文档内容
专题 3-3 三角函数与解三角形综合大题 21 种类型
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................5
【题型一】“化一法”................................................................................................................................................5
【题型二】恒成立求参型...........................................................................................................................................7
【题型三】利用对称性求三角函数零点...............................................................................................................9
【题型四】恒等变形..................................................................................................................................................11
【题型五】三角函数图像与解析式综合.............................................................................................................13
【题型六】正弦定理化简求角...............................................................................................................................16
【题型七】余弦定理+均值求角范围....................................................................................................................17
【题型八】求周长最值型.........................................................................................................................................19
【题型九】求面积最值型.........................................................................................................................................21
【题型十】四边形最值型.........................................................................................................................................22
【题型十一】中线型最值.........................................................................................................................................24
【题型十二】角平分线型最值...............................................................................................................................26
【题型十三】与高有关的最值型...........................................................................................................................28
【题型十四】外接圆型.............................................................................................................................................30
【题型十五】有角无边型最值...............................................................................................................................32
【题型十六】边系数不对称型最值......................................................................................................................34
【题型十七】角非对边型最值...............................................................................................................................35
【题型十八】判断三角形形状...............................................................................................................................37
【题型十九】三角形几解的问题...........................................................................................................................38
【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明...................................................................................................40
【题型二十一】解三角形模型应用......................................................................................................................41
专题训练.........................................................................................................................................................................43
讲高考
1．（2022·天津·统考高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得
，解得： ．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，
所以 ．（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而
，所以 ，
故 ．
2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定
理及平方关系求得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又
，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，
则 ， .
3．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的
周长.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
4．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得
，再根据正弦定理，余弦定理
化简即可证出．
【详解】（1）由 ， 可得，
，而 ，所以 ，即有 ，
而 ，显然 ，所以， ，而 ， ，
所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
5．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式 求出面积．
【详解】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
6．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即
可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
7．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成
，再结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化
成 ，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
题型全归纳
【题型一】“化一法”
【讲题型】
例题.已知函数 ．
(1)求函数 的对称中心及最小正周期；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)函数 的对称中心为 ， ，函数 的最小正周期为 ；(2).
【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数 的解析式，结合正弦函数性质求函数
的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得 ，结合两角差正弦函数，二
倍角公式，同角关系化简可求 .
【详解】（1）
，
， ，
令 ， ，可得 ， ，又 ，
所以函数 的对称中心为 ， ，函数 的最小正周期 ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以
，
因为 ，所以 ，故 ，所以
，
所以 或 ，又 ，故 .
【讲技巧】
化一法，即通过二倍角、降幂公式，两角和与差公式，化简为辅助角形式，再利用辅助
角化为正余弦单一函数形式，再借助函数性质求解计算。
【练题型】
已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴方程；
(2) 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求 ， 的值.
【答案】(1)最小正周期为 ，对称轴方程为 ，
(2) ， 或 ，【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求
得最小正周期和对称轴方程；
（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对 和 两种情况进行讨论即可.
【详解】（1）
∴ ，则 的最小正周期为 ，∵ 的对称轴为直线
， ，
∴由 ， ，解得 ， ，∴ 的对称轴方程为 ，
.
（2） ，∵ ，∴ ，∴
，∴ ，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，∴由 ，解得
，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，∴由 ，解得
，
综上所述， ， 或 ， .
【题型二】恒成立求参型
【讲题型】
例题.已知函数 ，其中向量 ，
．
(1)求 的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) ，对称中心为 ，单调减区间是
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得 ，再利用正弦函数
的性质即可求解；
(2)由题意可得： 在 上恒成立，求出 的最值，转化为
，解之即可.
【详解】（1）
令 ，对称中心
又令 ，所以单调减区间是
（2） 不等式 在 上恒成立，
，即 在 上恒成立，
，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 ，
即 ，得 ，即实数m的取值范围是
【讲技巧】
恒成立两个基础结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【练题型】
已知函数 的一个零点为 ．
(1)求A和函数 的最小正周期；(2)当 时，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）解方程 即可求 ，然后把函数 降幂，辅助角公式后再求周期.
（2）若 恒成立，即求 .
【详解】（1） 的一个零点为
，即 ，
所以函数 的最小正周期为 .
