专题3-2解三角形最值范围与图形归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2023年复习资料_二轮复习

专题 3-2 解三角形最值、范围与图形归类 目录 讲高考................................................................................................................................................................................1 题型全归纳.......................................................................................................................................................................2 【题型一】最值与范围1：角与对边.....................................................................................................................2 【题型二】最值与范围2：角与邻边.....................................................................................................................3 【题型三】范围与最值3：有角无边型.................................................................................................................3 【题型四】最值与范围4：边非对称型.................................................................................................................4 【题型五】最值：均值型...........................................................................................................................................5 【题型七】图形1：内切圆与外接圆.....................................................................................................................4 【题型八】图形2：“补角”三角形.....................................................................................................................5 【题型九】图形3：四边形与多边形.....................................................................................................................5 【题型十】三大线1：角平分线应用.....................................................................................................................7 【题型十一】三大线2：中线应用..........................................................................................................................7 【题型十一】三大线3：高的应用..........................................................................................................................8 【题型十一】证明题....................................................................................................................................................9 专题训练............................................................................................................................................................................9 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以 a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ． (1)求 的面积； (2)若 ，求b． 2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)证明： ； (2)若 ，求 的周长． 3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．(1)若 ，求B；(2)求 的最小值． 4．（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .． （1）若 ，求 的面积； （2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明 理由． 5．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ． （1）求 ； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一 确定，求 边上中线的长．条件①： ； 条件②： 的周长为 ； 条件③： 的面积为 ； 题型全归纳 【题型一】最值与范围1：角与对边 【讲题型】 例题1.已知 的内角 所对的边分别为 （1）求 ； （2）已知 ，求三角形周长的取值范围. 例题2.在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 . （1）求角A的值； （2）若 ，求三角形周长的取值范围. 【讲技巧】 ．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的 正弦 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问 题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论． 【练题型】 1.在锐角三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 的周长 的取值范围. 2.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且 （1）求角A； （2）若 ，求bc的取值范围． 【题型二】最值与范围2：角与邻边 【讲题型】 例题1..已知 为锐角三角形，角 所对边分别为 ， 满足： . （1）求角 的取值范围；（2）当角 取最大值时，若 ，求 的周长的取值范围. 【讲技巧】 三角形中最值范围问题的解题思路： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值， 转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。 涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范 围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量 把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大 【练题型】 1.．在△ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． （1）求角B； （2）若△ 为锐角三角形，且 ，求△ 面积的取值范围． 2.在 中，设 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围. 【题型三】范围与最值3：有角无边型 【讲题型】 例题1.三角形 中，已知 ，其中，角 所对的 边分别为 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围. (abc)(abc) 3ac 例题2.在锐角三角形ABC,若 (I)求角B 3sin AcosA (II)求 的取值范围 【练题型】 1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （Ⅰ）若 ， ，求b （Ⅱ）求 的取值范围． 2.在锐角三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且. （1）求 ； （2）求 的取值范围. 【题型四】最值与范围4：边非对称型 【讲题型】 例题1.在 中， 分别是角 的对边 . （1）求角 的值； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的范围. 【练题型】 在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围． 【题型七】图形1：内切圆与外接圆 【讲题型】 例题1.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，且 ． (1)求角 和边 的大小； (2)求△ 的内切圆半径． 例题2. 中，已知 ， ， 为 上一点， ， . (1)求 的长度； (2)若点 为 外接圆上任意一点，求 的最大值. 【讲技巧】 外接圆： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角 三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 内切圆：等面积构造法求半径【练题型】 1.锐角 的三个内角是 ，满足 ． (1)求角 的大小及角 的取值范围； (2)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围． 2.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的内切圆半径. 【练题型】 1.如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， . (1)求 ； (2)若 ，求 长. 2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6， ， ，点D在边BC上，且∠ADC＝60°． (1)求cosB与△ABC的面积； (2)求线段AD的长． 【题型九】图形3：四边形与多边形 【讲题型】 例题1.如图，在平面四边形ABCD中， ， .(1)若 的面积为 ，求AC； (2)在（1）的条件下，若 ，求 . 例题2.如图，在四边形 中， ． (1)证明： 为直角三角形； (2)若 ，求四边形 面积S的最大值． 【练题型】 1.如图，在平面四边形 中， ， ，且 是边长为 的等边三 角形， 交 于 点． (1)若 ，求 ； (2)若 ，设 ，求 ． 2.如图所示，在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， . (1)当 时，求 ；(2)当五边形 的面积 时，求 的取值范围. 【题型十】三大线1：角平分线应用 【讲题型】 例题1.在 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 (1)求 ； (2)若 为 上的点， 平分角 ，且 ， ，求 . 【讲技巧】 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 【练题型】 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ． (1)求角C； (2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值． 【题型十一】三大线2：中线应用 【讲题型】 例题1.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . (1)求C； (2)若 的面积为 ，D为AC的中点，求BD的最小值. 【讲技巧】 中线的处理方法1.向量法： 2. 双余弦定理法（补角法）： 如图设 ， 在 中，由余弦定理得 ，① 在 中，由余弦定理得 ，② 因为 ，所以 所以①+②式即可 3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4.中线分割的俩三角形面积相等 【练题型】 锐角 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 (1)求角C的大小； (2)若边 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 【题型十一】三大线3：高的应用 【讲题型】 例题1. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ． (1)求 ； (2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积． 【讲技巧】 高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法：【练题型】 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . (1)求 的大小； (2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 【题型十一】证明题 【讲题型】 例题1.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ． (1)若 ，求C； (2)证明： 【练题型】 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ，且 为锐角. (1)求角 的大小； (2)若 ，证明： 是直角三角形. 1．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 . (1)求角B的大小； (2)若 ，D为 边上的一点， ，且 是 的平分线，求 的面积. 2．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）在锐角 中，内角 的对 边分别为 ，且满足： (1)求角 的大小； (2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围． 3．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a， b，c. (1)从下列中选择一个证明： ①证明： ； ②证明： . (2)若 ， ， ，求 面积的最小值．4．（重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题）在 中，角 的 对边分别为 且 . (1)求角C； (2)求 的最大值. 8．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）在 中，内角 的对边分别为 ， ． (1)求 ； (2)如图，在 所在平面上存在点 ，连接 ，若 ， ， ， ，求 的面积． 9．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． (1)判断 的形状； (2)若 ，D在BC边上， ，求 的值．