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专题2.8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练
习）
一、单选题
1．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
2．下列各点中，在抛物线 上的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）．
A．向下，（0，-4） B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4） D．向上，（0，-4）
4．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像开口方向向上 B．它的图像顶点坐标为（0，4）
C．它的图像对称轴是y轴 D．当 时，y有最大值4
5．若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y），E（3，y）在抛物线
1 2
上，若y＜y，则n的取值范围是（ ）
1 2
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1
7．已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞0 C．x＞﹣2 D．x＜0
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
A．B．
C．
D．
9．点 ， ， 均在二次函数 的图像上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点 在同一个函数的图像上，这个函数可能是（
）
A． B． C． D．
11． 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 则下列图像正确的是（ ）A． B．
C． D．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图像可能是（）
A． B． C． D．
14．二次函数y＝－x2－1的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
15．二次函数y=-x2-2的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
16．下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（ ）A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线与x轴有两个交点
D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3
17．二次函数 的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．当 时，函数的最大值是
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
18．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（ ）
A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣
19．二次函数 的图像是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与 轴有两个交点
20．关于二次函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上 B．当 ＜0时， 随 的增大而增大
C．顶点坐标是（-2，1） D．当 =0时， 有最小值1
21．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图像画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）
A． B． C． D．
22．函数 与 在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）A． B．
C． D．
23．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数 ，则y的图像为(
)
A． B． C． D．
24．二次函数y＝x2＋1的图像大致是( )
A． B． C． D．
25．二次函数y＝x2＋1的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
26．在同一直角坐标系中 与 图像大致为
A． B． C． D．
27．点 均在抛物线 上，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
28．抛物线 的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______．
29．通过_______法画出 和 的图像：通过图像可知：
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线 的方向相反，形状相同的抛物
线解析式_________________________．
31．抛物线 的图像相当于把抛物线 的图像______（k＞0）或______（k＜
0）平移______个单位．
32．一抛物线的形状，开口方向与 相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解
析式为_______．
33．已知点P（﹣2，y）和点Q（﹣1，y）都在二次函数y＝﹣x2+c的图像上，那么y 与
1 2 1
y 的大小关系是_____．
2
34．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
35．当m=______时抛物线 开口向下，对称轴是________，在对称轴左
侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．
36．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
37．设点（﹣1，y），（2，y），（3，y）是抛物线y=﹣x2+a上的三点，则y、y、y
1 2 3 1 2 3
的从小到大排列为__________.三、解答题
38．在同一直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同
点；
（2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．
39．如图，已知抛物线 ．
（1）该抛物线顶点坐标为________；
（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）；
（3）该抛物线 可由抛物线 向________平移________个单位得到；
（4）当 时，求x的取值范围．
40．已知二次函数 ．
求函数图像的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图像与 轴的交点坐标．参考答案1．B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
解：∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图
像和性质是解题的关键．
2．B
【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断．
解：∵当x=-1时，y=x2-4=-3；
当x=1时，y=x2-4=-3；
∴点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足二次函
数的解析式．
3．B
【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
解：抛物线y＝-3x2＋4
∵
∴抛物线y＝-3x2＋4开口向下
当 时，y＝-3x2＋4取最大值，即y＝4
∴顶点坐标为
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成
求解．
4．D
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断．
解：∵ ，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，故A、B、C正确，D错误；
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a
（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．A
【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．
解：A.因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，所以
都关于 轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线 ， 的图像开口向上，抛物线 的图像开口向下，故选项
B错误，不符合题意；
C.抛物线 ， 的图像不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通过平移其它
二次函数的图像，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y＜y 时结合图像求解；
1 2
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y）关于对称轴对称的点（﹣1，y），
2 2
∵抛物线开口向下，
∴y＜y 时，n＞3或n＜﹣1，
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键．
7．D
【解析】
∵y=x2-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2+c的图像的开口方向、对
称轴及增减性是解题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一
判断
解：A、 ，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；
B、 （x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；
C、 ，k=1＞0，分别在一、．三象限里，y随x的增大而减小，错误；
D、 （x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误．
故选B．
【点拨】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数
形结合思想解题是本题的解题关键.
9．D
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
解：∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ 时， 随 的增大而增大，
∵ 的对称点为 ，且 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和
掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．
10．B【分析】由点A（-5，m），B（5，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（-5，
m），C（-2，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，可得
结果．
解：∵A（-5，m），B（5，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y=x+2不关于y轴对称， 的图像关于原点对称，因此选项A、D错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（-5，m），C（-2，m+n2+1）可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＜0时，满足条件，
∴B选项正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图像和性质，可以采用排除法，
直接法得出答案．
11．D
【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．
解：二次函数 的对称轴为
观察四个选项可知，只有选项D的图像符合
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性），掌握二次函数的图像与性质是解
题关键．
12．C
【分析】根据所给解析式判断出正确函数图像，注意自变量的取值范围．
解：A选项错误，两个函数图像都不符合自变量的取值范围；
B选项错误，反比例函数的图像不符合自变量的取值范围；
C选项正确；
D选项错误，当 时，图像不应该是一条直线．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数和反比例函数的图像，解题的关键是掌握二次函数和反比例函
数的图像．13．C
【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A、B、D，故选C．
解：A选项，由函数解析式， <0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式， <0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式， <0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式， <0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
【点拨】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个
数，判断图像的形状．
14．C
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．
解：二次函数y＝－x2－1的图像开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，
故选项C符合题意．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．
15．D
【分析】根据抛物线与解析式中系数的关系可知开口向下，对称轴是y轴，与y轴交于
（0，-2），观察图像进行选择．
解：∵a=-1＜0，图像开口向下，可以排除A、B；
∵二次函数y=-x2-2的顶点坐标是（0，-2），可以排除C．
故选D．
主要考查了二次函数图像的性质
16．C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判
断即可得答案.
