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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.7二次函数的应用（2）抛物型问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•商河县校级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．水面上升 ，
水面宽度为
A． B． C． D．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多
少，本题得以解决．
【解答】解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
由已知可得，点 在此抛物线上，则 ，
解得 ，
，
当 时， ，
解得 ，
此时水面的宽度为 ，
故选： ．
2．（2021•新华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间
（单位： 之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 ；
②小球运动的时间为 ；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．
其中正确的是
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再将
代入计算，即可作出判断．
【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为 ，则小球在空中经过的路程一定大于 ，
故①错误；
②由图象可知，小球 时落地，故小球运动的时间为 ，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；④设函数解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
函数解析式为 ，
当 时， ，
④正确．
综上，正确的有②③④．
故选： ．
3．（2021•天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间 （单位：
之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程
是 ；③小球的高度 时， 或 ．④小球抛出2秒后的高度是 ．其中正确的有
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【分析】由图象可知，点 ， ， 在抛物线上，顶点为 ，设函数解析式为
，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【解答】解：由图象可知，点 ， ， 在抛物线上，顶点为 ，
设函数解析式为 ，将 代入得： ，
解得： ，
．
① 顶点为 ，
小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为 ，故②正确；
③令 ，则 ，
解得 ，故③错误；
④令 ，则 ，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选： ．
4．（2019秋•武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．若水面再下降
，水面宽度为 ．
A．4.5 B． C． D．
【分析】以 所在直线为 轴，以过拱顶 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，由待定系
数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于 的一元二次方程，解得 的值，用较大的 值减去较小
的 值即可得出答案．
【解答】解：如图，以 所在直线为 轴，以过拱顶 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知 ， ， ，
设该抛物线的解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ．
抛物线的解析式为 ，
若水面再下降 ，则有 ，
解得： ．
，
水面宽度为 ．
故选： ．
5．（2021秋•南部县校级月考）图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 时，拱顶（拱桥洞的
最高点）离水面 ，水面宽为 ．如果水面宽度为 ，则水面下降
A． B． C． D．【分析】首先假设出抛物线的一般形式为 ，再得出抛物线上一点为 ，求出函数解析式，再把
代入解析式求 的值即可．
【解答】解：由题意可得，设抛物线解析式为： ，且抛物线过 点，
故 ，
解得： ，
抛物线解析式为： ，
当水面宽度为 时，即 时，
，
水面下降 ，
故选： ．
6．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 与水平距离
之间的关系如图所示， 为该水流的最高点， ，垂足为 ．已知 ，
则该水流距水平面的最大高度 的长度为
A． B． C． D．
【分析】设抛物线解析式为 ，将点 、 代入求出 、 的值即可．
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为 ，将点 、 代入，得：
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
所以当 时， ，即 ，
故选： ．
7．（2021秋•瑶海区校级期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母 为抛物线支架的最高点，
点 距灯柱 的水平距离为1.6米，点 距水平地面的距离为2.5米，灯罩 距灯柱 的水平距离为
3.2米，灯柱 米，则灯罩 到水平地面的距离为
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到点 和点 关于点 所在的直线对称，点 为抛物线的顶点，
然后根据二次函数图象具有对称性，即可得到点 到水平地面的距离等于点 到水平地面的距离，从而可
以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
点 为抛物线的最高点，即抛物线的顶点，
点 距灯柱 的水平距离为1.6米，灯罩 距灯柱 的水平距离为3.2米，