（2） 当 时有最大值，即 .
若 恒成立，即 ,
所以 ，故 的取值范围为 .
【题型三】利用对称性求三角函数零点
【讲题型】
例题.已知 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，求
的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数 ，
再利用导数求函数的值域；
（2）首先由方程得 ，再利用三角函数的对称性，得
是等差数列，再求和.
【详解】（1） 令
，
则 ， ， ，得 ，
当 ， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增。
所以 ，所以 ， 的值域是
（2）由已知得 ，
解得 或 （舍去），
由 得函数 图象在区间
且确保 成立的，
对称轴为 在 内有11个根，
数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列．
所以 .
【讲技巧】
三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。
1. 与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点
2. 与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心
【练题型】
已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间 上恰有 个零点 ，
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求 的值.
【答案】(1) (2)（i） ；（ii） .
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到 ；
根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；
（2）（i）令 ，将问题转化为 与 在 上恰有 个不同的交点，
利用数形结合的方式即可求得 的取值范围；
（ii）由（i）中图像可确定 ， ，由此可得 ，整理可得
，由两角和差正弦公式可求得 的值，即为所求结果.
【详解】（1）；
令 ，解得： ，
的单调递增区间为 .
（2）（i）由（1）得： ，
当 时， ，
设 ，则 在区间 上恰有 个零点等价于 与 在 上
恰有 个不同的交点；
作出 在 上的图像如下图所示，
由图像可知：当 时， 与 恰有 个不同的交点，
实数 的取值范围为 ；
（ii）设 与 的 个不同的交点分别为 ，
则 ， ， ，
即 ，
整理可得： ， ，
.
【题型四】恒等变形
【讲题型】
例题.已知 、 是方程 的两个实数根.
(1)求实数 的值；(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；
（2）根据同角关系式化简即得；
（3）由题可得 ，然后利用二倍角公式即得.
【详解】（1）因为 、 是方程 的两个实数根，
由韦达定理得 ，由 ，则
，所以 ；
（2） ；
（3）（3）因为 ，所以 ，所以
，
因为 ，所以 ， ， ，所以
.
【讲技巧】
(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝；②降次数：公式cos2α＝，sin2α＝；
(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ
关系的变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan；
(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)
－β，β＝－等
【练题型】
已知 ．
(1)求证： ；
(2)若已知 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式展开，整理变形即可得证；(2)根据角的取值范围和同角三角函数的关系，先求出 ，
然后再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）∵ ，
，
∴ ①， ②，
②-①得 ，则 ．
（2）∵ ，
∴ ，则 ．
【题型五】三角函数图像与解析式综合
【讲题型】
例题.已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横
坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，方程
恰有三个不相等的实数根， ，求实数a的取值范围以及
的值.
【答案】(1) (2) ，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出 ，得到最小正周期，求
出 ，再代入特殊点的坐标，求出 ，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到 ，令 ，换
元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到 ，再根据对称性得到，相加后得到 ，求出
答案.
【详解】（1）由图示得： ，解得： ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2） 图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到
，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
，
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
且 ，
,
所以 时，.当 时，方程 恰有三个不相等的实数根.
因为 有三个不同的实数根 ，
且 关于 对称， 关于 对称，则 ，
两式相加得： ，
即 ，所以 .
【讲技巧】
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质
(1)图像变换：
①相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；
②周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸
长)为原来的||倍；
③振幅变换： y＝sin (ωx＋φ) →y＝Asin(ωx＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩
小(伸长)为原来的|A|倍；注意：y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平
移||个单位；
(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向
外 ③单调性：同增异减
(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|
Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.
(3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用
整体代入求解．
①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐
标；
正弦“第一零点”： ；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”： ；余弦“第二零点”：
【练题型】
已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐
标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．当 时，方程
恰有三个不相等的实数根 ，求实数a的取值范围和
的值．
【答案】(1) (2) ，
【分析】(1) 根据图示，即可确定A和 的值，再由周期确定 ，最后将点 带入
；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出 ，再根据 的取值范围求出 的取值范围.即可根据
的对称性求出 与 的值.即可求出答案.
