专题2.7平行线的性质与判定综合问题（重难点培优）-七年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习

2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题2.7平行线的性质与判定综合问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑 色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 一．解答题（共24小题） 1．（2021•武汉模拟）如图，已知 于点 ， 是延长线 上一点，且 于点 ，若 ．求证： 平分 ． 【分析】根据平行线的性质和判定解答即可． 【解答】证明： 于点 ， 于点 ， ， ， ， ， ， 即 平分 ． 2．（2021春•江津区校级月考）如图，已知 ， ． （1） 与 平行吗？试说明理由． （2）若 平分 ， 于点 ， ，试求 的度数．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出 ，进而得出 ，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出 ，即可得出答案． 【解答】（1） 与 平行， 证明： ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2）解： ， ， ， 平分 ， （角平分线定义）， （已证）， 又 ， （垂直定义）， （已证）， （两直线平行，同位角相等）， ． 3．（2021•东西湖区模拟）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， 交 于点 ， 求证 ． 【 分 析 】 根 据 可 得 ， 再 根 据 平 分 ， 平 分 可 得，所以得 ，进而得证 ． 【解答】证明： ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ． 4．（2020秋•商河县校级期末）如图所示，已知 ， 平分 ， ．求 的度 数． 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质求得 ，再由两直线平行，内错角相等求 的 度数为 ． 【解析】如图所示： ， ， ， 又 ， ， 又 平分 ，． 5．（2021春•无锡期末）如图，已知 ，点 在 上，点 、 在 上． 的平分线交 于 ， 为 的延长线上一动点，四边形 的外角 的平分线交 的延长线于 ． （1）当 时，求 的度数； （2）若 ，请直接写出 的度数（用含 的代数式表示）． 【分析】（1）由角平分线的定义得到 ， ，由平行线的性质得到 ， ，等量代换得到 ，根据平行线的性 质得到 ，最后根据三角形内角和即可得解； （2）由（1）的分析得到 ，再利用三角形的内角和即可求解． 【解析】（1） 、 分别是 和 的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2） 、 分别是 和 的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2021春•洪江市期末）如图，已知 ，且 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明； （2）结合（1）和已知条件，利用平行线的判定与性质即可求出结果． 【解答】（1）证明： ， ， ， ，， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2019春•雁塔区校级月考）如图， ， ，则 与 相等吗？说明理由． 【分析】根据题意和平行线的性质，可以得到 与 的关系，从而可以解答本题． 【解析】 与 相等， 理由： ， ， ， ， ， ． 8．（2021春•岱岳区期末）如图，已知 ， ． （1）求 的度数； （2）若 ，问： 吗？请说明理由； （3）若 ，且 ，求 的度数．【分析】（1）根据 ，可得同位角相等即可得 的度数； （2）根据平行线的性质和 ，即可证明 ； （3）根据平行线的性质和 ， ，即可求 的度数． 【解析】（1） ， ； （2） ，理由如下： ， ， ， ； （3） ， ， ． 9．（2019春•西湖区校级月考）根据题意解答： （1）如图 1，点 、 、 、 在同一直线上， 平分 ， ，若 为 度，求 的度数（用关于 的代数式表示），并说明理由． （2）如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示， 地面 ， 地面 ，求 的度数， 并说明理由． （3）如图3，若 ， ， ，则 16 0 度． 【分析】（1）利用平角的意义，角平分线的意义和平行线的性质，可以用平角减去 ，再除以2即可， （2）过点 作 或 的平行线，利用平行线的性质，可求得 的和等于 即可． （3） 的每一顶点，分别作 的一边的平行线，根据两直线平行，内错角相等，再利用等 量代换，可得 ，进而求出答案．【解析】（1） 平分 ， ， ， ， ， 答： 的度数为 ． （2）如图，过点 作 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 答： 的度数为 ． （3）分别以各个角的顶点，作 的长边的平行线， 根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得， ． 故答案为：160． 10．（2021•武汉模拟）如图， ， 分别是 ， 上的点， ， ．求证： ．【分析】由 ，可得 ；等量代换可得 ，根据内错角相等，两直线平行得到 ，由平行线的性质可得结论． 【解答】证明： ， ． ， ． ． ． 11．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直． 已知：如图①， ， 直线 分别交直线 ， 于点 ， ， 、 分别平分 、 ． 