点 和点 关于点 所在的直线对称，
灯柱 米，
灯罩 到水平地面的距离为1.5米，
故选： ．8．（2021•张家口一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为
一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1米．当喷射出的水流距
离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为 的坡地底部点 处，草坡上距离 的
水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树 ，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列
说法正确的是
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面 之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【分析】设抛物线的解析式为 ，用待定系数法求得解析式，则可判断 ；当 时，
， ，解方程，即可判断 ；计算当 时的 值，则可判断选项 和 ．
【解答】解：由题意可设抛物线的解析式为 ，
将 ， 分别代入，得： ，解得： ，
，
故 错误；
坡度为 ，直线 的解析式为 ，
当 时， ，
令 ，得 ，
，
解得 ，
错误；
设喷射出的水流与坡面 之间的铅直高度为 米，
则 ，
对称轴为 ，
，故 正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中 时抛物线上的点的纵坐标值等于 时的函数值，
当 时， ，
在图2中，当 时，点 的纵坐标为： ，
则点 的纵坐标为 ，故 错误．
故选： ．
9．（2021春•姑苏区校级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的
造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长 的连
桥连接，在该抛物线两侧距连桥 处各有一窗户，两窗户的水平距离为 ，如图2，则此抛物线顶端
到连桥 距离为A． B． C． D．
【分析】以 所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，用待
定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点 的坐标，从而可得此抛物线顶端 到连桥 距离．
【解答】解：以 所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系：
， ， ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得：
，
解得： ，
，
抛物线顶端 的坐标为 ，此抛物线顶端 到连桥 距离为 ．
故选： ．
10．（2021•射阳县三模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 （单位： 与旋钮的旋转角度
（单位：度） 近似满足函数关系 ．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一
壶水的旋钮角度 与燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节
省燃气的旋钮角度约为
A． B． C． D．
【分析】根据已知三点和近似满足函数关系 可以大致画出函数图像，并判断对称轴位
置在36和54之间即可选择答案．
【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
抛物线对称轴在36和54之间，约为 ，
旋钮的旋转角度 在 和 之间，约为 时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 （单位： 与它距离喷头的水平距离 （单位： 之间满足函数关系式
，则喷出水珠的最大高度是 3 ．
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解： ，
当 时， 有最大值为3，
喷出水珠的最大高度是 ，
故答案为：3．
12．（2020秋•东海县期末）如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面 为4米，
则当水面下降2米时，水面宽度增加 米．
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计
算可得结果．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则抛物线顶点 的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将 点坐标 代入，可得： ，解得： ，
故抛物线的解析式为 ，
当水面下降2米，即当 时，求对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线 与抛物线相交的两点之间的距离，
将 代入抛物线解析式得出： ，
解得： ，
所以水面宽度为 米，
故水面宽度增加了 米，
故答案为： ．
13．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路
线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为
2米时，达到最大高度2米的 处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为 ，由待定系数法求得抛物线的解析式，令，得关于 的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得： ， ，点 为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为 ，
把 代入得：
，
解得 ，
，
令 ，得 ，
解得 ， （舍 ，
小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
14．（2020秋•衢州期中）某工人用水枪浇花（如图 ，手柄 长为 ， 长为 ，点 为出
水口，点 到直线 的距离为 （如图 ．完全开启后，水流路线可看成一条抛物线，点 ， 都
在这条抛物线上．当 处于铅垂方向时，水流经过垂直向上的树苗 的顶端点 ，并落在草坪 处
