专题2.7一元一次不等式与一次函数（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_1课时练习

专题2.7 一元一次不等式与一次函数（知识讲解） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数 形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 axb axb axb 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0或 ＜0或 ≥0或 axb a b a ≤0（ 、 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函 y axb 数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值 范围. x axb a 特别说明：求关于 的一元一次不等式 ＞0（ ≠0）的解集，从“数”的角度 x y axb 看，就是 为何值时，函数 的值大于 0？从“形”的角度看，确定直线 y axb x y 在 轴（即直线 ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式 的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 axbcxd a c ac0  y axb y cxd （ ≠ ，且 ）的解集 的函数值大于 x  y axb y cxd 的函数值时的自变量 取值范围 直线 在直线 的上方对应的点的横 坐标范围． 【典型例题】 类型一、不等式的解集 1．已知一次函数y＝-2x＋4，完成下列问题：（1）求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标： （2）画出此函数的图像；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是___ 【答案】（1）与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标 ；（2）图见解析， 【分析】 （1）分别求出直线与 轴、 轴的交点； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论． 解：（1） 当 时 ， 函数 的图象与 轴的交点坐标为 ； 当 时， ，解得： ， 函数 的图象与 轴的交点坐标 ． （2）函数图象如图所示． 观察图象，当 时， 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟知一次函数图 象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 举一反三： 【变式1】已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）图象与x轴交点A（ ）、与y轴交点B（ ）； （2）画出函数图象，并根据图象回答： 当x 时，y＞2；当x≥0时，y的取值范围 ．当1＜x≤3时，y的取值范围 ． 【答案】（1）（2，0）；（0，4）．（2）＜1；y≤4；﹣2≤y＜2． 【分析】 （1）分别代入y=0及x=0，求出与之对应的x，y的值，进而可得出点A，B的坐标； （2）画出函数图象，利用一次函数图象上点的坐标特征及函数图象，即可得出结论． 解：（1）当y＝0时，﹣2x+4＝0， 解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）； 当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）. 故答案为：（2，0）；（0，4）． （2）画出函数图象，如图所示． 当y＞2时，﹣2x+4＞2， 解得：x＜1； 当x＝0时，y＝4，且y随x的增大而减小，∴当x≥0时，y的取值范围为y≤4； 当x＝1时，y＝﹣2×1+4＝2，当x＝3时，y＝﹣2×3+4＝﹣2， ∴当1＜x≤3时，y的取值范围为﹣2≤y＜2． 故答案为：＜1；y≤4；﹣2≤y＜2． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数的图象，解题的 关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的 坐标特征及函数图象，找出结论． 【变式2】如图，直线 与 轴交点的纵坐标为 ，直线 与 轴交点 的横坐标为 ，两条直线相交于点 ． （1）关于 的不等式 的解集是_________； （2）关于 的不等式 的解集是_________； （3）当 为何值时， ？ （4）当 为何值时， ？ 【答案】（1）x＜4；（2）x＜0；（3）x≤2；（4）2＜x＜4 【分析】 （1）根据图象，先找到令y＝0，对应的x＝4，再根据函数图象的增减性判断即可； 2 （2）根据图象，先找到令y＝1，对应的x＝0，再根据函数图象的增减性判断即可； 1 （3）根据图象，先找到两直线的交点，再分情况讨论即可； （4）根据函数图象分别写出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可． 解：（1）由图象可知：令y＝0，则ax+b＝0，此时x＝4， 2 根据图象可知，直线y＝ax+b的y值随x的增大而减小， 2 所以，不等式ax+b＞0的解集为x＜4，故答案为：x＜4； （2）由图象可知：令y＝1，则mx+n＝1，此时x＝0， 1 根据图象可知，直线y＝mx+n的y值随x的增大而增大， 1 所以，不等式mx+n＜1的解集为x＜0， 故答案为：x＜0； （3）由图象可知，当x＝2时，y 的图象与y 的图象交于点P（2，1.8）， 1 2 当x＜2时，y 的图象都在y 的图象的下方，此时y＜y， 1 2 1 2 当x＞2时，y 的图象都在y 的图象的上方，此时y＞y， 1 2 1 2 ∴当x≤2时，y≤y； 1 2 （4）由（3）得：当x＞2时，y＜y， 2 1 由（1）得：y＞0的解集为x＜4， 2 ∴当2＜x＜4时，0＜y＜y． 2 1 【点拨】本题考查了两直线相交的问题，利用函数图象解不等式（组），利用数形结 合的思想求解是解题的关键． 类型二、一元一次不等式的定义 2． 举一反三： 【变式1】如图，直线y＝﹣x+1与直线y＝2x﹣3交于点P，它们与y轴分别交于点 1 2 A、B． （1）求 ABP的面积； （2）直接写出y＞y 时，x的取值范围； 1 2 【答案】（1） ；（2）x＜ 【分析】 （1）根据题意由点的坐标求得相关线段的长度，然后由三角形的面积公式进行解答；（2）由题意直接根据函数图象进行分析即可直接回答问题． 解：（1）当x＝0时，y＝1，即A（0，1）． 1 同理，y＝2x﹣3经过点B（0，﹣3）． 2 所以AB＝4． 由 ，得 ． 所以P（ ， ）． 所以△ABP的面积是： AB•|x |＝ ＝ ； P （2）由（1）知，P（ ， ）． 由函数图象知，当y＞y 时，x的取值范围是x＜ ． 1 2 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质以及两条直线相交或平行的问题．解题时， 注意利用“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化． 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b 的图象与一次函数y＝kx+b 的图象交于点 1 1 1 2 2 2 A，根据图象回答下列问题． （1）求关于x的方程kx+b＝kx+b 的解； 1 1 2 2 （2）求出关于x的不等式kx+b＞kx+b 的解集； 1 1 2 2 （3）当满足什么条件时，直线y＝kx+b 与直线为y＝kx+b 没有公共点？ 1 1 1 2 2 2 【答案】（1）x＝3；（2）x＜3；（3）k＝k，b≠b 1 2 1 2 【分析】（1）由题意根据两一次函数图象的交点横坐标即可得出方程的解即可求得； （2）根据题意可将两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可； （3）根据题意可知当两函数图象平行时，直线y=kx+b 与直线为y=kx+b 没有公共点． 1 1 1 2 2 2 解：（1）∵一次函数y＝kx+b 和y＝kx+b 的图象交于点A（3，5）， 1 1 1 2 2 2 ∴关于x的方程kx+b＝kx+b 的解为x＝3． 1 1 2 2 （2）一次函数y＝kx+b 与一次函数y＝kx+b 的图象相交于点A（3，5）， 1 1 1 2 2 2 所以不等式kx+b＞kx+b 的解集是x＜3． 1 1 2 2 （3）∵两直线平行，则k＝k，b≠b， 1 2 1 2 ∴当k＝k，b≠b 时，直线y＝kx+b 与直线为y＝kx+b 没有公共点． 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 【点拨】本题考查两条直线相交或平行问题，熟练掌握两函数图象与方程解之间，函 数图象与不等式之间的关系是解题的关键．