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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.8一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•天水模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥9 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．9≤m＜12
m
【分析】解关于x的不等式求得x≤ ，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可
3
得．
【解析】移项，得：3x≤m，
m
系数化为1，得：x≤ ，
3
∵不等式的正整数解为1，2，3，
m
∴3≤ ＜4，
3
解得：9≤m＜12，
故选：D．
2．（2020春•回民区期末）下列说法中错误的是（ ）
A．不等式x+2≤3的整数解有无数个
B．不等式x+4＜5的解集是x＜1
C．不等式x＜3的正整数解有有限个
D．0是不等式2x＜﹣1的解
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集确定其整数解即可．
【解析】A、由x+2≤3得x≤1知不等式的整数解有无数个，故此说法正确；
B、不等式x+4＜5的解集是x＜1，故此说法正确；
C、不等式x＜3的正整数解有1、2，为有限个，故此说法正确；
1
D、由2x＜﹣1可得x＜− 知0不是该不等式的解，故此说法错误；
2故选：D．
3．（2021春•偃师市期末）若关于x的不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4≤a≤6 D．4＜a≤6
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解即可得到一个关于a的不
等式组，从而求解．
a
【解析】解不等式2x﹣a≤0得：x≤ ，
2
a
根据题意得：2≤ ＜3，
2
解得：4≤a＜6．
故选：B．
4．（2021春•和平区校级月考）不等式2x≤9﹣x的非负整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的非负整数解即可．
【解析】2x≤9﹣x，
2x+x≤9，
3x≤9，
不等式的两边都除以3得：x≤3，
故不等式2x≤9﹣x的非负整数解有0，1，2，3，共4个．
故选：D．
5．（2021•博山区二模）不等式3（x﹣2）≤x+1的正整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即
可．
【解析】去括号，得：3x﹣6≤x+1，
移项，得：3x﹣x≤1+7，
合并同类项，得：2x≤7，
系数化为1，得：x≤3.5，
则正整数解有3，2，1共3个．
故选：C．
{5x+2＞3(x−1)
6．（2021春•罗湖区期中）不等式组 的非负整数解有（ ）
x−2≤14−3xA．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求
出非负整数解即可．
{5x+2＞3(x−1)①
【解析】 ，
x−2≤14−3x②
5
由①得：x＞− ，
2
由②得：x≤4，
5
∴不等式组的解集为− ＜x≤4，
2
则不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个．
故选：B．
{ x＞−2
7．（2021春•忠县期末）已知关于x的不等式组 有且只有三个整数解，且关于y的一元一
5x−4＜4−a
次方程ay﹣4＝2y有整数解，则所有满足条件的整数a值之和是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有三个整数
解，确定a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程有整数解确定满足条件的a的值，从而求和．
{ x＞−2①
【解析】 ，
5x−4＜4−a②
8−a
解不等式②，得：x＜ ，
5
8−a
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜ ，
5
又∵该不等式组有且只有三个整数解，
8−a
∴1＜ ≤2，
5
解得：﹣2≤a＜3，
ay﹣4＝2y，
移项，得：ay﹣2y＝4，
合并同类项，得：（a﹣2）y＝4，
4
系数化1，得：y= ，
a−2
∵该方程有整数解，且a﹣2≠0，∴符合条件的整数a有﹣2、0、1，
∴满足条件的整数a值之和是﹣2+0+1＝﹣1，
故选：A．
{x−1 x
+1＞
8．（2020秋•北碚区校级期末）若整数a是使得关于x的不等式组 3 2有且仅有4个整数解，
6x−5≥a
2y+a y−a
且使关于y的一元一次方程 = +1的解满足y≤87．则所有满足条件的整数a的值之和为（
5 3
）
A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17
{x−1 x
+1＞
【分析】解关于x的不等式组 3 2，根据“该不等式组有且仅有 4个整数解”，得到关于a
