专题 3-1 三角函数图像与性质
目录
题型01三角函数单调性.......................................................................................................................................................1
题型02 求周期......................................................................................................................................................................3
题型03 非同名函数平移......................................................................................................................................................6
题型04 对称轴最值应用......................................................................................................................................................8
题型05 对称中心最值应用................................................................................................................................................11
题型06 辅助角最值............................................................................................................................................................14
题型07 正余弦换元型最值................................................................................................................................................17
题型08 一元二次型换元最值............................................................................................................................................20
题型09 分式型最值............................................................................................................................................................21
题型10 最值型综合............................................................................................................................................................23
题型11 恒等变形：求角....................................................................................................................................................25
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）.........................................................................................................................27
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）........................................................................................................................29
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）................................................................................................................31
高考练场..............................................................................................................................................................................33
题型 01 三角函数单调性
【解题攻略】
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参
作用
数
A A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω ω决定了函数的周期T＝ .
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1
时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ
＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短
（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的 _倍（纵坐标不变）即可得到．【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 和
都单调递增的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当 从 增加到 时， 从0递减到 ， 从 递增到1，
所以 从 递减到 ， 从 递减到 ，A错误；
当 从 增加到 时， 从 递减到 ， 从1递减到 ，
所以 从 递增到 ， 从 递减到 ，B错误；
当 从 增加到 时， 从 递减到 ， 从 递减到 ，
所以 从 递增到 ， 从 递减到 ，C错误；
当 从 增加到 时， 从-1递增到 ， 从 递减到0，
所以 从 递增到 ， 从 递增到 ，D正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数 ，则f（x）（ ）
A．在（0， ）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（— ，0）单调递减 D．在（— ，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到 ，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】 ，
故当 时， ，所以 不单调，AB错误；
当 时， ， 在 上单调递增，
故D正确故选：D
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设 ，即 ， ， 单调递增，取 单调增的部分，
所以可得： ，即 ，
解得： 答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数 在下列某个区间上单调递增，这
个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得 的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判
断出答案.
【详解】∵ ，
令 ，则 ，
即 的单调递增区间为 ，当 时， ，
∴函数 在区间 上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“ ”是“函数 在区间 上
单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数 区间 上单调递增，
则令 ， ，解得 ， ，
结合 是区间，所以 ，解得 .
“ ”是“ ”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型 02 求周期
【解题攻略】
求周期方法
1. 直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝ .y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
2.观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有
周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数 ，则
的最小正周期（ ）
A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关
C．与 无关，且与 无关 D．与 无关，但与 有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最
小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】 ，
对于 ，其最小正周期为 ，对于 ，其最小正周期为 ，
所以对于任意 ， 的最小正周期都为 ，
对于 ，其最小正周期为 ，
故当 时， ，其最小正周期为 ；
当 时， ，其最小正周期为 ，
所以 的最小正周期与 无关，但与 有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为 的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数 的图象如图所示：
由图可知函数 的最小正周期为 ，满足题意；
对于 而言， ，即函数 的最小正
周期不是 ，不满足题意；
对于 而言， ，即函数 的最小正周
期不是 ，不满足题意；对于 而言， ，即函数 的最
小正周期不是 ，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】确定 和 ， 为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A： ，函数定义域为 ， ，
函数为偶函数，排除；
对选项B： ，函数定义域为 ， ，
函数为偶函数，排除；
对选项C： ，函数定义域为 ， ，
函数为偶函数，排除；
对选项D： ，函数定义域为 ，
，函数为奇函数， ，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数 ， 的定义域为R，则“ ， 为周期函
数”是“ 为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则
有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为 ， 的周期为 ，则当 时，只有周期的整数倍才是函数的
周期，则不是充分条件；
若 ， ，
则 为周期函数，但 ， 为周期函数不正确，故不是必
要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数① ，② ，③ ，④
中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③ B．①④
C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知， ，最小值周期为 ；
②由翻折变换可知，函数 的图象如图：由图知 的最小值周期为 ；
③由周期公式得 ，所以 的最小值周期为 ；
④ 的最小值周期为 .
