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专题2.6 认识无理数（专项练习）
一、单选题
1．下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．在－2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．对于 －2，下列说法中正确的是( )
A．它是一个无理数 B．它比0小
C．它不能用数轴上的点表示出来 D．它的相反数为 ＋2
4．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际
数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个
国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主
要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位
的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理
数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长
与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中
正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
5．在实数 ， ， ， 0，-1.414， ， ，0.1010010001中，无理数有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．有个数值转换器,原理如下:当输入的x值为16时,输出的y是( )
A．2 B．4 C． D．
7．下列说法中
无限小数是无理数； 无理数是无限小数； 无理数的平方一定是无理数； 实数
与数轴上的点是一一对应的，正确的个数S是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在实数0.2 ， ， ，π-3， ， ，1.050050005……（相邻两个5之间0
的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
9．在 ……中，无理数的个数为 （
）
A． B． C． D．
10．在实数 、 、 、3.14、 、 、 （相邻两个1之间的0
依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．下列说法中，正确的有（ ）
①单项式﹣ 的系数是﹣2，次数是3；②﹣5π，0.333…都是无理数；③在﹣（﹣
8），|﹣1|，﹣|0|，（﹣2） 这四个数中，非负数共有3个；④平方等于本身数只有0和
1．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．在 ， ， ，0， ,π，0.12212221中，无理数的个数有( )
A．1个: B．2个; C．3个; D．4个.二、填空题
13．从﹣1、0、 、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_____．
14．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣ a＝2b+2 ﹣a，则ab＝_____．
15．若a为无理数，且 ，则a的值为______.(填符合要求的一个即可）
16．在实数 、 、 、 、0.3131131113中任意取一个数，其中恰好是无理数的概
率是______．
17．若 ， ______．
18．在 ， ， ， ， 这五个实数中，无理数是_________________．
19．下列各数： ， ， ， ， ，0.010203040506， ， 中，是无理
数的有__个．
20．在实数1.732， ，- ， ， 中，无理数的个数为__．
21．下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦0，⑧﹣ ，
⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0） （请填序号）
无理数是__，整数是__．负分数是__．
22．在实数 ， ，0.1414， ， ， ， ，0.1010010001…，
， 0， 中，写出所有无理数有 ________个.
23．在分数 、 、 、 中，不可以化为有限小数的分数是______．24．写出一个无理数a，使得|a﹣4|＝4﹣a成立，你写出的a的值是_____．
三、解答题
25．把下列各数分别填入相应的集合里．
3.14、0.121121112…、 、 、-2011、 、 、20%
无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
26．下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可
得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．（要求：
所作线段不得与图中已有的线重合）
27．如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最
小值为．28．阅读下列材料：
设： ，①则 .②
由 ，得 ，即 .
所以 .
根据上述提供的方法.把 和 化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化
成分数？
29．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以
格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图①中画一条线段MN，使MN= ；
（2）在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．参考答案
1．C
【详解】
分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
详解: =1.1， =-2， 是有理数，
是无理数，
故选C.
点拨：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环
小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.
2．C
【详解】
－2， ， 3.14， 是有理数；
， 是无理数；
故选C.
点拨:本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，
①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如
（0的个数一次多一个）.
3．A
【分析】
根据无理数的意义、数的大小比较，数轴的性质，相反数的定义进行判断即可．
【详解】
A、 -2是一个无理数，故符合题意；B、 -2比0大，故不符合题意；
C、 -2能用数轴上的点表示出来，故不符合题意；
D、 -2的相反数为- +2，故不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查的是实数的概念和分类，掌握无理数的概念和意义是解题的关键．
4．A
【分析】
圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不
循环小数；据此进行分析解答即可．
【详解】
解：①圆周率是一个有理数，错误；
② 是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆
的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小
有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限
不循环小数，3.14只是取它的近似值．
5．A
【解析】
解：无理数有： 共2个．故选A．
点拨：本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环
小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
6．D
【解析】
由题意，得：x=16时， =4，4是有理数，将4的值代入x中；当x=4时， =2，2是有理数，将2的值代入x中；
当x=2时， 是无理数，故y 的值是 ，故选D.
【点拨】本题考查了实数的运算，弄清程序的计算方法是解答此类题的关键．
7．B
【分析】
据无理数的定义和运算即可得到正确选项．
【详解】
①无限不循环小数是无理数；错误；
②无理数是无限小数，正确；
③无理数的平方不一定是无理数；错误；
④实数与数轴上的点是一一对应的，正确．
故选B．
【点拨】本题考查了无理数的定义及其运算，熟记无理数的定义是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
在所列实数中有 ，，π-3， ，1.050050005……这4个，故选：C．
【点拨】本题考查的是无理数和有理数，熟练掌握两者的定义是解题的关键.
9．D
【分析】
根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数．
【详解】
3.14是有理数， 是无理数，
，所以 是无理数，是有理数， 是无理数， 是有理数，
……是无理数；
故选D．
【点拨】本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键．
10．B
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解： 是无理数；
是有理数；
是有理数；
3.14是有理数；
是无理数；
是有理数；
（相邻两个1之间的0依次增加1个）是无理数；
所以，无理数有 、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）共3个．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
11．C
【分析】
根据单项式的系数和次数的定义、无理数的定义、非负数的定义和数的平方进行判断即可.
【详解】解：①单项式﹣ 的系数是﹣ ，次数是3；故①错误；
②0.333…是有理数；故②错误
③在﹣（﹣8），|﹣1|，﹣|0|，（﹣2）3这四个数中，非负数是﹣（﹣8），|﹣1|，﹣|0|，共
有3个；故③正确；
④平方等于本身的数只有0和1；故④正确，
故选C．
【点拨】本题考查了单项式的系数和次数的定义、无理数的定义、非负数的定义和数的平
方等知识点，熟知以上知识点是正确判断的依据.