（如图 ， ， 到直线 的距离为 ．点 到草坪 的距离为 ， ， ， 在一条直线上，则 到草坪 的距离为 14 0 ， 的长为 ．
【分析】建立坐标系，过点 作 轴于点 ，作 轴于一点 ，先在直角三角形 中求出
，在通过 ，求出 ，从而得出点 ， ， 的坐标，再设抛物线的解析式，用待定
系数法求函数解析式，从而求出 的坐标即可．
【解答】解：建立如图所示坐标系，过点 作 轴于点 ，作 轴于一点 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
三角形 是直角三角形，
， ，，
又 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
点 、 、 、 都在抛物线上，设点 为 ，点 ，点 ，设抛物线方程为
，
代入得： ，
，
抛物线解析式为 ，
当 时，又因为 ，得 ，
点 的坐标为 ，
，
，故 ， ．
故答案为：140，20．
15．（2021秋•杭州月考）如图，图2是图1的拱形大桥的示意图．桥拱与桥面的交点为 ， ，以点
为原点，水平直线 为 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ，
桥拱与桥墩 的交点 恰好在水面上， 轴．若 米，则桥面离水面的高度 为 9 米 ．
【分析】根据 知点 的横坐标为 ，据此求出点 的纵坐标即可得出答案．
【解答】解： 轴， 米，
点 的横坐标为 ，
当 时， ，
，
桥面离水面的高度 为9米．
故答案为：9米．
16．（2021秋•鹿城区校级月考）2021年1月12日世界最大跨度铁路拱桥 贵州北盘江特大桥主体成功
合拢．如图2所示．已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度 米，以 为原点， 所在直线为 轴建
立平面直角坐标系，桥面 ，抛物线最高点 离路面距离 米， 米， ， ，
， 三点恰好在同一直线上，则 1 8 米．【分析】先根据题意设出函数解析式，再求出个点坐标，从而求出 ，再根据 ， ，
三点恰好在同一直线上， ，得出 ，把 ， ， ， 代入得出关于 的方程，解
方程求出 的值，再把 代入 即可．
【解答】解：根据题意，设抛物线为 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ， 三点恰好在同一直线上， ，
，
，
则 ．
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
．
故答案为：18．
17．（2020秋•斗门区期末）如图是足球守门员在 处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，
它是一条经过 、 、 三点的抛物线．其中 点离地面1.4米， 点是足球运动过程中的最高点，离
地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点 是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点 距守门员的水平距离为 1 4 米．
【分析】设抛物线的解析式为 ，将点 代入求出 的值即可得解析式，求出
时 的值即可得．
【解答】解：设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得： ，
解得： ，
则抛物线的解析式为 ；
当 时， ，
解得： （舍 ， ，
所以足球第一次落地点 距守门员14米．
故答案为：14．
18．（2021•瓯海区开学）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物
线状，升降器 和淋浴喷头 所成 ，其中 ， ．刚开始时，
，水流所在的抛物线恰好经过点 ，抛物线落地点 和点 相距 ．为了方便淋浴，淋浴
器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点 的距离增加 ，则小刚应把升降器 向上平移
110 ．【分析】过 点作 延长线于点 ，先求出 长，再以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴
正方向，以 为一个单位，建立直角坐标系，得出 、 、 的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，
再把抛物线向上平移 个单位，再把 坐标代入解析式求出 的值．
【解答】解：过 点作 延长线于点 ，
，
，
，
，
，
，
以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，以 为一个单位，建立直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设此时抛物线解析式为：
，得：，
解得： ，
抛物线为： ，
设小刚应把升降器向上平移 ，即将抛物线向上平移 个单位，
则抛物线变为： ，
此时抛物线经过 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
小刚应把升降器向上平移 ．
故答案为：110．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•日喀则市一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度 （单位： 与水平距离 （单位： 之
间的关系为 ，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到 ．【分析】（1）令 代入 即可求出答案．
（2）令 代入 即可求出答案．
（3）令 代入 即可求出答案．
【解答】解：（1）令 代入 ，
．
（2） ，
解得 ， （舍去）
铅球推出的水平距离为10米．
（3）把 代入，得 ，
化简得 ，方程无解，
铅球的行进高度不能达到4米．
20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心 有一雕塑 ，从 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
且形状相同．如图，以水平方向为 轴，点 为原点建立直角坐标系，点 在 轴上， 轴上的点 ，
为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高 ．
（2）求落水点 ， 之间的距离．
（3）若需要在 上的点 处竖立雕塑 ， ， ， ．问：顶部 是否会碰到
