专题2.7二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解）_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第2套）

专题 2.7 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解） 【学习目标】 1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2．会用描点法画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶 点、开口方向等概念； y ax2a 0 3．掌握二次函数 y=ax2+k(a≠0)的图像的性质，掌握二次函数 与 y=ax2+k(a≠0)之间的关系；（上加下减）. 【要点梳理】 要点一、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像及性质 1.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像 a0 （1） j j a0 （2） j j 2.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像的性质 关于二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函 数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图像，将其性质列表归 纳如下： 函数图像 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，k) (0，k) 对称轴 y轴 y轴 x0 x0 当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小； 函数变化 x0 x0 当 时，y随x的增大而减小. 当 时，y随x的增大而增大. 最大（小） x0 x0 值 当 时， 当 时， y  ax2a  0 3.二次函数 与y=ax2+k(a≠0)之间的关系；（上加下减）. y  ax2a  0 的图像向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│个单位得到 y=ax2+k(a≠0)的图像. 特别说明：抛物线 y=ax2+k(a≠0)的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线 y ax2(a 0) y ax2(a 0) 的形状相同．函数y=ax2+k(a≠0)的图像是由函数 的图像向 上（或向下）平移 个单位得到的，顶点坐标为(0，k)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与 x轴 垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变， 只是位置发生变化而已． 【典型例题】 类型一、 1．如图，已知抛物线 ． （1）该抛物线顶点坐标为________； （2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）； （3）该抛物线 可由抛物线 向________平移________个单位得到；（4）当 时，求x的取值范围． 【答案】解：（1） ；（2）见解析；（3）上，4；（4） ．． 【分析】 （1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标； （2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利 用描点法画函数图像； （3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解； （4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可． 解：（1）抛物线的对称轴为：x=- =0 令x=0，y=4 则顶点坐标为（0，4）； （2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4）， 令y=0， x=±2， 则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得： （3）由上加下减的原则可得，y=-x 向上平移4个单位可得出y=-x +4； （4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-20； =0，1；（0，1），（-1，0）和（1，0）;（3）抛物线 的开口方向向上，对称 轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）. 【分析】 （1）根据作出的图像，即可得到平移方向和单位； （2）由 ，结合二次函数的图像和性质，即可得到答案； （3）根据二次函数的图像和性质，即可得到答案. 解：函数 和 的图像如图所示.（1）抛物线 向下平移1个单位长度才能得到抛物线 . （2）函数 ，当 时，y随x的增大而减小；当 时，函数有最大值，最大 值是1；其图像与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1， 0）； 故答案为：>0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）. （3）抛物线 的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）. 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图像后即可得到平移的单位和方向．解 题的关键是掌握二次函数的图像和性质. 2．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变； （2）若这两个函数图像的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2 个单位就能与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，则c＝ ； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）． 【答案】（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是 对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口 方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3） p＜m＜n【分析】 (1)根据二次函数的性质即可得到结论； (2)由函数图像的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根 据完全重合，得到c =-2． (3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断． 解：（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称 轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向 都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图像完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：±2，﹣2． （3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p＜m＜n， 故答案为：p＜m＜n． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数图像上点的坐 标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 举一反三： 【变式1】在同一直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同 点； （2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】 （1）根据二次函数的图像解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 解：（1）解：如图：， 与 图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴， 与 图像的不同点是： 开口向上，顶点坐标是（0，1）， 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样； 不同点： ，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； ，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性 质是解答的关键. 【变式2】 二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 … … 5 0 -3 -4 -3 m … （1）m= ； （2）在图中画出这个二次函数的图像；（3）当 时，x的取值范围是 ； （4）当 时，y的取值范围是 . 【答案】（1）0；（2）见解析；（3）x≤-4或x≥2；（4）-4≤y＜5． 【分析】 （1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得； （2）根据二次函数图像的画法作出图像即可； （3）根据抛物线的对称性，（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），根据图像即可 求得结论， （4）根据函数图像，写y的取值范围即可． 解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4）， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， ∵（-3，0）关于直线x=-1的对称点是（1，0）， ∴m=0， 故答案为：0； （2）函数图像如图所示；（3）∵（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5）， 由图像可知当y≥5时，x的取值范围是x≤-4或x≥2， 故答案为x≤-4或x≥2； （4）由图像可知当-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5， 故答案为-4≤y＜5． 【点拨】此题考查二次函数的图像，二次函数的性质，解题关键在于数形结合． 类型二、 3．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结 AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的 运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________. 【答案】抛物线 y= x2+1【分析】当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形 AOBC是矩形，由 P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出 PC、AP，在Rt△APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上 时，用同样的方法求解即可. 解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形 AOBC是矩形， ∴AC=OB=x，BC=OA=2， ∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y， 在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y= x2+1； 当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x满足的关系式是：y= x2+1， ∴y ，x满足的关系式是：y= x2+1. 故答案为：抛物线、y= x2+1. 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式， 难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键. 举一反三： 【变式1】在线段 上取点 ，分别以 、 为边在 的同一侧构造正方形和正方形 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，若 ，则 线段 的最小值为______． 【答案】4 【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ， 根据x的值即可求出PQ的最小值． 解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H， ∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8， ∴H为CG中点， ∴PH=4，设CG=2x， 则CH=HG=EQ=x，QH=2x， ∴PQ= = = ， 则当x=0时，PQ最小，且为4， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示 出PQ的长． 【变式2】请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标 为 .此二次函数的解析式可以是______________ 【答案】【分析】根据二次函数图像和性质得a 0,c=3,即可设出解析式. 解：根据题意可知a 0,c=3, 故二次函数解析式可以是 【点拨】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 【变式3】写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 【答案】y=x2+2，答案不唯一． 【分析】对称轴是y轴，即直线x=− =0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项 即可． 解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如 y=x2+2，答案不唯一. 故答案为y=x2+2. 【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.