（1）
解：由图示得： ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，所以
；
（2）
解：由已知得 ，
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，则
， ， ，
，
所以 ，
因为 有三个不同的实数根 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ．
【题型六】正弦定理化简求角
【讲题型】
例题.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理结合弦化切化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角
的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出 的值，利用两角和的正弦公式可求得 的
值，利用正弦定理求出 的值，然后利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）解：由正弦定理可得 ，
，
∴ ．
∵ ， ，∴ ， ， ，
又 ，∴ ．（2）解：∵ ， ， ，
又 ， ．
由正弦定理可得 ，即 ，
．
【讲技巧】
在处理三角形中的边角关系时，一般将边角混合的式子全部化为角的关系式或全部化为
边的关系式．式子中若出现边的一次式，一般采用正弦定理，若出现边的二次式，一般
采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意
角的限制范围．
【练题型】
在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)△求A；
(2)若 ABC的面积为 ， ，求a．
△
【答案】(1) (2)
【分析】（1）化简得到 ，根据正弦定理得到 ，得到
答案.
（2）根据面积公式得到 ，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1） ，
所以 ，故 ．
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ，
故 ，
， ，所以 ，即 ， ，故 ．
（2） ，所以 ．
由余弦定理可得 ，
所以
【题型七】余弦定理+均值求角范围
【讲题型】
例题.已知 的内角 所对的边分别为 ， .
(1)求角 的最大值；(2)若 的面积为 ， ，且 ，求b和c的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角恒等变换，结合正弦定理边角互化得 ，再根据余弦定理
与基本不等式得 ，进而得答案；
（2）根据面积公式，余弦定理，并结合（1）求解得 ，再解方程即可得答案.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又因为 ，所以
，
所以 ，所以，由正弦定理得 .所以
，当且仅当 时等号成立，因为 ，所以
，
所以，角 的最大值为 .
（2）解：由（1）得 ，①
由余弦定理得 ，②
因为 的面积 ，所以 ，③
得 ，整理得 ，④
因为 ，
所以由①④解得 .
【讲技巧】
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范
围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角
形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
【练题型】
记锐角 的内角为 ，已知 .
(1)求角 的最大值；
(2)当角 取得最大值时，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求
的范围，再由余弦函数的性质求角 的最大值；
（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关
于角 的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，又 ，所以 ，所以角 的最大值为
；
（2）因为 ，
所以
，因为 为锐角三角形，
所以 ,所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
【题型八】求周长最值型
【讲题型】
例题.．在① ；② ；③设△ABC的面积为S，且
．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ， ，求钝角△ABC的周长的取值范围．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）选①利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式后可求解，
选②切化弦后再由两角和的正弦公式求解即可，选③由三角形的面积公式及余弦定理化简
即可得解；
（2）由正弦定理以及三角恒等变换得出 ，再由正弦型函数的性质求
解即可.
【详解】（1）选①，利用正弦定理化简得 ，
整理得 ，
即 ，
．
选②， ，， .
或 ．
选③， ，
，根据余弦定理可得 ，．
．
（2） ， . ，
，
的周长
. 钝角△ABC为钝角三角形，设 为钝
角.
则 ，又 ， . ， .
. 的周长的取值范围是
【讲技巧】
解三角形：最值范围
1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求
解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
【练题型】
已知 ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 .
(1)求△B的大小；
(2)若 ABC为钝角三角形，且 ，求 ABC的周长的取值范围.
【答案△】(1) (2) △
【分析】（1）根据正余弦定理，将条件变形，求角 的大小；
（2）根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围.【详解】（1）根据余弦定理可知， ，
所以 ，即 ，
则 , ，所以 ；
（2）设 ，根据正弦定理可知 ，
所以 , ，所以周长
,
因为 , ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 .
【题型九】求面积最值型
【讲题型】
例题.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)若 ，求角 的值；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 ，根据余弦定理和正弦定理可得 ，
结合三角恒定变化即可求解；
（2）利用圆的周长公式可得 外接圆的半径为 ，再根据余弦定理和均值不等式求得
的范围，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以由余弦定理得 ，解得 ，
所以由正弦定理可得 ，
由 ，得 ，即 ，
又因为 ， ，且 ，所以 ，解得
．
由 知， 不是最大边，故 ．
（2）因为 外接圆的周长为 ，所以 外接圆的半径 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，由正弦定理可得 ，所以 ，所以 的面积
．
因为 ，所以 ，所以 ．
【练题型】
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)若 ， 的面积为 ，求 的值；
(2)若 为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记 与 的面积分别
为 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到
，从而解得 ，再根据 ，利用正弦定理得到 ，
再根据 的面积为 ，得到 ，然后利用余弦定理求解；
（2）利用三角形面积公式结合BD为角B的角平分线，得到 ，然
后利用 为锐角三角形求解.
