的整数）
证明如下：
．
20．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题
；
；
；…
(1)填空： __________；
(2)观察上述算式，请写出算式 （n是正整数）的结果；
(3)试比较 与 的大小；
(4)计算： （提示： ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)44
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题
的关键．
（1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答；
（2）仿照材料方法计算即可；
（3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可；
（4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解：
．
（3）解：根据材料可知， ， ，
∵ ，
，即 ．（4）解：
．