故选：D
题型 03 非同名函数平移
【解题攻略】
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重
点）
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数 的图象，只
需将函数 的图象（ ）
A．先向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】B
【解析】根据 ， 可判断.
【详解】 ，
所以 先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到
的图象.
故选：B.【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数 的图象，只需将函
数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】把 化成 可得平移的发现及其长度.
【详解】因为 ，
所以要得到函数 的图象，
只需把函数 的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平栘 个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数 的图象，
只需将函数 的图象向左平移 个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数 的图象，只需将函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】先得到 ，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为 ，
将其图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，为了得到函数
的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式 ， 即可得到平移方法.
【详解】函数 ，
，
所以为了得到函数 的图象只需将y=f（x）的图象向左平移 个单位.
故选：C
题型 04 对称轴最值应用
【解题攻略】
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
【典例1-1】已知函数 的最大值为 ，若存在实数 ，使得对任意实数
，总有 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得 的最大值和最小值，并求得 的最小值.
【详解】
，
当 时 取得最大值为 .当 时 取得最小值为 .
依题意，存在实数 ，使得对任意实数 ，总有 成立，
，
，
是整数， 为奇数，所以 的最小值为 .
故选：B
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数 的图象向
右平移 个单位长度得到 的图象，若 为 的一条对称轴，则
__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得 ， ，再利用三角函数对称性列方程求
解即可．
【详解】
设 ，则 ， ，
，则 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
又 是 的一条对称轴，
∴ ，即 .故答案为
【变式1-1】已知把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原
来一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，若 ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简函数 ，然后根据图像的变换得函数 的解析式，通过判断得 ， 同时令 取得最大值
或最小值时， ，再结合函数 的图像，即可求得 的最大值.
【详解】．将图象向右平移至 个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 ，可得 ，
所以 ， ，
∴ ， 同时令 取得最大值或最小值时， ．当 ， 时，
，
根据函数的图象可知 的最大值为 个周期的长度，即
故选：C.
【变式 1-2】（河南省三门峡市 2021-2022 学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数 的图象，若 ，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得 的解析式.根据 ,可知 ,即
.根据 可分别求得 的最大值和 的最小值,即可求得
的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,再把所得
的图象向左平移 个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由 ,可知
即
所以
的最大值为 , 的最小值为
则 的最大值为 , 的最小值为
所以 的最大值为
故选:A
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数 的图
象向左平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象，若使 成立的a、b有
，则下列直线中可以是函数 图象的对称轴的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出 的解析式，结合 成立的 有 ，求出 的关
系，结合最小值建立方程求出 的值即可.
解：将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象，
即 ，若 成立，即 ，即
，
则 与 一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设 ，
则 ，得 ，则 ，
∵ ，∴当 时， ，当 时， ，
，则 或 ，即 或 （舍），
即 ，由 ，得 ，
当 时，对称轴方程为 .故选：D.
题型 05 对称中心最值应用
【解题攻略】
正余弦对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的两条相邻对称轴之间
的距离为 ，则下列点的坐标为 的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为 ，由此可求得 ，得到 解析式；利用正弦型函
数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】 两条相邻对称轴之间的距离为 ， 最小正周期 ，
解得： ， ，
令 ，解得： ，此时 ，
的对称中心为 ，
当 时， 的一个对称中心为 .
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数 ，其图象的一个最低点是
，距离 点最近的对称中心为 ，则（ ）
A．
B． 是函数 图象的一条对称轴
C． 时，函数 单调递增
D． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，若 是奇函数，则 的最小值是
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由最低点求出 的值，可得函数的解析式，再
利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解： 函数 ， 的图象的一个最低点是 ，
距离 点最近的对称中心为 ，
， ， ，
， ，解得 ， ，因为 ，
令 ，可得 ，所以函数 ，故A错误；
，故函数关于 对称，故B错误；
当 时， ，函数 单调递增，故C正确；
把 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，
若 是奇函数，则 ， ，即 ， ，
令 ，可得 的最小值是 ，故D错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数 的图象向左平移 个单位，再将
纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 的图象，且 的图象上一条对称轴与一个对称
中心的最小距离为 ，对于函数 有以下几个结论：
（1） ；
（2）它的图象关于直线 对称；
（3）它的图象关于点 对称；
（4）若 ，则 ；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出 的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函
数 .
