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专题 3-1 三角函数图像与性质
目录
题型01三角函数单调性.......................................................................................................................................................1
题型02 求周期......................................................................................................................................................................2
题型03 非同名函数平移......................................................................................................................................................3
题型04 对称轴最值应用......................................................................................................................................................4
题型05 对称中心最值应用..................................................................................................................................................5
题型06 辅助角最值..............................................................................................................................................................6
题型07 正余弦换元型最值..................................................................................................................................................7
题型08 一元二次型换元最值..............................................................................................................................................8
题型09 分式型最值..............................................................................................................................................................8
题型10 最值型综合..............................................................................................................................................................9
题型11 恒等变形：求角......................................................................................................................................................9
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）.........................................................................................................................10
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）........................................................................................................................11
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）................................................................................................................11
高考练场..............................................................................................................................................................................12
题型 01 三角函数单调性
【解题攻略】
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参
作用
数
A A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω ω决定了函数的周期T＝ .
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1
时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ
＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短
（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的 _倍（纵坐标不变）即可得到．
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 和都单调递增的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函数 ，则f（x）（ ）
A．在（0， ）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（— ，0）单调递减 D．在（— ，0）单调递增
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数 在下列某个区间上单调递增，这
个区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“ ”是“函数 在区间 上
单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
.
题型 02 求周期
【解题攻略】
求周期方法
1. 直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝ .y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
2.观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有
周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数 ，则
的最小正周期（ ）
A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关C．与 无关，且与 无关 D．与 无关，但与 有关
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为 的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数 ， 的定义域为R，则“ ， 为周期函
数”是“ 为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数① ，② ，③ ，④
中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③ B．①④
C．③④ D．②③
题型 03 非同名函数平移
【解题攻略】
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重
点）
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数 的图象，只
需将函数 的图象（ ）
A．先向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数 的图象，只需将函
数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平栘 个单位
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数 的图象，只需将函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，为了得到函数
的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
题型 04 对称轴最值应用
【解题攻略】
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
【典例1-1】已知函数 的最大值为 ，若存在实数 ，使得对任意实数
，总有 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若 为 的一条对称轴，则
__________．
【变式1-1】已知把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小到原
来一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，若 ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式 1-2】（河南省三门峡市 2021-2022 学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数 的图象，若 ，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数 的图
象向左平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象，若使 成立的a、b有
，则下列直线中可以是函数 图象的对称轴的是
A． B．
C． D．
题型 05 对称中心最值应用
【解题攻略】
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的两条相邻对称轴之间
的距离为 ，则下列点的坐标为 的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数 ，其图象的一个最低点是
，距离 点最近的对称中心为 ，则（ ）A．
B． 是函数 图象的一条对称轴
C． 时，函数 单调递增
D． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，若 是奇函数，则 的最小值是
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数 的图象向左平移 个单位，再将
纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 的图象，且 的图象上一条对称轴与一个对称
中心的最小距离为 ，对于函数 有以下几个结论：
（1） ；
（2）它的图象关于直线 对称；
（3）它的图象关于点 对称；
（4）若 ，则 ；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象分别向左、向右各平移 个
单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知 的一个对称中心为 ，
把 的图像向右平移 个单位后，可以得到偶函数 的图象，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
题型 06 辅助角最值
【解题攻略】辅助角范围满足：
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知
函数 ， 的最小值为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函数 在 上的值域为 ，则
的取值范围为______.
【变式1-1】.已知函数 ，周期 ， ，且在 处取得最大值，则
使得不等式 恒成立的实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当
时，函数 取到最大值，则 是（ ）
A．奇函数，在 时取到最小值； B．偶函数，在 时取到最小值；
C．奇函数，在 时取到最小值； D．偶函数，在 时取到最小值；
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关
于x的方程 在 上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
题型 07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
与 在同一函数中一般可设 进行换元．换元时注意新元的取值范围．之间的互化关系
1.
2.
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数 ，则
的值域为 ．
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数 的值域为 ．
【变式1-1】已知函数 ，则 的最大值为___________.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单
调递减，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数
9
f (x)=a(sinx+cosx)−sinxcosx−a(x∈R)的最大值为 ，则a的值为____________.
2
题型 08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若 ，则函数 的最大值与最
小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于 的不等式 在 内恒成立，
则实数 的取值范围是 ．【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数 ，则 ；
的最大值为
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数 的最大值为 .
题型 09 分式型最值
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数 的最大值是 ，最小
值为 ．
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数 的值域为
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数 的值域为
.
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数 的值域为 ．
【变式1-3】函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型 10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知 ， 为锐角， ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知锐角 满足 ，则 的最小值为____．【变式1-1】若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为
，且最小值为－1.若 ， 的值域是 ，则m的取值范围是_____.
题型 11 恒等变形：求角
【解题攻略】
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范
围.
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在 ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3 ，tan2B＝tan A·tan
C，则角B等于（ ）
△
A．30° B．45° C．120° D．60°
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知 且 ，
则 =（ ）
A． B．
C． D． 或
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知 ， ，
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知 ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
题型 12 恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2021·广西·统考一模） ＝ （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．2
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测） （ ）
A． B． C． D．1
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习） （ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求 的值（ ）
A．1 B．3 C． D．
题型 13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
求复合型角，
1. 以给了函数值的角度为基角来拆角。
2. 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3. 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知 , 都是锐角, , ,则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若 均为锐角且
，则
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知 ，
且 ，则 ．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若 ， ， ，
，则 .
题型 14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．-2
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．2【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 周期为π，在 上单调递减
B． 周期为 ，在 上单调递减
C． 周期为π，在 上单调递增
D． 周期为 ，在 上单调递增
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数 的周期不
可能为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数 的图像，只需将函数
的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
π
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足
2
π
|f(x )−g(x )|=2的x 、x 有|x −x | = ，则φ=______．
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5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数 的图象的
一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象．若函数 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数 在 处取得最大值，则
（ ）
A． B． C． D．
7.（福建省 2021 届高三毕业班总复习数学试题）已知直线 与函数 和函数
的图象分别交于 两点，若 ，则线段 中点的纵坐标为_________.
8.（2021下·高三课时练习）函数 ， 的值域为______.
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.（2021·全国·高三专题练习）设 ， 均为锐角，且 ，则 的最
大值是（ ）
A． B． C．6 D．
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简 （ ）
A． B． C．2 D．
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．214.（2023上·上海奉贤·高三校考）若 是第三象限角，且 ，则
等于 .