6x−5≥a
2y+a y−a
的不等式，解之，解一元一次方程 = +1，根据解满足y≤87，得到a的取值范围，结合a
5 3
为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
{x−1 x
+1＞ ①
【解析】 3 2 ，
6x−5≥a②
解不等式①得：x＜4，
a+5
解不等式②得：x≥ ，
6
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
a+5
∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，
6
a+5
∴﹣1＜ ≤0，
6
解得：﹣11＜a≤﹣5，
2y+a y−a
= +1，
5 3
去分母得：3（2y+a）＝5（y﹣a）+15，
去括号得：6y+3a＝5y﹣5a+15，
移项得：y＝15﹣8a，
∵该方程的解满足y≤87，∴15﹣8a≤87，
∴a≥﹣9，
∵﹣9≤a≤﹣5，
∴整数a为：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，它们的和为﹣35，
故选：A．
ax+1 7x
9．（2021春•綦江区期末）若数a使关于x的方程 =− −1有非负数解，且关于y的不等式组
2 3
{y−1 7−2y
−2＜
2 2 恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
2y+1＞a−2y
A．﹣22 B．﹣18 C．11 D．12
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等
式组恰好有两个偶数解，得到a的值相加即可．
【解析】去分母得：3ax+3＝﹣14x﹣6，
9
解得：x=− ，
3a+14
ax+1 7x
∵关于x的方程 =− −1有非负数解，
2 3
∴3a+14＜0，
14
∴a＜− ，
3
{ y＜4
不等式组整理得： a−1，
y＞
4
a−1
解得： ＜y＜4，
4
由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，
a−1
∴﹣2≤ ＜0，
4
∴﹣7≤a＜1，
则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，
则符合条件的所有整数a的和是﹣18．
故选：B．{4x+10＞k
10．（2020秋•沙坪坝区校级期中）若关于x的一元一次不等式组 有且只有四个整数解，且
1−x≥0
关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．0
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有 4个整数解确定出k的值，再由方程的解为非负数
求出满足题意整数k的值．
{ k−10
{4x+10＞k x＞
【解析】一元一次不等式组 整理得： 4 ，
1−x≥0
x≤1
k−10
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣3≤ ＜−2，
4
解得：﹣2≤k＜2，即整数k＝﹣2，﹣1，0，1，
3k+3
解方程y﹣3＝3k﹣y得：y= ，
2
∵关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，
3k+3
∴ ≥0，
2
∴k为﹣1，1，整数k的和为0．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{ x+2＞1
11．（2021春•金乡县期末）已知不等式组 的解集中只有三个整数解，则m的范围是 2 ＜
x−1＜m−1
m ≤ 3 ．
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出2＜m≤3．
{ x+2＞1①
【解析】 ，
x−1＜m−1②
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜m，
∵不等式组有3个整数解，
∴2＜m≤3，
故答案为：2＜m≤3．
{3x−2≥1
12．（2021•通辽）若关于x的不等式组 ，有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ﹣ 1 ＜
2x−a＜5
a ≤ 1 ．a+5
【分析】解每个不等式得出1≤x＜ ，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之即
2
可．
【解析】解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，
a+5
解不等式2x﹣a＜5，得：x＜ ，
2
∵不等式组只有2个整数解，
a+5
∴2＜ ≤3，
2
解得﹣1＜a≤1，
故答案为：﹣1＜a≤1．
{x−a＜0
13．（2021春•崂山区期末）已知关于x的不等式组 有且只有2个整数解，且a为整数，则a的
9−2x≤3
值为 5 ．
【分析】解不等式组得出其解集为 3≤x＜a，根据不等式组只有2个整数解知4＜a≤5，结合a为整数
可得答案．
