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专题 2.27 用二次函数解决问题（知识讲解）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意
识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的
数学模型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二
次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，
找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是
二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、
抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出
相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所
求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
特别说明：
(1) 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利
用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图像及性
质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
1．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩
形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大
值为50a﹣ a2．
【分析】
（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程
求得x=5，x=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设
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AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣ （x﹣50）2+1250，根据a的
取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣ a
解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x=5，x=45，
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当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S= x（100﹣x）=﹣ （x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣
a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
【点拨】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的
性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.举一反三：
【变式1】 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有
一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】（1）S=﹣3x2+24x， ≤x< 8；（2） 5m；（3）46.67m2
【分析】
（1）设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根
据墙的最大长度求出x的取值范围；
（2）根据（1）所求的关系式把S=45代入即可求出x，即AB；
（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.
解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴ ；
（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），
∴﹣3x2+24x＝45．
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，∴ ，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝ m，有最大面积的花圃．
【点拨】二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列出方程是解题的关键.
【变式2】为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地
上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．
设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种
的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这
块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
【答案】（1）y=﹣2x2+36x（0
