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专题 2.26 二次函数与一元二次方程（专项练习2）
一、单选题
1．如图，己知抛物线 经过点 ， ．当抛物线的开口向上时，
的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
2．如图，抛物线 与直线 的交点为 ．当 时，
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x＝2，图像和x轴的
一个交点坐标为(5，0)，由图像可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
4．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，抛物线 ： ，当
与线段 有公共点时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． ， D． 或
5．关于 的一元二次方程 没有实数根，抛物线 的顶点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．函数图像开口向上 B．当 时，
C．当 时，y随x的增大而增大 D．函数图像与x轴有两个交点
7．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中结论正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图像在同一坐标系下如图所示，则函数y＝
ax2+（b+1）x+c的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线 （ ， ， 是常数， ）经过点 ，其对称轴为直线
．有下列结论：① ；② ；③关于 的方程 有两
个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．抛物线 经过 ，对称轴直线 ，关于 的方程
在 的范围有实数根，则 的范围（ ）
A． B． C． D．11．二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：① ；②当 时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程
的一个根；④当 时， ．其中正确的是（
）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图是抛物线 ，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和
之间，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤关于x的方程 的另一个解在 和 之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的
横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
14．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小
明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线 （ 是常数， ）与 轴交于 两点，顶点
给出下列结论：① ；②若 在抛物线上，则
；③关于 的方程 有实数解，则 ；④当 时，
为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．②④
16．对于每个非零的自然数 ，抛物线 与 轴交于 、 两点，
以 表示这两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，由图像可知，满足不等式ax2+bx+c≤0的x的取值
范围是_____．
18．如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式
的解集是________．19．如图，直线 与抛物线 （ ）相交于 ， 两点，点
是抛物线上位于直线 下方的点，则点 的横坐标 的取值范围是___________．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出
下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣
2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C
的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x，y），N（x，y）是抛物线上两点
1 1 2 2
（x＜x），若x+x＞2，则y＜y； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两
1 2 1 2 1 2
根为﹣1，3．其中正确结论的序号为_____．
21．抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴 ，如图所示，则当 时，x的
取值范围是________．22．抛物线 图像与 轴无交点，则 的取值范围为；
23．如图为二次函数 的图像，则下列说法：① ；② ；③
；④ ，其中正确的为______．（填序号）
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 、 ，抛物线
的顶点P在线段 上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分
别为 、 ，且 ．若 的最小值是 ，则 的最大值是_____．
25．二次函数 的大致图像如图所示，则关于 的方程 的解是
__________．26．二次函数 的图像如图，若一元二次方程 有实数根，则 的最小值
为________
27．如图，若关于 的二次函数 的图像与 轴交于两点，那么方程
的解是 ______ ．
28．已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的部分图像如图所示，对称轴为
直线 ，且与x轴的一个交点在点 和 之间．下列结论：① ；②若点
， 在此抛物线上，则 ；③ ；④对于任意实数m，总有 ；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程 （p为常数，
）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．
29．如图，抛物线 向下平移 个单位后，交 轴于 ，A两点，则 的
长为______．
30．已知抛物线 与 轴交于 、 两点，设抛物线顶点为 ，若 ，
则 的值为________．
31．抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__．
32．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S ＝
△ABC
3，则b＝______．
三、解答题
33．根据图像，解决下列问题：
（1）求函数解析式．
（2）当 ，求 的取值范围？34．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当－2≤x≤2时，y的最大值是1，求当-2≤x≤2时，y的最小值是多少？35．阅读理解：如果联列函数 与 得关于x的一元二次方程
（p≠0，p、q、r均为常数），则函数 与 图像的交点
横坐标 就是 的两个实数根，此时有 ．二次函数的
图像如图所示，且与一次函数 的图像有两个交点 和 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若 ，试判断： 与 有大小关系，并说明理由；
（3）若 ，求n的范围．
36．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄
金分割点， 叫做黄金分割数．理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图像与x轴交于A、B两点（OA0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图像的方式
来求解方程或不等式．
12．D
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当
时， ，于是可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛
物线与x轴的一个交点在 和 之间，则关于x的方程 的另一个解在
和 之间，于是可对⑤进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴ ，∵对称轴直线 ，
∴ ，
∴ ，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 与 关于直线 对称，
∵ 时， ，
∴ 时， ，即 ，
故③正确；
∵抛物线 ，其顶点坐标为 ，
∴ ，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在 和 之间，
∴关于x的方程 的另一个解在 和 之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x
轴的交点等问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
13．C
【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分
别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【详解】
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣
2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，
0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图像与性质，解答本题的关键是理解二次
函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
14．C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y
轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．D
【分析】利用二次函数的图像及性质一一判断即可．
【详解】
解:∵- ＜ ，a＞0，
∴a＞-b，∴2a=a＋a＞a－b
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误；
若 ， ， 在抛物线上，
由图像法可知，y＞y＞y；故②正确；
1 2 3
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵ ，
∴b2-4ac=4，
∴x= ，
∴|x-x|= ，
1 2
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴ 是直角三角形，
∵PA=PB，
∴ 是等腰直角三角形，故④正确．故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，此题难度较大，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．D
【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是 ,另一个是 ，，根据
x轴上两点间的距离公式，得AB = － ，再代入计算即可．
n n
【详解】
解：令 时， ，
解得： ，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是 和 ，
∴AB = －
n n
∴ ＝ ．
故选D．【点拨】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数
根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
17．x≥5或x≤-1
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图像与x轴的另一交点，再写出函数图像在x轴上方部
分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图可知，二次函数图像为直线x=2，
所以，函数图像与x轴的另一交点为（-1，0），
所以，ax2+bx+c≤0时x的取值范围是x≥5或x≤-1．
故答案为：x≥5或x≤-1．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函
数图像与x轴的另一个交点是解题的关键．
18．-1＜x＜2
【分析】观察两函数图像的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图像可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图像的上下位置关系找出不等式的解集是解
题的关键．
19．
【分析】先求出直线AB的解析式为： ，点 是抛物线上位于直线 下方的点，点P
的横坐标满足 ，由 的两根为x=-2，x=5，不等式的解集
1 2
是 ，点 的横坐标 的取值范围即可求出．
【详解】解：直线 与抛物线 （ ）相交于 ， 两点，
设直线AB的解析式为： ，
由直线过A、B代入解析式得 ，
解得 ，
直线AB的解析式为： ，
点 是抛物线上位于直线 下方的点，
点P的横坐标满足 ，
由 的两根为x=-2，x=5，
1 2
不等式的解集是 ．
∴点 的横坐标 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，掌握直线解析式的求法，
方程的解，利用图像解不等式，根据点P的位置构造不等式 是解题关键．
20．①②③⑤⑧
【分析】根据函数的图像和性质即可求解.