【详解】（1）解：在 中， ，
所以 ，A+B+C=π，
而 ，所以 ，因为 ，
所以 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 的面积为 ，所以 ，则 ，由余弦定理得
，
所以 ，所以 ；
（2）由题意知： ， ，
因为BD为角B的角平分线，所以 ，
所以 ，因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，所以.
【题型十】四边形最值型
【讲题型】
例题.如图所示，在平面四边形 中， ，设
.
(1)若 ，求 的长；
(2)当 为何值时，△ 的面积取得最大值，并求出该最大值.
【答案】(1) (2) ，面积最大值为
【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理即可；(2) 利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为
三角函数求最大值.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得，
所以
在 ,由正弦定理得， 所以
（2）由第(1)问知，在 中， 所以 ，所以
,
在 ,由正弦定理得， 所以 因为
所以
因为 所以 所以当 即 时，
此时△ 的面积取得最大值为 .
【讲技巧】
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个
三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系
【练题型】
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点（ 、 在直线 两侧）， ， ，求四边形
面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理得到 ，再由 为等腰直角三角形可得
，又 ，即可得到 ，再由
正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，故 ，∴ ，即 ，又∵ ，∴ ．
（2）解：在 中， ， ，∴ ，
又 ，由（1）可知 ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，又∵ ．
∴ ，
∴当 时，四边形 的面积有最大值，最大值为 ．
【题型十一】中线型最值
【讲题型】
例题.．已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且
，求：
(1)求角A的大小；
(2)求 边中线 长的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；
（2）由平面向量可知 ，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.
【详解】（1） ，由余弦定理可得 ，即
，
由正弦定理可得 ， ， .
，即 ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ， 的面积为 ，所以 ，解得 .
由平面向量可知 ，所以
，
当且仅当 时取等号，故 边中线 的最小值为 .
【讲技巧】
三角形中线的处理方法（如图）：
1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【练题型】
已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角 的大小；
(2)求 边中线 长的最小值.
条件①： ;
条件②： .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；
（2）由面积公式可得 ，利用向量可得 ，结合均值不等式即可求
解.
【详解】（1）选条件①： ,
因为 中 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 ， ，又
,所以 .
选条件②：
由余弦定理可得 即 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ,所以 .
（2）由（1）知， 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由平面向量可知 ，所以
，当且仅当 时取
等号，
故 边中线 的最小值为 .
【题型十二】角平分线型最值
【讲题型】
例题.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到 ， ，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 可得： ，
由余弦定理知， ，又 因此 .
（2）在 中，由 ，得 ，在 中，由 ，可得
，
所以 ；在 中，由 ，得
，
解得 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，因此 的最小值为 .
【讲技巧】
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【练题型】
已知 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求内角A的角平分线 长的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到 ，进而求出 ；
（2）由面积公式求出 ，由正弦定理得到 ，不妨设 ， ，
得到 .延长 至点 , 使得 , 连接 ，构造相似三角形，在 中，由
余弦定理得到 ，由基本不等式求出 ，得到角平分线 长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，因为 ，所以 ，所以
；
（2）由（1）知 ，因为 的面积为 ，所以 ，解得
，
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中，由正弦定理，得 ，因为AD为角A的角平分线，所以
，
又 ，所以 ，所以 ，不妨设
， ，则 ，故 ，延长 至点E，使得 ，连接
，则 ，又 ，所以 ，故 ， ，则 ， ，
则 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，即
，
因为 ，所以 ，其中 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 ，故
所以 长的最大值为 .