12．B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数
是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
由此即可判定选择项．
【详解】
解：根据无理数的定义可得，无理数有： ，π；故答案为B.
【点拨】此题考查了无理数的定义，牢记定理是解题的关键.
13．
【解析】
【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
【详解】∵在﹣1、0、 、π、5.1、7这6个数中无理数有 、π这2个，
∴抽到无理数的概率是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数
是解题的关键．14．-2
【分析】
先将等式变形为 ，先根据有理数的定义求出a的值，再将a的值代
入等式可求出b的值，然后计算 即可．
【详解】
，即
均为有理数
均为有理数
为有理数
，解得
将 代入等式得 ，解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数与无理数概念的应用，依据有理数的定义求出a、b的值是解题
关键．
15． .
【解析】
【分析】
由 可得a-2≤0，则a≤2，在此范围内写出一个无理数即可.
【详解】
∵ ，
∴a-2≤0，即a≤2，∵a为无理数，
∴a的值为 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了绝对值的性质及无理数，由绝对值的性质得到a的范围是解答此题的
关键.
16． ．
【解析】
解：∵从数 、 、 、 、0.3131131113中任意取一个数，一共五种情况，并且出
现每种可能都是等可能的，其中无理数的情况有 、 两种，∴取到的数是无理数的概
率为 ．故答案为： ．
点拨：本题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时考
查了无理数的定义．
17．4039
【分析】
把已知条件变形平方，利用m2进行降次后，整体代入即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
原式 ，，
故答案为：4039．
【点拨】本题考查条件求值问题，关键掌握把条件变形，整理出需要的结构形式降次及代
入求值．
18． ，
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出所
含无理数即可．
【详解】
2，无理数有： ，2π．
故答案为： ，2π．
【点拨】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开
不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
19．2
【解析】
根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数
叫做无理数”分析可知：在上述各数中， 是无理数，其余的数都是有理数，即上述
各数中，无理数有2个.
点拨：带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，如 是有理数中的
整数；带有根号且开方开不尽的数就一定是无理数．
20．2
【解析】
根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中， 是无理数，其余的都是有理数，即上述各
数中无理数共有2个.
21．③④⑨ ①⑥⑦ ②⑧
【解析】
（1）由无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”可知，上述各数中，无理数是
③④⑨ ；
（2）根据有理数定义和有理数的分类可知：上述各数中，整数是①⑥⑦ ，负分数是②⑧ ．
22．5
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数
是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】
无理数有： ， ， ，0.1010010001…，
故无理数的个数为5.
【点拨】本题考查的是无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键.
23．
【详解】
试题分析： 分母中含有 2 与 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数；
= =0.25，如果分母中除了 2与 5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能
化成有限小数；
，如果分母中除了 2与 5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小
数，= 如果分母中除了 2与 5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小
数，
故答案为 ．
24．
【分析】
负数和0的绝对值是它的相反数，据此可得a-4≤0，写出一个无理数a的值是多少即可．
【详解】
解：因为|a﹣4|＝4﹣a成立，
所以a﹣4≤0，
所以a≤4，
因此写出的一个无理数a的值是 ．（答案不唯一）
故答案为： ．（答案不唯一）
【点拨】此题主要考查了实数的性质和无理数的含义，解答此题的关键是要明确：负数和
0的绝对值是它的相反数．
25．见解析
【分析】
根据有理数、无理数的分类正确填入即可.
【详解】
解：无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：【点拨】此题考察有理数、无理数的分类，熟记两者的分类方法及区别是解题的关键.
26．作图见解析.
【解析】
试题分析：根据题意可知，要画出的线段为一直角三角形的斜边，斜边为无理数的很多，
我们取直角边都为1的三角形．为有理数的有我们熟知的一组勾股数3、4、5．由此即可
画出．
试题解析：如图，AB=5，CD= ．
则AB为一条长度是有理数的线段，CD为一条长度是无理数的线段．
．
27．
【分析】
△ABP的周长为AB+AP+BP，由于AB的长度确定，则求△ABP周长的最小值即为求
AP+BP的最小值。作点B过于x轴对称点B’，根据对称的性质，可知B’坐标，再根据两点
之间线段最短，即可求得答案。
【详解】
解：如图所示，作点B过于x轴对称点B’，连接AB’，当点P运动到与AB’与x轴的交点处
时，△ABP的周长最小
∵A（1，1）、B（3，2）∴
又∵P为x轴上动点，当点P运动到与AB’与x轴的交点处时，△ABP的周长最小
此时
∴△ABP周长的最小值为 。
【点拨】本题考查的是平面直角坐标系的有关概念、对称的性质和两点之间线段最短，分
析出求△ABP周长的最小值即为求AP+BP的最小值，作出点B过于x轴对称点B’，是解
题的关键。
28． ， .任何无限循环小数都可以化成分数.
【解析】
【分析】
设 ①则 ，②；由 ，得 ；由已知，得
，所以 任何无限循环小数都可以这样化成分数.
【详解】
解：设 ①则 ，②
由 ，得 ，即 .
所以 .
由已知，得 ，
所以 .
任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.
29．作图见解析
【详解】
试题分析：（1）由于12+42=1+16=17，可知线段MN就是分别以1和4为直角边的直角三
角形的斜边长；
（2）边长分别为 、 和 的三角形即为所求作的直角三角形.
试题解析：（1）如图所示：
（2）如图所示：
