文档内容
专题 3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题
目录
..................................................................................1
题型一：分离变量+最值法...............................................................................................................1
题型二：分类讨论法.........................................................................................................................9
题型三：同构法...............................................................................................................................16
题型四：最值定位法解决双参不等式问题...................................................................................23
.............................................................32
一、单选题.......................................................................................................................................32
二、多选题.......................................................................................................................................38
三、解答题.......................................................................................................................................41
题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，令
若 时，
若 时，
所以可知函数 在 递减，在 递增
所以
由对任意的实数 恒成立
所以
故选：A
例题2．（2022·全国·高三阶段练习（文））设 是定义在 上的连续函数 的导
函数，且 .当 时，不等式 恒成立，其中 为自然对数的
底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 .
因为 ， ，所以 恒成立.则函数 在 上单调递增.
当 时， ，不等式 可化为 ，即
恒成立.
又函数 在 上单调递增，
所以不等式 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立.令 ，则 .
令 ，得 .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递減.
所以 ，
所以 ，故所求实数 的取值范固为 .
故选:A.
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数 .
(1)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若函数 在 上单调递增,求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解:由题知 在 上恒成立,
即 ,
,
只需 即可,
即 ,
记 ,,
,
,
,
在 单调递减,
;
（2）由题知, 在 上单调递增,
即 在 上恒成立,
即 恒成立,
, 只需 恒成立,
即 ,
记 ,
,
, ,
在 单调递增,
,只需 即可,
综上: .
【提分秘籍】
①若 )对 恒成立，则只需 ；
②若 对 恒成立，则只需 ．
③ ，使得 能成立 ；
④ ，使得 能成立 ．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数 在
上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：
在 上恒成立，
整理可得： ，
函数 在 上递减，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】 ,
当 时， ，当 时， ，
的递减区间是 ，递增区间是 ，
所以 取得极小值，也是最小值，
，
不等式 对任意实数x都成立，
所以 .
故选:D.
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若 时，关于 的不等式 恒成
立，则实数 的值可以为（ ）
（附： ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当 时， 恒成立；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增， ，，即实数 的取值范围为 .
， ， ， .
故选：BD.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式 （其中 是
自然对数的底数）对 恒成立，则实数 的取值范围为________
【答案】
【详解】 ， ，令 ， ，求导得： ，
当 时 ，当 时， ，即函数 在 上递减，在 上递
增，
因此当 时， ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当 时， ，
所以 ， ，所以 ，
故所求切线方程为 ．
（2）解：因为 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
由零点存在定理知，存在唯一 ，使 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
从而 ．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若在区间 ， 内至少存在一个实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】解：（1） 时， ， ，曲线 在点 ， （1） 处的切线斜率: （1） ，
故曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为： ，
所求切线方程为： ；
（2） ，
①当 即 时， ， 在 ， 上为单调增函数，
此时， （1） ，解得： ，与 矛盾，不符合题意，
②当 即 时， ， ， 的变化如下：
， ，
0
递减 极小值 递增
此时， ，解得：
，与 矛盾，不符合题意，
③当 即 时， ， 在 ， 上为单调减函数
，解得： ，又 ， ，
综上：实数 的取值范围是 ．
题型二：分类讨论法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知函数 ，
，其中 是自然对数的底数．
(1)若 的最小值为0，求 ；(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
( )若 ,则 单调递增,无最小值,不合题意.