解：∵2>0，
∴抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，
∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，
∴对称轴是y轴，故B选项错误，
∵-3<0，抛物线开口向上，∴抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，
抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，
故选：C.
【点拨】此题考查二次函数的性质及二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的性质及
“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.
17．D
【分析】根据二次函数 的图像和性质，逐一判断选项，即可.
解：∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故A错误，
∵当 时，函数的最小值是 ，
∴B错误，
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴C错误，
∵∆= ，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴D正确，
故选D.
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题
的关键.
18．C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正
确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，
∴该函数图像开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为（0，1），故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征对B
进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
解：A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特
征，结合图像是解题的关键.
20．B
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.
解：因为 ，所以二次函数图像开口向下，故A选项错误；
因为抛物线开口向下，对称轴为y轴，所以当 ＜0时， 随 的增大而增大，故B选项正
确；
二次函数 的顶点为（0,1），故C选项错误；
因为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以当 =0时， 有最大值1，故D选项错误.
故选B.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.
21．A
【解析】
两图像与y轴的交点相同,故排除了B、D,若a>0,选A,C中两个函数中的a符号相反.
22．B
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.
解：当a>o时，函数 的图像位于一、三象限， 的开口向下，交y轴
的负半轴，选项B符合；
当a0,图像开口向上,顶点坐标为(0,1)，
符合条件的图像是C.
故选C.
25．B
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图像找出答案即可．
解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图像开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图像是B．
故选B．
【点拨】此题考查二次函数的图像，掌握二次函数的性质，图像的开口方向和顶点坐标是
解决问题的关键．
26．A
【分析】本题由一次函数 图像得到字母系数的正负，再与二次函数 的
图像相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项正确；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项错误；C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项错误；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像 解答该题时，一定要熟记一次函数、二次
函数的图像的性质．
27．D
解：由图像，根据二次函数的性质，有
A．若 ，则 ，原说法错误；
B．若 ，则 ，原说法错误；
C．若 ，则 ，原说法错误；
D．若 ，则 ，原说法正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质．
28．下 y轴 （0，－3）
解：略
29．描点 向上 y轴 （0，1） 向上 y轴 （0，－1）
解：略
30．
【分析】根据开口方向与抛物线 的方向相反，形状相同可得 ，再利用顶点坐标
即可写出解析式．
解：∵抛物线与 的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）
∴设抛物线解析式为： ，
代入顶点坐标（0，-3）得：
∴解析式为故答案为 ．
【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．
31．向上 向下 |k|
解：略
32．
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得．
解： 抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又 此抛物线的形状，开口方向与 相同
则此抛物线的解析式为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟记二次函数的图像与性质是解题关键．
33．y＜y
1 2
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
解：∵二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1，
∴y＜y．
1 2
故答案为：y＜y．
1 2
【点拨】本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关
键．
34．4.
【解析】
【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
解：∵在 中： ，∴其图像开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点拨】熟记“二次函数 的图像的顶点坐标为 ”是解答本题的关键.
35． y轴 上升
【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出 的值，再根据抛物线开口方向向下可得
，然后求解即可．
解：由题意得， 且 ，
解得 ， 且 ，
∴ ，
对称轴是 轴，
∵
∴在对称轴左侧部分是上升；
故答案是： ， 轴，上升．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．
36．b≥﹣4
【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．
解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，
∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，
∴﹣ ≤1，
解得b≥﹣4．
故答案为：b≥﹣4．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够
熟练掌握二次函数的增减性．
37．y>y>y
1 2 3
【解析】
【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y）关于y轴的对称点为（1，y），根据二
1 1次函数的增减性可得函数值的大小关系．
解：∵抛物线y=-x2+a，
∴对称轴为y轴，
∴（-1，y）关于对称轴y轴对称点为（1，y），
1 1
∵a=-1＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵1＜2＜3，
∴y＞y＞y，
1 2 3
故答案为y＞y＞y．
1 2 3
【点拨】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比
较函数值的大小是本题的关键.
38．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图像解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
解：（1）解：如图：
，
与 图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与 图像的不同点是： 开口向上，顶点坐标是（0，1），
开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点： ，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性
质是解答的关键.
39．解：（1） ；（2）见解析；（3）上，4；（4） ．．
【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利
用描点法画函数图像；
（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；
（4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）抛物线的对称轴为：x=- =0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，
x=±2，
则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：
（3）由上加下减的原则可得，y=-x 向上平移4个单位可得出y=-x +4；
（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-2