【题型十三】与高有关的最值型
【讲题型】
例题.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 边上的高，求 的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将 两边同乘 ，再由正弦定理将边化角，最后由两
角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可求出面积的最大值，再根据
求出 的最大值.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 .（2）解：因为 ， ，由余弦定理 ，即 ，
所以 当且仅当 时取等号，
所以 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，所以 ，
故 的最大值为 .
【讲技巧】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
5.三角形内心：
【练题型】
在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 且
.
(1)若 ，求 ；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
【答案】(1) (2) .【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦定理可得 ，再由正弦定理求
即可；
（2）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的性质求最大值即可得解.
【详解】（1）由 可得：
，
即： .即 ，又 ，∴ ，
由正弦定理得： .
（2）由题意，
，∵
，
∴ 时， 取得最大值 .
【题型十四】外接圆型
【讲题型】
例题.已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到 ，再由正弦定理将边化
角，即可求出 ，从而得解；
（2）利用正弦定理得到 ， ，即可得到 ，由三
角形为锐角三角形得到 的取值范围，即可得到 的取值范围，再根据对勾函数的性质
计算可得.
【详解】（1）解：因为 ，可得
，
则 ，
所以 ，
即 ，由正弦定理得 ，
显然 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .（2）解：因为 ，即 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 为锐角三角形且 ，所以 ，所以 ，
即 ，令 ， ，
根据对勾函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， ，以 ，即 ，所以
，
即 的取值范围为 .
【讲技巧】
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角
三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
【练题型】
在 中，角 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 外接圆的半径为 ，点D为 边的中点，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）对式子先用倍角公式和半角公式换为关于角 的等式，再将 提出
后，括号内的用两角和的正弦公式，最后用三角形中角之间的关系及诱导公式进行化简求
值即可；
（2）根据（1）的结论和正弦定理即可得 ，根据D为 边的中点，可得三角形中长度
关系，根据 ，即 在两个小三角形中分别用余弦
定理建立等式即可解得 .
【详解】（1）解：因为 ，
即 ，即 ，即 ，因为 ，所以 ，且 ，
所以等式可化为 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ；
（2）解：由（1）知 ，因为 外接圆的半径为 ，所以 中，由正弦定理知：
，
即 ，解得 ，因为点D为 边的中点，所以 ，因为
，
所以 ，在 分别由余弦定理可得：
，代入
中可得：
，即 ，
即 ，即 ，故 ，得证.
【题型十五】有角无边型最值
【讲题型】
例题.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【分析】（1）运用余弦定理得 ，再运用正弦定理边化角化简计算即可.
（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得 范围，运用边化角将问题转化
为求关于 的二次函数在区间上的值域.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴由余弦定理得： ，即： ，
由正弦定理得： ，
∴ ，
整理得： ，即： ，
又∵ ，
∴ ，即： .
（2）∵ ，
∴ ，又∵ ，
， ，
∴由正弦定理得：
，
又∵ ，∴ ，令 ，则
， ，
∵ 对称轴为 ，∴ 在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，∴ ，即：
的范围为 .
【讲技巧】
有角无边型
1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。
2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式
范围求解。
3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化
【练题型】
已知在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的三边，若
(1)求∠C的大小；
(2)求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角
函数的性质及基本不等式即可得出答案；
（2）直接利用（1）中的结论即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，取等号，，当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，所以 .
【题型十六】边系数不对称型最值
【讲题型】
例题
在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,向量 ,
,且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ,求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式,得到 中边和角之间的等式关系,根据正弦定
理将角化为边,解得边之间关系,再根据余弦定理即可求得角 ;
（2）由于 为锐角三角形,画出图形找到临界条件,再根据 ,求出边与边之间的不
等式关系,根据 可得 ,将等式代入不等式中,即可得边长的范围,将 代
入 中,构造新函数求导求单调性,求出范围即可.
【详解】（1）解:由题知 , , ,
所以有: ①,
在 中,由正弦定理可得: ,代入①中有: ,
展开移项后可得: ,即 ,
因为 是 的三边,所以上式可化为: ,
在 中,由余弦定理可得: ,因为 ,所以 ;
（2）在 中,过点 向 作垂线,垂足为 ,
过点 作 的垂线,交 延长线于点 ,如图所示:
因为 为锐角三角形,所以点 在线段 上（不含端
点）,即 ,
由（1）可得 ,且 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,由 ,所以 ,解得: ,所以 ,
令 , ,由对勾函数的性质可得 在 上单调递减,
故 ,即 .