求证： ． 证明： （2）如图②， ，点 、 分别在直线 、 上， ， 与 的角平分线相 交于点 ．求证： ． （3）如图③， ，点 、 分别在直线 、 上， ， ， 与 的角平分线相交于点 ， ，求 的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明； （2）延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，结合（1）的方法即可证明；（3）延长 、 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．结合（1）的方法可得 ，再根据角平分线定义即可求出结果． 【解答】（1）已知：如图①， ，直线 分别交直线 ， 于点 ， ， 、 分别平 分 、 ， 求证： ； 证法 ， ， 、 分别平分 、 ， ． ， ． ； 证法2：如图，过点 作 交直线 于点 ． ， ， 、 分别平分 、 ， ． ， ， ． ． ；故答案为：直线 分别交直线 ， 于点 ， ， 、 分别平分 、 ， ； （2）证明：如图，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ， ， ， ， ． 、 分别平分 、 ， ， ， ， ． ． ； （3）解：如图，延长 、 交于点 ，过点 作 交 于点 ． ， ， ， 由（1）证法2可知 ，、 分别平分 、 ， ． 12．（2020秋•盐田区期末）如图，在 的三边上有 ， ， 三点，点 在线段 上， 与 互补， ． （1）若 ，求 的度数； （2）判断 与 的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由 与 互补，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出 ，再利用“两直线 平行，同位角相等”可求出 的度数； （2）由（1）可知 ，结合 可得出 ，再利用“内错角相等，两直线平行” 即可找出 ． 【解析】（1） 与 互补， ， ； （2） ，理由如下： 由（1）可知： ， ， ， ． 13．（2020秋•南岗区期末）已知：直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ，平分 ，并且 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个 角的度数都为 ． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可证明； （2）根据平行线的判定与性质、角平分线定义和邻补角互补即可得结论． 【解答】（1）证明： ， ． 平分 ， 平分 ， ， ． ． ． （2） ， ， ， 度数都为 ．理由如下： ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 同理： ． ， ， ， 度数都为 ． 14．（2021春•涟水县期末）如图， ， ． （1）试说明： ；（2）若 是 的平分线， ，求 的度数． 【分析】（1）直接利用平行线的性质得出 ， ，进而得出答案； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得出答案． 【解析】（1） ， ， ， ， ． （2） 且 ， ， 是 的平分线， ， ， ． 15．（2021 春•饶平县校级期末）如图， ， ， 平分 ， ， ，求 的度数． 【分析】推出 ，根据平行线性质求出 ，求出 ，根据角平分线求出 ，根据平行线的性质推出 ，代入即可． 【解析】 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 平分 ， ， ， ， ． 16．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知 ， 是直线 上的一点， 平分 ，射线 ， ， （1）求 的度数； （2）若 ，求证： ． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解析】（1） ， ， 平分 ， ； （2） ， ， ，， ， ． 17．（2021春•澄城县期末）如图，直线 分别与直线 、 交于点 、 ，且 ． 的 角平分线 交直线 于点 ， 的角平分线 交直线 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的度数． 【分析】（1）求出 ，根据平行线的判定得出 ，求出 ，根据平行线的 判定得出即可； （2）根据平行线的性质得出 ，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：方法一： ， ， ， ， ， 的角平分线 交直线 于点 ， 的角平分线 交直线 于点 ， ， ， ， ； 方法二： ， ， ， ， 的平分线是 ， 的平分线是 ， ， ， ， ；（2）解： ， ， ， ， ， ． 18．（2021•市中区校级开学）如图，已知 ，点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 、 分别平分 和 ，分别交射线 于点 ， ． （1）①当 时， 的度数是 ； ② ， ； （2）当 ，求 的度数（用含 的代数式表示）； （3）当点 运动时， 与 的度数之比是否随点 的运动而发生变化？若不变化，请求出这个 比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点 运动到使 时，请直接写出 的度数． 【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得； （2）由平行线的性质可得 ，根据角平分线的定义知 、 ， 可得 ，即 ； （3）由 得 、 ，根据 平分 知 ，从而可 得 ； （ 4 ） 由 得 ， 当 时 有 ， 得 ， 即 ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 可 得 ，由平行线的性质可得 ，即可得出答案． 