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一、单选题
1．已知点 是角 终边上的一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A（北师大版第二册第25页）
2．函数 的定义域为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
3．为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活
率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产
生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个
随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：
据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（ ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】B
4．为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
5．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进
行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为
圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边
三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形 的边长为4，则
勒洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6.已知函数 ，则其最大值与最小值之差为
（ ）
【答案】C（北师大版必修二第75页）
7．已知函数 的部分图象如图所示， 为
图象与 轴的交点， 为图象与 轴的一个交点，且 .则函数 的
一条对称轴方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D8．已知 ，函数 在 上单调递增，且对任意 ，都有
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，依题意，
，解得 （*）.
又 又 ，则 ，故由（*）得， 时，即 ①.
由 ，得 ，因对任意 ，都有 ，
则 ，解得 ，
因为 ，故 时，即 ②.
综合①，②，可得 的取值范围为 . 故选：C
二、多选题
9．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区
为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意
度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数为75分
C．满意度计分的75%分位数是85分
D．满意度计分的平均分是76
【答案】ABC
10. 已知 的斜边长为 ，则其内切圆半径取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
11.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒
车的轴心 距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒 到水
面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数），若以盛水筒
刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：秒）之间的
关系为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．盛水筒出水后至少经过 秒就可到达最低点
D．盛水筒 在转动一圈的过程中， 在水中的时间为 秒
【答案】ABD
【详解】因为 到水面的距离为 与时间 之间的关系为 ，其中 ，所以 ，选项A正确；
因为 时， ，解得 ，
又因为 ，所以 ，选项B正确；
所以 ，
令 ，得 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以盛水筒出水后至少经过 秒可到达最低点，选项C错误；
由 ，得 ，得 ，
所以 ，
解得 ，
所以盛水筒 在转动一圈的过程中， 在水中的时间为 秒，选项D正确.
故选：ABD（人教版必修一第241页）
三、填空题
12.已知 ，则【答案】 （北师大版必修二第151页）
13. 已知 ，且 ，则
【答案】 （人教版必修一第195页）
14.已知函数 ，若 有6个零点，
则 的取值范围为
【答案】
【详解】由题可得函数图象，当 或 时， 有两个解；
当 时， 有4个解；当 时， 有3个解；
当 时， 有1个解；因为 最多有两个解.
因此，要使 有6个零点，则 有两个解，
设为 ， .则存在下列几种情况：
有2个解， 有4个解，即 或 ， ，显然 ，
则此时应满足 ，即 ，解得 ，有3个解， 有3个解，设 即 ， ，
则应满足 ， 。综上所述， 的取值范围为 .
四、简答题
15．已知
（1）用五点法画出 在 上简图（要有作图痕迹）；
（2）求函数 在 上的值域。
【详解】（1）令 ，利用 的图象取点法画图；列表如下作在 上的图如下：
（2）由函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而
， ， 得 值域为 。
16. 已知角 为第三象限角，且
（1）求 的值；
（2）化简求值： 。
【详解】（1）由已知得 ，
所以原式17．已知函数 的周期为 ， 为它的一个对称中
心。
(1)求函数 的解析式及其单调增区间；
(2)若关于 的方程 在 上有实数根，求实数 的取值
范围.
【详解】（1）由 ，得 ；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以
单调增区间：
（2）由 ，得 ，故 ，
因此函数 的值域为 .设 ，则
要使关于 的方程 在 上有且仅有一个实数根，即
在 有且仅有一个实数根。令 ，则，由图像可知 。
18.已知函数 与函数 的部分图象如图所示，图中阴影部分
的面积为8.
（1）求 的值；
（2）若函数 （ ，且 ），对任意
，存在 ，使得 ，求 的取值范围。
【详解】（1）如图，阴影部分的面积等价于矩形 的面积，
对于函数 ，定义域为 ，
所以过点C垂直于x轴的直线为 ，又 ，
则 ，解得 。
（2）由（1），得 ，当 时， ，
故对任意 有 成立。令 且 ，均有 ，
对于 开口向下，且对称轴为 ，
当 时，则 上 恒成立，
若 ，即 时， 在 上单调递减，所以 ，满足题设；
若 ，即 时，显然 ，即 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ；综上， 时满足题设；
当 时，则 上 恒成立，
显然 ，故 在 上单调递减，所以 ，此时 ；
综上所述， 或 .
19．英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中
，此公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示
值的精确性。
（1）估算 的值（采用四舍五入法，结果保留小数点后四位）
（2）此外该公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当 时， ，
，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
（ⅰ）证明：当 时， ；（ⅱ）设 ，若区间 满足以下条件：① ；
②当 定义域为 时，值域也为 ，则称区间 为 的“封闭区间”．试问
是否存在“封闭区间”？若存在，求出 的所有“封闭区间”，若不存在，请
说明理由．
【详解】（1）
（2）（ⅰ）由题意，得 ，所以 ，
所以当 时， ．故
（ⅱ）对于函数 ，有 ，
①若 ，则 ，故 最小值为 ，于是 ，
所以 ，所以 最大值为2，故 ，
此时 的定义域为 ，值域为 ，符合题意．
②若 ，当 时，同理可得 ，舍去，
当 时， 在 上单调递减，所以 ，于是 ，
若 ，即 ，则 ，
故 ，与 矛盾；
若 ，同理，矛盾，所以 ，即 ，
由（ⅰ）知当 时， ，
因为 ，所以 ，从而， ，从而 ，矛盾，
综上所述， 有唯一的“封闭区间” ．（人教版必修一第256页）