对于选项A：由 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 ，最小正周期 ，即
，解得 ，故 ，所以（1）错误；
当 时，代入 可知 ，故图像的一条对称轴是 ，故（2）正确；
当 时，代入 可知 ，故图像的一个对称点是 ，故（3）正确；
若 ，则 ，所以
因此 在 上的取值范围是 ，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为 个.故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象分别向左、向右各平移 个
单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得 和 ，根据函数
与 的对称中心重合，得到 ，即可求解.
【详解】解：将函数 的图象分别向左平移 个单位长度后，
可得
将函数 的图象分别向右各平移 个单位长度后，
可得 ，
因为函数 与 的对称中心重合，所以 ，
即 ，解得 ，所以 的最小值为 .故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知 的一个对称中心为 ，
把 的图像向右平移 个单位后，可以得到偶函数 的图象，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得
到 的解析式，结合函数的奇偶性，求出 的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为 ，令 ， ，解得
， ，即函数的对称中心坐标为 ， ，所以 ， ，把 的图
像向右平移 个单位得到 ，因为 为偶函数，所以
，解得 ，因为 ，所以 ，所以
， 且 ，所以当 时 ；故选：
D
题型 06 辅助角最值
【解题攻略】辅助角范围满足：
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知
函数 ， 的最小值为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 可得出不等式 对任意的 恒成立，化简
得出 ，分 、 两种情况讨论，结合 可求得实数 的取值范围.
【详解】
且 ，
由题意可知，对任意的 ， ，
即 ，即 ，
，则 ， ， ，可得 .
当 时， 成立；
当 时，函数 在区间 上单调递增，则 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：C.
【典例1-2】已知函数 在 上的值域为 ，则
的取值范围为______.【答案】
【分析】
化简得 ，其中 ， ， ，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得
，其中 ， ， ，
令 ， .因为 ， ，故 ，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故 ，则 .
又当 时， 单调递减，且 ，
，故 .
【变式1-1】.已知函数 ，周期 ， ，且在 处取得最大值，则
使得不等式 恒成立的实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得 ，①，
再根据 ，可得 ，②，通过①②求出 的值，再根据三角函数的性质可得 ，
，求出 ，根据不等式 恒成立，则 ，即可求出答案．
【详解】 ，其中 ， 处取得最大值，
，即 ， ， ，①，
，
， ， ，②，
① ②得 ， ，即 ，解得 ，
（舍去），
由①得 ， ， ， 在第一象限， 取 ， ，由 ，即 ， ， ， ， ，
使 最小，则 ，即 ，若不等式 恒成立，则 ，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当
时，函数 取到最大值，则 是（ ）
A．奇函数，在 时取到最小值； B．偶函数，在 时取到最小值；
C．奇函数，在 时取到最小值； D．偶函数，在 时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得 ，根据 时 有最大值可得
，求出 ，再根据奇偶性并计算 、 可得答案.
【详解】 ，取 ，
当 时， 有最大值 ，即 ，所以 ，可得
，
所以 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， 为偶函数，
， ，故B正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关
于x的方程 在 上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简 ，因为 ，则 ，
在 上有两个不等实根，转化为 在 上
有两个不等实根，故 ，即可得出答案．
【详解】 ，
其中 ， ，
因为 ，则 ，+
在 上有两个不等实根，
在 上有两个不等实根，则 ，所以
①对任意 ， ，恒成立．由②得 ，存在 ，成立，
所以 ， ，所以 ．故答案为：4
题型 07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
与 在同一函数中一般可设 进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数 ，则
的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令 ，进而可得 ，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由 令 ，则
，
所以 ，又对勾函数 的单调递减区间为 ， ；
单调递增区间为 ， ，结合对勾函数的图象，如下：所以 ，所以 ，所以函数的值域为
.
故答案为： .
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】利用 通过换元将原函数转化为含未知量 的函数 ，再解出函数 的值域即
为函数 的值域.
【详解】令 ， ，
则 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即函数 的值域为 ．
故答案为： .