( )若 ,令 ,得
当 单调递减
当 单调递增
所以
即 ,即 ,即
（2）令
易知 在 上单调递增,所以
所以 在 上单调递增,所以
( )若 ,则 ,即 在 上单调递增
即 ,即 在 上恒成立,符合题意
( )若 ,则
所以存在 ,使得
当 单调递减,即所以此时存在 ,使得 ,不合题意
综合 知 的取值范围为
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 的图像在 处的切
线与直线 垂直．
(1)求 的解析式；
(2)若 在 内有两个零点，求 的取值范围；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)3
【详解】（1） ，则 ，
∵函数 的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ；
（2）由（1）得 ，则 ，
则 ，由 得x＝1，
由 得 ，由 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 取得极小值也是最小值，
要使 在 内有两个零点，只需满足 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ；
（3）对任意的 ，不等式 恒成立，转化为对任意的 ，
恒成立，
①当 时， ，显然成立，此时 ；
②当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
∵x＞0，∴ 恒成立，
由 得 ，由 得 ，由 得0＜x＜1，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当x＝1时， 取得极小值也是最小值，且 ，
∴ ；
③当 时， 恒成立，
令 ，此时m（x）＜0，
由②得 （ ），令 ，
，∴ 在 上单调递增，
又 ，
由零点存在定理得存在 ，使得 ，有 ，
即 ，由 得 ，由 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴当 时， 取得极大值也是最大值，且 ＝ ，
∴ ，
综上所述，实数k的取值范围为 ，
∴实数k的最大值为3．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式演练】
1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为 ；
(2) .
【详解】（1）易知函数 的定义域为 ．
当 时， ，∴
令 ，得 ；令 ，得
∴函数 的单调递增区间为 ，
的单调递减区间为 ．
（2），
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
∴此时 ，
②当 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴此时
③当 ， 恒成立， 在 上单调递减．
∴此时 ，令 ，得 .
要使 ， ，只需 在 的最大值点
综上，实数a的取值范围为
2．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求正实数 的取值范围.
【答案】(1)增区间为 ；减区间为
(2)
（1）当 时，
由题意可知，函数 的定义域为 ，
当 时， 的增区间为
当 时， 的减区间为
（2）
令
当 时，
令
当 时， 的增区间为
当 时， 的减区间为
所以 ，∴ 恒成立
当 时，因为 ，所以 不恒成立
综上，正实数 的取值范围为 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若存在 ，当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 ；（2） .【详解】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间为 .
（2）由（1）可知，当 时， ，
所以当 时， .即不存在 满足题意；
当 时，由 ，得 ，
对于 ，有 ，所以不存在 满足题意；
当 时，令
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，所以 在 内单调递增，
此时 ，即 ，
所以存在 满足题意
综上，实数 的取值范围是
题型三：同构法
【典例分析】
例题1．（2022·河北·模拟预测）已知.
(1)当 时，求 的单调性；
(2)若 恒大于0，求 的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为 ，单调增区间为
(2)
【详解】（1）当 时，
.
，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；
（2）要使 有意义，则 ，且 ，
恒大于0，即 恒成立，
则 ，可得 ，
因为函数 为增函数，所以 ，即 ，
令 ，
则 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
的最大值为 ，可得 ，则 .
所以 的取值范围是 .例题2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知 ， .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1） ，即 ， ，
设 ， ， ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，所以
，
恒成立，则 ；
（2）不等式 即为
设 ，显然此函数在定义域内是增函数，
所以 在 时恒成立， 在 时恒成立，
设 （ ），则 ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，
所以 ．
【提分秘籍】
①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两
边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的
方 法 有 ： 、 、 、 、 、
，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③ 与 为常见同构式： ， ； 与 为常见同构
式： ， .
【变式演练】
1．（多选）（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数 ，若
恒成立，则实数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】因为 ，且 恒成立，
所以 ，则 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，故 ，则 恒成立，
当 时， ， ，则 ，
对 两边取对数，得 ，
令 ，则 ，
又 ，所以 在 上单调递增，
故 ，即 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，即 ，
又 ，令 ，得 ； ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
故 ，
对于AB，易得 ， ，故AB错误；
对于CD，易得 ， ，故CD正确.
故选：CD.
2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）当 时， ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
则 ，即 ．
所以当 时，
所以由
所以当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） ．
令 ，则 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故 ．
令 ，则 等价于 ．
因为 ，
所以 等价于 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
则 ．
故k的取值范围为 ．
3．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 在 时恒成立，求实数 的最小
值.
【答案】(1) 在 单调递减，在 单调递增
(2)
【详解】（1）由题意 ，令 ，得 ，
当 时，
若 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ， ，所以 ；
当 时，
若 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ， ，所以 ；
综上 在 单调递减，在 单调递增.