【练题型】
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内
角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；
（2）利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据（1）的结论得出角 的范
围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ，
则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，由正弦定理得 ，
又 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，即 的取值范围为 ．
【题型十七】角非对边型最值
【讲题型】
例题.在锐角 中，角A， ， 所对的边分别为 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同
角关系可得 角；
（2）由（1）及已知得 角范围，利用正弦定理把 表示为 的三角函数，从而得出 的范
围，再由三角形面积公式得面积范围．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，由 得 ．
（2）因为 ，
由正弦定理得 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 的面积 ．
即 面积的取值范围为 ．
【练题型】
在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理求出 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而得到
，求出 ，得到 ，
，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1） ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，因为 ，所以 ；
（2）锐角 中， ， ，由正弦定理得： ，
故 ，
则 ，
因为锐角 中， ，则 ， ，解得： ，故 ， ，
则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
【题型十八】判断三角形形状
【讲题型】
例题.在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．
(1)求角C的值；
(2)若 的面积 ，试判断 的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) (2)钝角三角形
【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到
，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；
方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到
，再利用两角和的正弦公式即可求解；
方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出 ，
然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；
(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得 ，然后代入即可求解.
【详解】（1）方案一：选条选①．
由 ，得 ，
得 ，即 ．
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ．
方案二：选条件②．
由 ，得 ，
即 ，
于是 ，
因此 ，∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ，∴ ，故 ．
方案三：选条件③．
由正弦定理，得 ，
即 ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ．（2）在 中， ，由余弦定理得 ，
又 ，∴ ，
整理得 ，得 ，此时 ，
∴ ，∴B为钝角，故 是钝角三角形．
【讲技巧】
判断三角形形状的方法：
（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之
间的关系，进行判断；
（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及
诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种
情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
【练题型】
已知 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 ．
(1)若 ，求A的大小；
(2)当 取得最大值时，试判断 的形状．
【答案】(1) (2) 为直角三角形
【分析】（1）根据题意利用正弦定理、余弦定理进行边化角结合三角恒等变换化简整理可
得 ，运算求解即可得结果；
（2）根据题意结合 化简整理得 ，再利用基本不等
式运算求解.
【详解】（1）∵ ，即 ，则 ，可得
，
故 ，则 ，
∴ ，当 时，则 ，又∵ ，∴ ．
（2）由（1）知， ，∴ ，
，
当且仅当 ，即当 ， 时，等号成立，∴ 的最大值为
，
又∵ ，则 的最大值为 ，此时 ，∴ ．
∴ 为直角三角形．
【题型十九】三角形几解的问题【讲题型】
例题.已知 三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且 .
(1)求角A的值；
(2)在解三角形问题中，若 ，且 有两解，求边a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）因为 ，由正弦定理将边化成角，利用和差公式即
可化为 ，结合辅助角公式即可求解；
（2）利用余弦定理化为关于 的一元二次方程，结合方程根的分布列不等式求解即可．
(1)因为 ，由正弦定理得
，
又 即 ，
因为sinC≠0，得 ，
所以 .所以 或 （舍去），故 ．
(2)由（1）和余弦定理得 ，又 ，所以 ，
即 ，要使 有两解，则方程 有两个正实数根，
即 ，即 .
【练题型】
在 中，角 所对应的边分别为 ， ， 时，
（1）若 ，求
（2）记
（i）当 为何值时，使得 有解；（写出满足条件的所有 的值）
（ii）当 为何值时， 为直角三角形
（iii）直接写出一个满足条件的 值，使得 有两解
【答案】（1） ；（2）（i） ；（ii） 或 ；（iii） （答案不
唯一）
【分析】（1）在 中，由余弦定理即可求解；
（2）（i）利用正弦定理将 表示成关于角 的三角函数求值域即可求解；（ii）分
和 结合锐角三角函数即可求解；（iii） 中， 、 两点固定，点 运动，数形
结合即可求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得： ，
即 ，所以 ，解得： 或 （舍）
（2）（i）由正弦定理可得记 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以当 时，使得 有解，
（ii）若 ，则 ，所以 ，若 ，则
，所以 ，所以 或 时， 为直角三
角形，
（iii）
如图：当点 在线段 线段 (不含端点)时，
即 或 时， 有两解，所以 ，
所以 所以可以取 满足条件.