【变式1-1】已知函数 ，则 的最大值为___________.
【答案】 ##
【分析】设 ，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设 ，则 ，，
，
∴ 时， ，即 ．
故答案为： ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单
调递减，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间 上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a
的取值范围．
【详解】由函数 ，且f(x)在区间 上单调递减，
∴在区间 上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设 ，
∴当x∈ 时, ,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足 或 或 ，
解得 或 或 ，综上，可得实数a的取值范围是 ，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数
9
f (x)=a(sinx+cosx)−sinxcosx−a(x∈R)的最大值为 ，则a的值为____________.
2
【答案】5√2+5
【分析】
利用换元法，令t=sinx+cosx，结合同角三角函数的平方关系，将函数 化为关于 的函数g(t)，然后
分类求最值.
π
【详解】设t=sinx+cosx=√2sin(x+ )，则t∈[−√2,√2]，则
4
t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，
t2−1 t2−1 1 1
∴sinxcosx= ，∴g(t)=f (x)=a(sinx+cosx)−sinxcosx−a=at− −a=− t2+at+ −a，
2 2 2 2
a2 1 9
对称轴方程为t=a>0，当0<a<√2时，g(t) =g(a)= + −a= ，解得a=−2（舍）或a=4（舍）；
max 2 2 21 9
当a≥√2时，g(t) =g(√2)=− +√2a−a= ，
max 2 2
解得a=5√2+5.故答案为：5√2+5.
题型 08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若 ，则函数 的最大值与最
小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可化简函数为 ，根据余弦型函数值域的求法可求得
，结合二次函数最值的求法可求得 的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】
，
当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
.故选：C.
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为 所以当 时
故选：B
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于 的不等式 在 内恒成立，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由 得 ，设 ，因 ，所以 ，则 在 上恒成立，设 ，
则二次函数 的对称轴为 ，
因其开口向下，所以 时函数 单调递增，所以 的最大值 ，
故 ，故答案为：
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数 ，则 ；
的最大值为
【答案】
【分析】将 代入解析式即可求 的值；利用二倍角公式化简，令 ，转化为关于
的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
令 ，则 ，对称轴为 ，开口向上，
所以当 时 ，
所以 的最大值为 ，故答案为： ； .
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数 的最大值为 .
【答案】2
【分析】由 ，换元令 ，则 ，得函数为
， ，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解： ，
令 ，由于 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
因为抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以函数 的最大值为2，
故答案为：2题型 09 分式型最值
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数 的最大值是 ，最小
值为 ．
【答案】
【详解】∵ ， ，变形可得
即 ，其中
即 解得：
故答案为最大值是 ， 最小值为
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数 的值域为
【答案】
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由 ，得定义域为 ，且 ，
即有 ，所以 ，解得 ，
故函数的值域为 ．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数 的值域为
.
【答案】
【分析】化简得到 ，计算 故 得到答案.
【详解】
故 ，
故答案为：
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数 的值域为 ．【答案】
【解析】将函数 ，变形为 ，再根据 求解.
【详解】因为函数 所以 ，因为 ，
解得 或 .
故答案为：
【变式1-3】函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对 变形，得到 ，当 时，利用 的几何意义求解其取
值范围，进而得到 ，当 时， ，从而求出 的最小值.
【详解】
当 ，
当 时,因为 ，
令 ， 的含义是点 与单位圆上的点 的连线的斜率，所以 ，所以
所以 ，即 ，综合得， ， 故最小值为： .
故选：B.
题型 10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知 ， 为锐角， ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等
式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，当且仅当 即
时取等号，所以 的最小值为 .故选：A.【典例1-2】已知锐角 满足 ，则 的最小值为____．
【答案】8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得 ，令
，则 ，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角 满足 ，所以 ，
令 ，则 ，由题意得 ， ，
则
当且仅当 时取等号，此时 的最小值 ．故答案为：8
【变式1-1】若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 ，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵ ，
∴ ，当且仅
当 时等号成立.
∴ 的取值范围为 .故选：B.
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，可得 ，再根据两角和的正切公式可得
，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，即 ，
又因 ，所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .故选：D.