【解析】（1）① ， ， ， ；② ， ； 故答案为：130度， ； （2） ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ； （3）不变， ． ， ， ， 平分 ， ， ； （4） ， ， 当 时，则有 ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ，， ， 即 ． 19．（2020秋•淅川县期末）已知：如图，直线 ，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ； 平分 ， ．求 的度数． 【分析】依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到 ， ，再根据角平分线的定义， 即可得出 ． 【解析】 与 交于点 ，（已知）， ．（对顶角相等）， ，（已知）， ．（等量代换）， ， 与 ， 交于点 ， ，（已知）， ．（两直线平行，同旁内角互补）， ． 平分 ，（已知）， ．（角平分线的定义）． 20．（2021 春•饶平县校级期末）已知：如图，点 在直线 上，点 在直线 上， ， ． ①求证： ． ②若 ，求 的值．【分析】①根据已知条件和对顶角相等可得 ，根据同位角相等，两条直线平行即可得 ； ②结合①和 ，根据平行线的性质即可求 的值． 【解析】如图， ①证明： ， ， ， ； ② ， ， ， ， ， ， 答： 的值为 ． 21．（2019春•硚口区期中）（1）如图1， ， ，求证： ． （2）已知 ①如图2，若 ，求证： ；②如图3， 平分 ， 平分 ， 交 于点 ，若 ，求 的度数． 【分析】（1）利用平行线的性质证明即可． （2）如图2中，作 ， ，利用平行线的性质求解即可． （3）如图 3中，延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 ， ，设 ， ．首先证明 ，再根据 求解即可． 【解析】（1）如图1中， ， ， ， ， ． （2）如图2中，作 ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）如图3中，延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 ， ， 设 ， ． 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（2021春•灌云县期末）如图，图①为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时， 篮球架的横梁 平行于 ，主柱 垂直于地面， 与上拉杆 形成的角度为 ，且 ， 这一篮球架可以通过调整 和后拉杆 的位置来调整篮筐的高度，在调整 的高度时，为使 和平行，需要改变 和 的度数，如图②，调整 使其上升到 的位置，此时， 与 平 行， ，并且点 ， ， 在同一直线上，请你帮忙求出 的大小． 【分析】过点 作 ，先求出 的度数，再利用平行线的性质可得答案． 【解析】过点 作 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2021春•镇江期末）如图， ，点 、 分别在直线 、 上，点 在直线 、 之 间 ， 若 ， ．（1） 10 0 ； （2）如图2，点 、 是 、 角平分线上的两点，且 ，求 的度数； （3）如图 3，点 是平面上的一点，连结 、 ， 是射线 上的一点，若 ， ，且 ，求 的值． 【分析】（1）过 作 ，由 ，得 ， ， 即 ，故 ； （ 2 ） 过 作 ， 过 作 ， 由 ， 得 ， ， ，而 平分 ， 平分 ， ， ， 即 得 ， ， 根 据 ，得 ，即得 ； （3）设 交 于 ，由 ，得 ，故 ，同理 ， ， 得 ， 从 而 ， 又 ，得 ，即得 ． 【解析】（1）过 作 ，如图： ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：100． （2）过 作 ，过 作 ，如图： ， ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）设 交 于 ，如图： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得 ． 24．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例 如：在图①、图③中，都有 ， ．设镜子 与 的夹角 ． （1）如图①，若 ，判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若 ，设镜子 与 的夹角 ，入射光线 与镜面 的 夹角 ，已知入射光线 从镜面 开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线 平行，请用含有 的代数式直接表示 的度数； （3）如图③，若 ， ，入射光线 与反射光线 的夹角 ．若 为 锐角三角形，请求出 的取值范围． 【分析】（1）在 中， ， ，可得 ，根据入射光线、反射光线 与镜面所夹的角对应相等可得， ，进而可得 ； （2）根据题意以及第（1）题的思路，直接可写出含有 的代数式直接表示 的度数； （3）在 中， ，可得 ，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的 角对应相等可得， ，求出 与 的数量关系，在 中， ， ，可得出 的取值范围．【解析】（1） ，理由如下： 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ； （3）在 中， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 在 中， ， ， 为锐角三角形， ， ， ， ．