【解析】解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式9﹣2x≤3，得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x＜a，
∵不等式组只有2个整数解，
∴不等式组的整数解为3和4，
则4＜a≤5，
又a为整数，
∴a＝5，
故答案为：5．
14．（2021春•兴国县期末）若关于x的不等式x﹣a＞0恰好有两个负整数解，则a的范围为 ﹣ 3 ≤ a ＜
﹣ 2 ．
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．
【解析】∵x﹣a＞0，
∴x＞a，
∵不等式x﹣a＞0恰有两个负整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2．故答案为﹣3≤a＜﹣2．
15．（2020春•西山区期末）定义新运算：对于任意实数 a，b都有a b＝a（a﹣b）+1，如：3 2＝3（3
﹣2）+1＝4．那么不等式2 x≥3的非负整数解是 0 ， 1 ． ⊗ ⊗
【分析】根据题目给出的定⊗义新运算，列出关于x的一元一次不等式，解出即可．
【解析】原不等式可变形为2×（2﹣x）+1≥3，
4﹣2x+1≥3，
﹣2x≥3﹣4﹣1，
x≤1，
∴不等式2 x≥3的非负整数解是0，1，
故答案为：⊗0，1．
16．（2021春•浏阳市期末）已知关于x的不等式2x﹣m＜1﹣x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是
8 ＜ m ≤ 11 ．
m+1 m+1
【分析】解关于x的不等式得出x＜ ，由不等式正整数解为1、2、3知3＜ ≤4，解之即可得
3 3
出答案．
【解析】∵2x﹣m＜1﹣x，
∴2x+x＜m+1，
∴3x＜m+1，
m+1
∴x＜ ，
3
∵不等式正整数解为1、2、3，
m+1
∴3＜ ≤4，
3
解得8＜m≤11，
故答案为：8＜m≤11．
{3x+m＜0
17．（2020秋•芙蓉区月考）已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围
x＞−5
是 3 ≤ m ＜ 6 或﹣ 6 ≤ m ＜﹣ 3 ．
m
【分析】解不等式组得出﹣5＜x＜− ，根据不等式的所有整数解的和为﹣9知不等式组的整数解为﹣
3
m m
4、﹣3、﹣2或﹣4、﹣3、﹣2，﹣1，0，1，据此可得﹣2＜− ≤−1或1＜− ≤2，解之即可得出答
3 3案．
m
【解析】解不等式3x+m＜0，得：x＜− ，
3
∵x＞﹣5，
m
∴不等式组的解集为﹣5＜x＜− ，
3
∵不等式的所有整数解的和为﹣9，
∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3、﹣2或﹣4、﹣3、﹣2，﹣1，0，1，
m m
则﹣2＜− ≤−1或1＜− ≤2，
3 3
解得3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3，
故答案为：3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3．
{
2x+5＞0
18．（2020春•仁寿县期末）若关于 x的不等式组 1 1 有四个整数解，则m的取值范围是 ﹣
x≤2+ m
2 2
3 ≤ m ＜﹣ 2 ．
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出1≤4+m＜2，解之可得．
5
【解析】解不等式2x+5＞0，得：x＞− ，
2
1 1
解不等式 x≤2+ m，得：x≤4+m，
2 2
∵不等式组有4个整数解，
∴1≤4+m＜2，
解得：﹣3≤m＜﹣2，
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
x−2 x
19．（2020春•通州区期中）若不等式1− ＞ 的最大整数解为方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
3 2
【分析】求出不等式的解集，确定出最大整数解，代入方程计算即可求出a的值．
x−2 x
【解析】不等式1− ＞ ，
3 2
去分母得：6﹣2（x﹣2）＞3x，
去括号得：6﹣2x+4＞3x，
移项合并得：﹣5x＞﹣10，解得：x＜2，
不等式最大整数解为1，
把x＝1代入方程得：2﹣a＝3，
解得：a＝﹣1，
则a的值为﹣1．
20．（2021•商河县校级模拟）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
{5x−1 x+5
+2＞ ．
6 4
2x+5≤3(5−x)
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
{5x−1 x+5
【解析】 +2＞ ①，
6 4
2x+5≤3(5−x)②
解不等式①得x＞﹣1；
解不等式②得x≤2；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
21．（2020春•淮阳区期末）已知a、b是整数，关于x的不等式x+2b＞a的最小整数解是8，关于x的不等