（2）当 时， 即 ，即
，
构造函数 ，即有 对 时恒成立，，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 单调递
增，
又 时， 时， ，
所以只需要 对 时恒成立即可，
两边取对数，有 对 时恒成立，
又 时， ，所以 对 时恒成立，
令
，令 ，则 ，令 ，则
则 在 单调递增，在 上单调递减，
最大值为 ，
所以 的最小值为 .
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数
若对 ,使得 成立,则
实数 的最小值是
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于 ，使得 成立，
可转化为对于 ，使得 成立，又由 ，可得 ，
当 时， ，所以函数 单调递增，
当 时， ，所以函数 单调递减，
所以当 时，函数 有最大值，最大值为 ，
又由二次函数 ，开口向上，且对称轴的方程为 ，
①当 ，即 时，此时函数 ，令 ，
解得 （不符合题意，舍去）；
②当 ，即 时，此时函数 ，令 ，
解得 ，（符合题意），
综上所述，实数 的最小值为 ，故选C．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 , ,若对任
意 都存在 使 成立,则实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】对任意 都存在 使 成立，
所以得到 ，
而 ，所以 ，
即存在 ，使 ，
此时 ， ，
所以 ，因此将问题转化为
存在 ，使 成立，
设 ，则 ，
，
当 ， ， 单调递增，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例题3．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知函数
， .
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
(1)解： ，则 ，其中 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ．
(2)
解：函数 的定义域为 ，则 .
①当 时，对任意的 ， ，
由 ，可得 ；由 ，可得 ，
此时函数 的增区间为 ，减区间为 ；
②当 时，则 ，由 可得 ；由 可得 或
.
此时函数 的减区间为 ，增区间为 、 ；
③当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时函数 的增区间为 ，无减区间；
④当 时，则 ，由 可得 ；由 可得 或
.
此时函数 的减区间为 ，增区间为 、 .
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ；
当 时，函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 、 .
(3)
解：对任意 ，均存在 ，使得 ，
所以，当 时，有 ．
在 的最大值 ．
由（2）知：①当 时， 在 上单调递增，
故 ，
所以， ，解得 ，此时 ；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
由 ，知 ，所以， ，则 ，则 .
综上所述 的取值范围是 ．
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
【变式演练】
1．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数
，其中 .若对 ，都 ，使得不
等式 成立，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】对 ，都 ，使得不等式 成立，
等价于 ,
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 恒成立，当且仅当 时， ，
所以对 ， 恒成立，即 ，
当 ， 成立，
当 时， 恒成立.
记 ,
因为 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 恒成立，即所以 .
所以 的最大值为1.
故选：C.
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 成立，故 ；
（5）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数 ，
，若任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范
围是__________.
【答案】
【详解】解：∵ ， ，
，
∴ 在 上单调递增，
；
根据题意可知存在 ，使得 .
即 能成立，令 ，
则要使 在 能成立，只需使 ，
又 在 上恒成立，
则函数 在 上单调递减，
，
，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若存在
， ，使得 成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】 ，
当 ， 单调递减，
当 ， 单调递增，
所以
，当
存在 ，使得 成立，只需 即可
所以 的取值范围为：
故答案为：4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ，若 ，
使得 成立，则实数 的最小值是_________．
【答案】
【详解】因为 ，使得 成立，等价于 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
所以当 时， 取得最小值 ；
因为 ，
所以当 时， 取得最大值为 ，
所以 ，即实数a的取值范围是 ．
所以实数 的最小值是 .
故答案为：
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 ， ，
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知： 的定义域为 ， ，当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递
减，在 上单调递增.
（2）当 时， ， ； ， ；
恒成立，不合题意；
当 时，取 ， ，
则 ，符合题意；
当 时，若 ， ，使得 ，则 ；
由（1）知： ；
， ， 在 上单调递增，
，
，即 ， ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
一、单选题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 ，若 对任意的恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 在 恒成立.
