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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.7二次函数的应用（2）抛物型问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•商河县校级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．水面上升 ，
水面宽度为
A． B． C． D．
2．（2021•新华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间
（单位： 之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 ；
②小球运动的时间为 ；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．
其中正确的是A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
3．（2021•天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间 （单位：
之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程
是 ；③小球的高度 时， 或 ．④小球抛出2秒后的高度是 ．其中正确的有
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
4．（2019秋•武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．若水面再下降
，水面宽度为 ．
A．4.5 B． C． D．
5．（2021秋•南部县校级月考）图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 时，拱顶（拱桥洞的
最高点）离水面 ，水面宽为 ．如果水面宽度为 ，则水面下降A． B． C． D．
6．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 与水平距离
之间的关系如图所示， 为该水流的最高点， ，垂足为 ．已知 ，
则该水流距水平面的最大高度 的长度为
A． B． C． D．
7．（2021秋•瑶海区校级期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母 为抛物线支架的最高点，
点 距灯柱 的水平距离为1.6米，点 距水平地面的距离为2.5米，灯罩 距灯柱 的水平距离为
3.2米，灯柱 米，则灯罩 到水平地面的距离为
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
8．（2021•张家口一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为
一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为 的坡地底部点 处，草坡上距离 的
水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树 ，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列
说法正确的是
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面 之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
9．（2021春•姑苏区校级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的
造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长 的连
桥连接，在该抛物线两侧距连桥 处各有一窗户，两窗户的水平距离为 ，如图2，则此抛物线顶端
到连桥 距离为
A． B． C． D．
10．（2021•射阳县三模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 （单位： 与旋钮的旋转角度（单位：度） 近似满足函数关系 ．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一
壶水的旋钮角度 与燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节
省燃气的旋钮角度约为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，
水珠的竖直高度 （单位： 与它距离喷头的水平距离 （单位： 之间满足函数关系式
，则喷出水珠的最大高度是 ．
12．（2020秋•东海县期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面 为4米，
则当水面下降2米时，水面宽度增加 米．
13．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路
线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的 处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
14．（2020秋•衢州期中）某工人用水枪浇花（如图 ，手柄 长为 ， 长为 ，点 为出
水口，点 到直线 的距离为 （如图 ．完全开启后，水流路线可看成一条抛物线，点 ， 都
在这条抛物线上．当 处于铅垂方向时，水流经过垂直向上的树苗 的顶端点 ，并落在草坪 处
（如图 ， ， 到直线 的距离为 ．点 到草坪 的距离为 ， ， ， 在
一条直线上，则 到草坪 的距离为 ， 的长为 ．
15．（2021秋•杭州月考）如图，图2是图1的拱形大桥的示意图．桥拱与桥面的交点为 ， ，以点
为原点，水平直线 为 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ，
桥拱与桥墩 的交点 恰好在水面上， 轴．若 米，则桥面离水面的高度 为 ．
16．（2021秋•鹿城区校级月考）2021年1月12日世界最大跨度铁路拱桥 贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示．已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度 米，以 为原点， 所在直线为 轴建
立平面直角坐标系，桥面 ，抛物线最高点 离路面距离 米， 米， ， ，
， 三点恰好在同一直线上，则 米．
17．（2020秋•斗门区期末）如图是足球守门员在 处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，
它是一条经过 、 、 三点的抛物线．其中 点离地面1.4米， 点是足球运动过程中的最高点，离
地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点 是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点 距守门员
的水平距离为 米．
18．（2021•瓯海区开学）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物
线状，升降器 和淋浴喷头 所成 ，其中 ， ．刚开始时，
，水流所在的抛物线恰好经过点 ，抛物线落地点 和点 相距 ．为了方便淋浴，淋浴
器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点 的距离增加 ，则小刚应把升降器 向上平移
．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•日喀则市一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度 （单位： 与水平距离 （单位： 之
间的关系为 ，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到 ．
20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心 有一雕塑 ，从 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
且形状相同．如图，以水平方向为 轴，点 为原点建立直角坐标系，点 在 轴上， 轴上的点 ，
为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高 ．
（2）求落水点 ， 之间的距离．
（3）若需要在 上的点 处竖立雕塑 ， ， ， ．问：顶部 是否会碰到
水柱？请通过计算说明．21．（2021秋•南部县校级月考）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，
宽 为 ，以 所在的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系（如图 ， 轴
是抛物线的对称轴，顶点 到坐标原点 的距离为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高 ，宽 ，它能通过该隧道吗？
22．（2021秋•瑞安市校级月考）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 处出手，出手时球离地面约
米，铅球落地点在 处，铅球运行中在运动员前4米处（即 达到最高点，最高点高为3米，已
知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．
（1）求铅球所经过路线的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）铅球的落地点离运动员有多远？
23．（2021秋•安徽月考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，小明站在点 处
罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度 与运行的水平距离 满足关系式 ，
小明罚任意球时防守队员站在小明正前方 处组成人墙，防守队员的身高为 ，对手球门与小明的水
平距离为 ，已知足球球门的宽是 ，高是 ．假定小明罚出的任意球恰好射正对手球门（1）当 时，求 与 的关系式；
（2）当 时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由；
（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，求 的取值范围．
24．（2021秋•长兴县月考）如图 1，地面 上两根等长立柱 ， 之间悬挂一根近似成抛物线
的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离 为3米的位置处用一根立柱 撑起绳子（如图 ，使左边抛物线 的最低
点距 为1米，离地面1.8米，求 的长；
（3）保持（2）中点 的位置不变，将立柱 的长度提升为3米，发现抛物线 和 的形状和大小都一
样，测得抛物线 和 的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线 对应函数的二次项系数．