式x﹣3b+19＜2a的最大整数解为8．
（1）求a、b的值．
（2）若|m﹣b|＝m﹣b，|m﹣a|＞a﹣m，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件得到a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得不等式组于是得到结论．
【解析】（1）∵为a、b是整数，
∴a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，
由x+2b＞a解得：x＞a﹣2b，
由x﹣3b+19＜2a解得：x＜2a+3b﹣19，
{ a−2b+1=8
于是，由题意可得： ，
2a+3b−19−1=8
{a=11
解得： ；
b=2{m−b≥0
（2）由题意得： ，
a−m＜0
{ m−2≥0
即： ，
11−m＜0
{ m≥2
解得： ，
m＞11
∴m的取值范围是：m＞11．
{x＞−1
22．（2020春•海陵区校级期末）已知关于x的不等式组 ．
x≤1−k
（1）如果这个不等式组无解，求k的取值范围；
（2）如果这个不等式组有解，求k的取值范围；
（3）如果这个不等式组恰好有2017个整数解，求k的取值范围．
【分析】（1）根据不等式组无解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；
（2）根据不等式组有解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；
（3）首先根据不等式恰好有2017个整数解求出不等式组的解集为﹣1＜x＜2017，再确定2016≤1﹣k＜
2017，然后解不等式即可．
【解析】（1）根据题意得：﹣1≥1﹣k，
解得：k≥2．
（2）根据题意得：﹣1＜1﹣k，
解得：k＜2．
（3）∵不等式恰好有2017个整数解，
∴﹣1＜x＜2017，
∴2016≤1﹣k＜2017，
解得：﹣2016＜k≤﹣2015．
23．（2020春•开福区校级期中）（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；
（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围；
{ x−a≤2
（3）已知不等式组 的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．
x−a＞−1
【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．
【解析】（1）∵x＝a+2，
∴若x＜8，则a+2＜8，解得a＜6；
（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，
∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，
∴a+2＜8，
解得a＜6；
{ x≤a+2
（3）不等式变形得： ，
x＞a−1
由任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，
{a+2＜8
得到 ，
a−1≥2
解得：3≤a＜6，
∴a的整数解为3，4，5．
24．（2021春•海陵区校级期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y） {ax+by(当x≥ y时)
=
ay+bx(当x＜y时)
（其中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝﹣2，则A（4，3）＝ ﹣ 2 ．
（2）已知A（1，1）＝3，A（﹣1，2）＝0．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组{ A(3p，2p−1)＞4 恰好有2个整数解，求
A(−1−3p，−2p)≥m
m的取值范围．
【分析】（1）根据新定义运算列出算式求解；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式组求解即可．
【解析】（1）∵4＞3，
∴A（4，3）＝4a+3b，
又∵a＝1，b＝﹣2，
∴A（4，3）＝4×1+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：﹣2；
{ a+b=3
（2）由题意可得： ，
2a−b=0{a=1
解得： ；
b=2
∴a的值为1，b的值为2；
（3）在（2）问的基础上，可得A（x，y） {x+2y(x≥ y)，
=
y+2x(x＜y)
∵p为正数，
∴3p＞2p﹣1，﹣1﹣3p＜﹣2p，
∴A（3p，2p﹣1）＝3p+2（2p﹣1）＝7p﹣2＞4，
A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+2（﹣1﹣3p）＝﹣8p﹣2≥m，
{7p−2＞4
可得 ，
−8p−2≥m
8 m+2
解得 ＜p≤− ，
7 8
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为1，2，
m+2
∴2≤− ＜3，
8
解得：﹣26＜m≤﹣18．