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为
，且最小值为－1.若 ， 的值域是 ，则m的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
根据题意易求 , ，由图象过（0， ）， ，可得 ，从而得函数解析式，由
可得 ，由余弦函数性质及值域，可得 ，求解即可.
【详解】
由函数最小值为－1， ，得 ，因为最小正周期为 ，所以 ，故 ，
又图象过点（0， ）,所以 而 ，所以 ，从而 ，
由 ，可得 ．因为 ,且 ，
由余弦函数的图象与性质可知： ，解得 ，故填 .
题型 11 恒等变形：求角
【解题攻略】
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范
围.
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在 ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3 ，tan2B＝tan A·tan
C，则角B等于（ ）
△
A．30° B．45° C．120° D．60°
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条
件求得tan B＝ ，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3 .
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3 ，∴tan B＝ ，B＝60°.故选：D.
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知 且 ，
则 =（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出 的值，再判断 的范围即可得解.
【详解】因 ，则 ，
，
因 ， ，则 ，又 ，有 ，
于是得 ，因此， ，所以 .故选：C
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知 ， ，
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合 可求出 ，则可求出 ，然后对
变形化简可得 ，从而可求出 的值.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．又 ，所以 ．故选：C
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知 ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化切为弦，结合 ，得到 ，因为 ，
所以 ，故 ，求出 .
【详解】 ，即 ，
故 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
故 ，解得 故选：C
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出 ，再借助正弦函数的单调性求解作
答.
【详解】由 ，得 ，
两边平方得 ，即 ，
由 ，知 ，又 ，即 ，
即有 ，因此 ，所以
故选：C
题型 12 恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2021·广西·统考一模） ＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】先求出 ，然后，利用 ，代入 的值求解即可
【详解】 ，
令 ，得 ， ， ，所以， ，
所以，
故选：A
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】依题意可得 ，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算
可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，即
，即 ，所以
，即 ，所以 ，所以 ；
故选：B
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测） （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.故选：A.
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习） （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.【详解】
，故选：B.
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求 的值（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解：
题型 13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
求复合型角，
1. 以给了函数值的角度为基角来拆角。
2. 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3. 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得 ，利用两角和差余弦公式可依次求得 和
.
【详解】 ， ，
， ， ，则 ，
， ，.故选：D.
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知 , 都是锐角, , ,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断 的范围,从而求出 的值,将 写为
,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于 , 都是锐角,则 , ,
因为 , ,所以 , ,
所以 , ,所以
.故选:B
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若 均为锐角且
，则
【答案】
【分析】根据 求出 ，根据 可求得结果.
【详解】因为 均为锐角且 ，
所以 ， ，
所以
，
所以 .故答案为： .
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知 ，
且 ，则 ．
【答案】 /－0.8
【分析】已知等式变形为 ，引入函数
，即有 ，根据正弦函数性质得 的关系，再结合可得 的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由 得 ，
设 ，其中 ， ， 为锐
角，
已知条件即为 ，
所以 ，或 ， ，
若 ， ，则 ， 与已知矛盾，
所以 ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若 ， ， ，
，则 .
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出 ， 的角度值，进而可求
【详解】由 ， ，则 ，
，所以 或 ，
，
，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
又 ，.故 .
故答案为：
题型 14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 ，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】 ， ，
，则 ，
．
故选：D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．-2
【答案】C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由 可得 ，再根据
可得 ，进而求解即可.
【详解】由 可得 ，即
，故 .
又 ，故 ，即 ，代入 可得
.
故 .故选：C
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】确定 ，计算得到 ， ，计算得到答案.
【详解】 ，化简得 ，
故 ，解得 ，
又 ，则 ，
故 .
故选：D.
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角 ，且
，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由 ，可得 ，即
，故 .又 ，故 ，
即 ，代入 可得 .
故 故选：D
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据 ， ，
得 ， ．
两式分别相加、减，可得 ， ．
易得 ， ， ，所以上述两式相除，得 ．故选：D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 周期为π，在 上单调递减
B． 周期为 ，在 上单调递减
C． 周期为π，在 上单调递增
D． 周期为 ，在 上单调递增
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当 时，即 ，，
显然该函数此时在 上单调递减，
当 时，即 ，
，
因此函数的周期为 ，在 上单调递减，故选：B
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数 的周期不
可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 、 、 中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若 时， ， ，即可化简得出 ，再分类为 与 判断其
周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是 .
