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第二章 实数1. 知识与技能：理解平方根、立方根、实数的概念，会求数的平方根和立方根，能
对实数进行分类，掌握实数的相关运算规则。
2. 过程与方法：经历从有理数到实数的拓展过程，体会类比、转化的数学思想，提
教学目标
升数感和运算能力，能运用实数知识解决简单问题。
3. 情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发对数学学习的兴趣，
培养严谨的思维习惯和解决问题的能力。
1.重点
（1）平方根、立方根的概念及求法，能准确区分平方根与算术平方根，熟练计算数
的平方根和立方根。
（2）实数的概念、分类及运算，理解实数与数轴上点的一一对应关系，掌握实数的
加减乘除及开方运算。
教学重难点
2.难点
（1）平方根、算术平方根的概念辨析，学生易混淆二者定义，在求平方根和算术平
方根时易出现符号错误。
（2）实数运算中无理数的处理，尤其是涉及无理数的加减乘除混合运算，以及将无
理数近似值代入计算时的精度把控。
一、实数的概念和性质
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、平方根与立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一
性质 数；零的平方根为零；负数没有平方 个负的立方根；零的立方根是零；
根；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
三、二次根式及运算
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
四、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）
法分配律，如
五、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
题型01 无理数的识别【典例1】（25-26八年级上·全国·期中）在 ， ， ， ， 这几个数中，无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）在 …（相邻两个1之间2的个
数逐次加1）， 中，无理数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在实数 ， 0， ， ， 中，无理数有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（25-26八年级上·广东广州·开学考试）在实数 （每两个1
之间0的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 求一个数的平方根、算术平方根、立方根
【典例2】（24-25七年级下·新疆克孜勒苏·期中）49的平方根是 ，81的算术平方根是 ，
的立方根是 .
【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）16的算术平方根是 ；2的平方根是 ； 的立
方根是 ．
【变式2】（2025七年级下·广东东莞·竞赛） 的算术平方根是 ， 的立方根是
．
【变式3】（25-26八年级上·四川成都·开学考试） 的算术平方根是 ； 的平方根是
．
题型03 实数与数轴
【典例3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，正方形 的面积为3，点 在数轴上，且表示的
数为 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，与数轴交于点 （点 在点 的右侧），则点 所表示的数
为 ．
【变式1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）实数 和 在数轴上如图所示，化简的结果是 ．
【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简
．
【变式3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，数轴上从左到右依次有 四点，点A、B
分别表示1和 ，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等，设点 表示的数为 ，当点 表示的数是
时， 的值是 ；
题型04 实数大小比较
【典例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【变式1】（23-24七年级上·上海·期末）比较大小： ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）比较大小： ，4 ．
【变式3】（24-25七年级下·广东东莞·期中）比较下列各组数大小：
（1） 12；（2） ；（3） ；（4） ．
题型05 利用平方根与立方根的定义解方程
【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）求满足下列各式的未知数 ：
(1) ；
(2) ．
【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（24-25七年级下·广东东莞·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）利用开方法解下列方程：(1) ；
(2) ．
题型06 程序设计与实数运算
【典例6】（25-26七年级下·全国·单元测试）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是 时，则输出的数是 ．
【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结
果为 ．
【变式2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入 的值是64
时，输出 的值是
【变式3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，
经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
题型07 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式
【典例7】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）下列式子： ．其中是最简二次根式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（24-25八年级下·北京·阶段练习）下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【变式3】（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，① ，② ，③ ，④ ，⑤
，⑥ ，⑦ ，其中二次根式有（ ）
A． B． C． D．
题型08 利用二次根式的性质化简
【典例8】（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）当 时，化简 的结果是 ．
【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）已知 ，化简 ．
【变式2】（2024八年级下·山东临沂·竞赛）已知 ，化简： ．
【变式3】（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）在 中， ， ， 边上的高 ，
则 ．
题型09 二次根式的混合运算
【典例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型10 二次根式中的新定义型问题
【典例10】（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）定义：任意两个数，按规则 扩充得到
一个新数c，将所得的新数称为“如意数”．
(1)若 ， ，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果 ， ，证明“如意数”c是非负数．
【变式1】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定： ， ，
其中 、 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【变式2】（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新运算： ※
．
例如： ．
(1) ___________；
(2)求 的值．
【变式3】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数 、 ，按规则 扩充得到
一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 、 的“如意数” ；
(2)已知 ，且 、 的“如意数” ，求 的值．
题型11 二次根式中的分母有理化
【典例11】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题：(1)化简 ；
(2)若 是 的小数部分，求 的值．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程：
．请解决下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ________；
② ________；
(2)求 的值；
(3) ________．
【变式2】（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列解题过程：
；
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算： ．
【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）先阅读，再解答：
由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中
的根号，例如：
．
请解决下列问题：
(1) 的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号： ________； 直接写结果
(3)利用你发现的规律计算： ．
题型12 二次根式中的规律探究问题
【典例12】（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式：
； ； ； ；
(1)根据上述式子的规律填空： ______； ______；
(2)计算： ；
(3)请用含自然数 的代数式把上述规律表示出来．
【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·期末）先来看一个有趣的现象： ．这里
根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这
一性质的数还有许多，如： ， 等等．
(1)猜想： ＝ ，并验证你的猜想；
(2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
(3)证明你找到的规律；
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，
② ，
③ ，④ ．
(1)观察算式规律，计算 ______； ______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______．
(3)计算： ．
【变式3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）观察下列各式：
，
，
，
……
(1)填空： ______；
(2)请用含字母的等式写出你发现的规律为______；
(3)计算： ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）有下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤12，其
中一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）下列实数： ， ， ， ， ，0， ， ，
…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．64．（25-26八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知 ，则 化简后为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的 为256时，输出的 是（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中） 的立方根为 ， 的平方根为 ， 的倒数为
．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）：
（1） ；
（2）3 ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若 是 的小数部分，则代数式 的值为 ．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是 ．
11．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）用“ ”定义新运算，对于任意实数 ，都有 ，
例如： ，那么 ．
12．（24-25八年级下·天津·阶段练习）若直角三角形的两边长为a、b，且满足 ，则该
直角三角形的第三边长为 ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)(2)
14．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： ．
解：原式 ……第一步
……第二步
．……第三步
(1)任务一：以上步骤中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
(2)任务二：请写出正确的计算过程．
15．（20-21七年级下·福建莆田·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内： ， ， ，
，1.7， ，0，4.262262226……（两个6之间一次增加一个“2”）．
整数{ }；
负分数{ }；
无理数{ }．
16．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点
A表示 ，设点B所表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)求 的值．
17．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是 与 ．
(1)求a的值；
(2)求这个正数m；
(3)求关于x的方程 的解．
18．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知 的算术平方根是2， 的立方根等于本身，且
的小数部分为c．
(1)求出a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
19．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考：① ；② ；③ ；…
(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
(2)试用含 （ 为自然数，且 ）的等式表示这一规律，并加以验证．
20．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
(1)填空： __________；
(2)观察上述算式，请写出算式 （n是正整数）的结果；
(3)试比较 与 的大小；
(4)计算： （提示： ）．