水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，进而可得出雕塑高 的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，进而可得出 的长度，由喷出的水柱为抛物
线且形状相同，可得出 的长，结合 即可求出落水点 ， 之间的距离；
（3）代入 求出 值，进而可得出点 在抛物线 上，将 与1.8比较后即可得
出顶部 不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当 时， ，
点 的坐标为 ，
雕塑高 ．
（2）当 时， ，
解得： （舍去）， ，
点 的坐标为 ，
．
从 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
．
（3）当 时， ，
点 在抛物线 上．
又 ，
顶部 不会碰到水柱．
21．（2021秋•南部县校级月考）如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系（如图 ， 轴
是抛物线的对称轴，顶点 到坐标原点 的距离为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高 ，宽 ，它能通过该隧道吗？
【分析】（1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得当 时的 的值然后与4.4比较，即可解答本题．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为： ，
由已知可得，点 的坐标为 在此抛物线上，
，得 ，
即抛物线的解析式为： ；
（2）当 时， ，
，
这辆货运卡车能通过隧道；
由上可得，这辆货运卡车能通过隧道．
22．（2021秋•瑞安市校级月考）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 处出手，出手时球离地面约
米，铅球落地点在 处，铅球运行中在运动员前4米处（即 达到最高点，最高点高为3米，已
知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．
（1）求铅球所经过路线的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）铅球的落地点离运动员有多远？【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，运用待定系数法求出解析式，当 时代入解析式
就可以求出结论；
（2）由（1）中方程的解可以得出结论．
【解答】解：（1） ， ，
顶点 坐标为 ．
抛物线经过点 和
设 ，由题意，得
，
解得： ．
，
当 时， ，
解得： （舍去）， ，
，
铅球所经过路线的函数表达式为 ；
（2）由（1）知， 米，
铅球的落地点离运动员10米．
23．（2021秋•安徽月考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，小明站在点 处
罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度 与运行的水平距离 满足关系式 ，小明罚任意球时防守队员站在小明正前方 处组成人墙，防守队员的身高为 ，对手球门与小明的水
平距离为 ，已知足球球门的宽是 ，高是 ．假定小明罚出的任意球恰好射正对手球门
（1）当 时，求 与 的关系式；
（2）当 时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由；
（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，求 的取值范围．
【分析】（1）当 时， ，根据函数图象过原点，求出 的值即可；
（2）当 时，由（1）中解析式，分别把 和 代入函数解析式求出 的值与2.1和2.43比较即
可；
（3）由抛物线过原点得到 ①，由足球能越过人墙，得 ②，由足球能直接射进球门，
得 ③，然后解①②③不等式即可．
【解答】解：（1）当 时， ，
抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
与 的关系式 ；
（2）当 时，足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由如下：
当 时，由（1）得 ，
当 时， ，
足球能过人墙，当 时， ，
足球能直接射进球门；
（3）由题设知 ，函数图象过点 ，
得 ，即 ①，
由足球能越过人墙，得 ②，
由足球能直接射进球门，得 ③，
由①得 ④，
把④代入②得 ，
解得 ，
把④代入③得 ，
解得 ，
的取值范围是 ．
24．（2021秋•长兴县月考）如图 1，地面 上两根等长立柱 ， 之间悬挂一根近似成抛物线
的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离 为3米的位置处用一根立柱 撑起绳子（如图 ，使左边抛物线 的最低
点距 为1米，离地面1.8米，求 的长；
（3）保持（2）中点 的位置不变，将立柱 的长度提升为3米，发现抛物线 和 的形状和大小都一
样，测得抛物线 和 的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线 对应函数的二次项系数．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线 的解析式，进而得出 时， 的值，进而得出 的长；
（3）根据抛物线 和 的形状和大小都一样设出函数解析式求出两条抛物线的最低点，再根据抛物线
和 的最低点到地面的高度相差0.5米列出方程求出 的值．
【解答】解：（1） ，
抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，
，
绳子最低点离地面的距离为 ；
（2）由（1）可知，对称轴为 ，则 ，
令 得 ，
， ，
由题意可得：抛物线 的顶点坐标为： ，
设 的解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，
抛物线 为： ，
当 时， ，
的长度为2.1米；
（3） ，点 ，
抛物线 和 的形状和大小都一样，设抛物线 的解析式为 ， 的解析式为 ，
抛物线 和 的最低点到地面的高度分别为 和 ，由题意，得 ，
把点 分别代入 和 ，
得 ， ，
，
解得： ．
抛物线 对应函数的二次项系数为 ．