【详解】当 ， 时，函数 ，最小正周期为 ，故选项A可能；
当 ， 时，函数 ，最小正周期为 ，故选项B可能；
当 ， 时，函数 ，最小正周期为 ，故选项C可能；
而对于选项D：
，
则若 时，
，
令 ，
所以
与题设矛盾，故函数 的最小正周期不可能是 ；
故选：D.
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数 的图像，只需将函数
的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变），再向左平移 个单位长度B．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为 ，所以将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，就可得到函数 的图像.
故选C．
π
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足
2
π
|f(x )−g(x )|=2的x 、x 有|x −x | = ，则φ=______．
1 2 1 2 1 2 min 3
π
【答案】
6
【分析】
π
函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后,得到函数g(x)=sin(2x−2φ)的图象．若对满足
2
π 7π 3π
|f(x )−g(x )|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论x = ，x = 与x = ，
1 2 1 4 2 12 1 4
5π
x = 两种情况，分别求出φ值，检验是否符合条件即可.
2 12
π
【详解】因为函数f(x)=sin2x的周期为π，函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后,
2
得到函数g(x)sin(2x−2φ)的图象．满足|f(x )−g(x )|=2的可知，f (x )、g(x )一个取最大值一个
1 2 1 2
取最小值
π π 7π
因为x −x | = ，若x = ，x = ，
1 2 min 3 1 4 2 12
π 7π 7π
f(x)在x = 取最大值，g(x)在x = 取得最小值，sin(2× −2φ)=−1，
1 4 2 12 12
π 3π 5π 3π 5π
此时φ=− ，不合题意，x = ，x = ，f(x)在x = 取最小值，g(x)在x = ，取得最大值，
6 1 4 2 12 1 4 2 12
5π π π
sin(2× −2φ)=1，此时φ= ，满足题意．故答案为 ．
12 6 6
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数 的图象的
一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的
图象．若函数 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出 ，由平移得 利用单调性列出 的不等式求解即可
【 详 解 】 由 题 意 ， 知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴
， 由 ， 得
， 即 的 增 区 间 为 ， ∴
， ∴ ， ， ∴
．∵ ，∴ ，故选：B．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数 在 处取得最大值，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】 ，其中 为锐角， .
因为当 处取得最大值，所以 ， ，即 ， ，
所以 .故选：A
7.（福建省 2021 届高三毕业班总复习数学试题）已知直线 与函数 和函数
的图象分别交于 两点，若 ，则线段 中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】
由题意，知 ，则线段 的中点为 .
而 .① ；设 ，②
①、②两式分别平方，相加，得 ，解得 .
又 ，所以 ，故 取 .
所以线段 中点的纵坐标为 .
8.（2021下·高三课时练习）函数 ， 的值域为______.
【答案】【分析】利用平方关系将函数化为 的二次函数，配方求值域即可.
【详解】 ，
，
故 的值域为 ，故答案为： .
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数 的最小值与函数 在区间 的最小
值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令 ，则 ，
因此函数 的最小值与函数 在区间 的最小值相同，
又因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以函数 的最小值2.故选：B
10.（2021·全国·高三专题练习）设 ， 均为锐角，且 ，则 的最
大值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得 ，而目标三角函数式可化为 ，结
合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意， ，得 ，即 ，
∴由 为锐角， ，当且仅当
，即 时等号成立．故 的最大值是 ．故选：B.
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若 ， ，且 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有 ，根据三角函
数值确定 的值.
【详解】 ， 符号相同，
又 ， ， ，
由 可得 ，
又 ， ， ，
所以 ， ，
，
由 ， ，得 ， ，故选：A．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 .故选：C.
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若 是第三象限角，且 ，则
等于 .
【答案】
【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出 ，再利用平方关系求出 ，进而求出 .
【详解】 ， ，
是第三象限角， ，
.故答案为： .