【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明
【讲题型】
例题.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得 的最小值.
（2）结合正弦定理、基本不等式求得 ，进而证得 .
【详解】（1）由余弦定理， ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
（2）方法一：
当 时， ．
当 时，设线段 的中垂线交 于点D．
．在 中，由正弦定理， ．
，当且仅当 时等号成立.故
，
由（1） ．故 ．则 ．
方法二：
由正弦定理， ．
由二倍角公式， ．
而 ，
故 ，
当且仅当 时第一个等号成立.
由（1） ，故 ．则 ．
【练题型】
已知 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， ，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）采用三角换元法可将 化为 ，由正弦型函数值域可求得结
果；
（2）利用基本不等式可求得 ，由此可整理证得结果.
【详解】（1） ， 可设 ， ， ，
（其中 ， ），，即 的取值范围为 ；
（2） ， ， ， ，（当且仅当
， 时取等号），
，即 ， .
【题型二十一】解三角形模型应用
【讲题型】
例题.如图，经过村庄A有两条夹角为 的公路 ， ，根据规划，在两条公路之间的
区域内建一工厂 ，分别在两条公路边上建两个仓库 ， （异于村庄 ），要求
（单位： ）.
(1)当 时，求线段 的长度；
(2)设 ，当 取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距
离最远）
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）在 中求得 ，然后在 中由勾股定理求得 ；
（2）在 中由正弦定理求得 ，然后在 中由余弦定理求得 ，再利用三角
函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值．
【详解】（1） ， ，则 ，又 ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（2） ，则 ，
由正弦定理 得 ，
由余弦定理得，
由三角形知 ， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影
响最小．
【练题型】
2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，
全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧
仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五
边形 所示，线段 处修建步行道， 为等腰三角形，且 ，
， ， .
(1)求步行道BE的长度；
(2)若沿海的 区域为绿化带， ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周
长与面积.
【答案】(1) (2) ，
【分析】(1)由正弦定理及勾股定理可求解;
(2)由余弦定理、基本不等式及三角形面积公式可求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理知 ，∴ ，解得
.
∵ ， ，∴ ，
∴ .∵ 为等腰三角形，
∴ ， ，即步行道 的长度为 .
（2）在 中，由余弦定理知 ，
∴ ，
∴ ，即 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，即 的最大值为
.
∵ 的周长为 ，
∴绿化带的周长最大为 ，
此时绿化带的面积 .
1.已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得 ，由余弦定理
即可求解，
（2）根据垂直关系可得 ，进而在 中利用余弦定理，结合不等式即可求
解最大值.
【详解】（1）由题可得，
结合正弦定理可得 ，即 ，
∴ ，又 ，∴ .
（2）设边 ， 上的高分别为 ， 则 为 与 的交点，
则在四边形 中， ，
∵ ，∴ ，故 ，
在 中， ， ，
则 ，即 ，
当且仅当 时取等号.∴ ，故 面积的最大值为 .2．从① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题
目．
已知 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先利用正弦定理或余弦定理将已知条件化简、转化，得到关于角B的三角函
数，然后结合三角形内角的范围即可求得角B的大小；
（2）解法一：先利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、三角恒等变换等将
用角A的二角函数表示出来，再利用辅助角公式将 化简为一角一函数的形式，最后
利用正弦函数的性质求最大值，解法二：利用余弦定理，设 进行代换，结合二次
方程根的分布运算求解．
【详解】（1）方案一：选条件①，由 ，得
，
则由余弦定理得： ．
由正弦定理得： ，
则 ．
因为 ，则 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
方案二：选条件②，∵ ，
正弦定理得： ，整理得 ，
则由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
方案三：选条件③．∵ ，
由正弦定理得 ．
因为 ，则 ，所以 ，即 ．
因为 ，则 ，
所以 ，即 ．
（2）解法一：由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以
，
其中 为锐角，且 ．
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ．
解法二：由余弦定理得 ，即 ，
设 ，则 ，
将 代入 中，整理得 ，
由题意可知，此方程有正根，
注意到 的对称轴 ，
则 ，所以 ，
故 的最大值为 ．
3．某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点
分别在草坪三角形的三条边上．
(1)第一块草坪的三条边 米， 米， 米，若 ，
（如图）， 区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．
(2)第二块草坪的三条边 米， 米， 米，M为PQ中点，
（如图）， 区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．【答案】(1) 平方米(2)450平方米
【分析】（1）利用余弦定理求得 ，进而在直角三角形中计算求解；
（2）设 ，则 ，利用正弦定理求得 ，进而得到
，然后利用三角函数恒等变换和三角函数的性质求得最小值.