当 ，记 ，
所以 在 单调递增， ， 故
故 ，所以 ，
故选：C
2．（2022·广东·红岭中学高二期中）若关于 的不等式 ，对 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为不等式 ，对 恒成立，
当 时，显然成立，
当 ， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
则 在 上成立，
所以 在 上递减，则 ，
所以 在 上成立，
所以 在 上递减，
所以 ，
所以 ，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，使 ，则
实数 的取值范围为（ ） ∃
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可得不等式 在 内有解，
设 ， ，
则 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，
所以 .故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 与 满足：存在实数 ，使得 ，
则称函数 为 的“友导”函数．已知函数 为函数
的“友导”函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，则
∵存在实数 ，使得 ，即
则
构建 ，则
令 ，则 或 （舍去）
在 单调递减，在 上单调递增，则
即
故选：D．
5．（2022·广东·高三开学考试）已知 ，若对任意的 恒成立，则实数
a的最小值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ，而 ，则 ，
设 ，则原不等式等价于 ，又 ，即 在 上单调递增，于是得 对任意的 恒成立，即 对任意的
恒成立，
设 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
所以实数a的最小值为 .
故选：B
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知当 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，即 ，即
，
设 ，则 ，
又函数 在 上单调递增，则 ，
，
设
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
，
，则 ，实数 的取值范围为 ．
故选：B．
7．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数 ， ，若
， 使得 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， 使得 成立，等价为 使得
成立，
由 得 ，当 时， ，此时 单调递增，当
时， ，此时 单调递减， ，故
在 成立，
当 时， ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
所以 在 递减，所以 ，
则 在 递减，所以 ，
则 ，所以 ．
故选：A8．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数 ，
．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，都 ，使 成立， ；
当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 时， ； 时， ； ，
当 时， ；
①当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
，解得： ， ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，解得： 或 ，
；
③当 ，即 时， 在 上单调递减， ，
，解得： ， ；综上所述： 的取值范围为 .
故选：D.
二、多选题
9．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数 ，满足对任
意的 ， 恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】因为函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
当 时， 恒成立.
当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，
， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以 ，所以 ，
综上所述： .
故选：ABC10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 恒成立，
则实数 的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【详解】 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时，函数取得最小值 ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，且 ，
可得实数 的所有可能取值1，2，3，
故选：ABC.
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式
成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（
）
A． B． C． D．2
【答案】ACD
【详解】解：由题意， 不等于 ，由 ，得
，
令 ，则 ，
设 ，则 ，因为函数 在 上单词递增，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，
即 ，解得 或 .
故 .
故选：ACD.
三、解答题
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，曲线
处的切线斜率为0
求b;若存在 使得 ，求a的取值范围．
【答案】（1） ;（2） .
【详解】（1） ，
由题设知 ，解得 .
（2） 的定义域为 ，由（1）知， ，
（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增，
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ，所以 .
（ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增.
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
而 ，所以不合题意.
（ⅲ）若 ，则 .
综上，a的取值范围是 .
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
(Ⅰ) 设函数 ，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）求证：当 时，
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【详解】(Ⅰ)由题得 ，
①当 时， ，此时 在 上单调递减，
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
③当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
（Ⅱ）要证 ，即证 ，令 ，
当 时， ，∴ 成立；
当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ ．
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 成立，故原不等式成立．
14．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知f（x）＝ ．
（1）曲线 在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋ ）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ；（2） ．
【详解】（1） 的定义域为 ，求导可得 ，
由 得 ， ，
令 得 ；
令 得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）由题意： ，即 ，
恒成立．令 ，则 ，[
令 ，则 ，
在 上单调递增，
又 ，∴当 时， ，
在 上单调递增，
所以 ，
∴当 时， 恒成立，
∴a的取值范围为 ．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ， ．
（1）求 的最大值与最小值；
（2）若 对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 的最大值为 ，最小值为 ；（2） .
【详解】：（1）因为函数f（x）= ﹣lnx，
所以f′（x）= ，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）= ﹣ln2；又f（1）= ，f（3）= ，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为 ，
x=2时函数取得最小值为 ﹣ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x） ，
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞ 对任意t∈[0，2]恒成立，即At 恒成立
记 g（t）=At，t∈[0，2]
∴ ，解得A ，
∴实数A的取值范围是（﹣∞， ）．