【详解】（1）∵ ，∴ 米， 米．
在 中： ， ，
在 中： ，
所以 平方米．
（2）在 中： ，
设 ，则 ，
在 中： ， ．
所以 ，
所以 ，
其中
，当 时取等号，
所以 ，即当 时，紫罗兰种植面积取得最小值450平方米．
4．已知函数 在 上单调．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，求 ABC周长的
△ △最大值．
【答案】(1) (2)9
【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得 ，再根据
在 上单调，可得 ，从而可求得 ，再根据正弦函数的单调性即可
得解；
（2）先根据 求出 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得 的最大值，即可
得解.
【详解】（1）由题意可得 ，
因为 在 上单调，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，
解得 ，
即 的单调递增区间是 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得 ，
则 ，即△ABC周长的最大值为9．
5．记 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及余弦定理求解；
(2)利用基本不等式和面积公式求解.
【详解】（1）由 ，
得 ，
由正弦定理，得 .
由余弦定理，得 .
又 ，所以 .
（2）由余弦定理 ， ，
所以 ，
∵ ，∴ ，
所以 ，当且仅当 时取“ ”.
所以三角形的面积 .
所以三角形面积的最大值为 .
6．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， 依次组成等差
数列.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根据 ， ， 成等差数列结合三角恒等变换可得
，由正弦定理即可求得 的值；
（2）由（1）得 ，根据锐角三角形结合余弦定理可得 的取值范围，将 转
化为 ，令 ，设 根据函数单调性确定函
数取值范围，即得 的取值范围.
【详解】（1）由条件得：
，所以 ，
由正弦定理得： ，所以 .
（2） 及 ，则 ，角 一定为锐角，又 为锐角三角形，所以
由余弦定理得： ，所以
，
即 ，解得： ，
又 ，所以 .
又 ，
令 ，则 ，
，
所以 在 上递增，又 ， ，
所以 的取值范围是 .
7．在 ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且 .
(1)求B△；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）方法一： ，
所以 ，
所以
.
方法二：在 中，由正弦定理得： ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 .
（2）方法一: ，
当且仅当 时取 ，
，
.
方法二:
在 中，由余弦定理得：
当且仅当 取“=”）
所以 ,
所以 的面积 .
.
8．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 的值：
(2)求 的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；
（2）由余弦定理表示出 ，借助条件消去边 ，利用基本不等式求出 的范围，进
而求出 的最大值．
【详解】（1）由余弦定理可得 ，
代入 ，得到 ，化简得 ，
即 .由正弦定理可得 ，
即 ，展开得 ，
即 ，所以 ．
（2）由 得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
因为 ，所以 ，所以 的最大值为 .
9．已知 的内角 的对边分别为 ， 为钝角．若 的面积为 ，且
．(1)证明： ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得 ，再利用诱导公式及三
角函数的性质可证明结论；
（2）利用（1）的结论及三角公式，将 转化为关于 的二次函数，然后配
方可以求最值.
【详解】（1）由余弦定理 得 ，
，
，
，
为钝角，则 均为锐角，
，即 ；
（2） ，
令 ， 为钝角，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值，且为 .
10．在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，且角 有两解，求 的范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角 的大小；若选②，利用正
弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入
化简即可得出答案.
（2）将 代入正弦定理可得 ，要使角 有两解，即 ，解不等
式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
若选②：因为 ，
由正弦定理得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以
；
若选③：由正弦定理整理得 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ；
（2）将 代入正弦定理 ，得 ，所以 ，
因为 ，角 的解有两个，所以角 的解也有两个，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，解得 .