【详解】
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故正确；
③x＝1时，函数有最大值，则am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），故m（am+b）﹣b＜a（m≠1），故正
确；
④若点A的坐标为（﹣2，0），则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0，故错误；
⑤若点B的坐标为（4，0），则A的坐标为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2或x＞4时，y＜0，
∴当x＜﹣2或x＞6时，y＜0，故正确；
⑥△ABC的面积＝ AB•y ＝ AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图像不符，
C
故错误；
⑦函数的对称轴为x＝1，若x+x＞2，则 （x+x）＞1，则点N离函数对称轴远，故y＞y，
1 2 1 2 1 2
故错误；
⑧抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故⑧正
确；
故答案为①②③⑤⑧.
【点拨】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的图像与性质是解题关键 ．
21． 或 ．
【分析】函数的对称轴为x=1，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），则抛物线和x轴的另外一
个交点坐标为（3，0），进而求解．
【详解】
∵函数的对称轴为 ，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图像，当 时，x的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常
熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22． ．【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即
可．
【详解】
解：∵抛物线 图像与 轴无交点，
∴该抛物线开口向下，且 ，
即： ，解之得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的
性质解答是解答本题的关键．
23．②③
【分析】根据图像的开口方向可判断a的符号，由抛物线与x轴的交点坐标可得对称轴为直线
x=1，从而可判断b与2a的关系，当x=1时，根据图像可判断此时函数值a+b+c的符号，根据图
像与x轴的交点可判断 的符号，从而可对结果作出判断．
【详解】
观察图像知，抛物线的开口向下，所以a<0，故①错误；
由抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，由于抛物线的对称轴为直线x= ，所以有：
，即 ，所以 ，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c，由图像知， ，故③正确；
观察图像知，抛物线与x轴有两个不同的交点，所以 ，故④错误．
综上所述，正确的为②③．故答案为：②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，本题的关键是数形结合，此类题的常用方法：看抛
物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴在y轴的左边还是右边，定b的符号；看抛物线
与y轴的交点定c的符号；看抛物线与x轴的交点定判别式的符号．
24．3
【分析】根据题意得出当P与A点重合时， 取得最小值-2，即A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且
经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时， 取得最大值，利用二次
函数与x轴的交点问题，即可求解．
【详解】
解：如图，
当P与A点重合时， 取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为 ，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴ ，
解得： ，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当P与B点重合时， 取得最大值，如图：根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，正确得出抛物线解析式是解
题关键．
25．0或2．
【分析】由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的交点为 ，令 即
，根据抛物线的对称性解题即可．
【详解】
解：根据题意得，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的交点为 ，
当 即 时，
根据抛物线的对称性可得，
点 关于直线 对称的点为 ，
的解是 或 ，故答案为：0或2．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．-3
【分析】如图，画直线 由图像可得：当直线 与函数 的图像有交点时，
则方程 有实数根，从而可得到答案．
【详解】
解：如图，画直线
当直线 与函数 的图像有交点时，
则方程 有实数根，
由图像可得：当直线 过 的顶点时， 有最小值，
此时：
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图像法解一元二次方程是解题
的关键．
27． ， ．
【分析】根据二次函数与 轴的交点即可直接求得方程的解．
【详解】解：根据图像与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是
， ，
故答案是 ， ．
【点拨】本题考查了二次函数与 轴的交点与一元二次方程的解的关系，熟悉相关性质是解题的
关键．
28．①④⑤
【分析】根据函数图像得到开口方向，对称轴，从而得到a，b，c的符号，再结合二次函数的性
质分别判断即可．
【详解】
解：由图可知：抛物线开口向下，
∴a＜0，
与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x= ，即b=-2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵ ， ，
∴点C离对称轴近，
∴ ，故②错误；
∵b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故③错误；
当x=1时， ，
当x=m时， ，
∵当x=1时， 取最大值，∴ ，
∴ ，故④正确；
若p＞0，且方程 的根为整数，
则根只能为0，1，2，
第一种情况：根为0，2，
第二种情况：两根相等且为1，
则p的值只有两个，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．4
【分析】首先根据图像的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令 ，求
出两个x的值，即可求解．
【详解】
抛物线 向下平移 个单位后的解析式为 ,
令 ，
解得 ，
∴ 的长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图像的平移
规律是解题的关键．
30．
【分析】解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为 、 ,求出用 、 表示的AB长度
的表达式;②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将 看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
【详解】
解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为 、 ，
AB= = ＝ = ；
抛物线顶点坐标为( ， )
则DP的长为 ，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD= tan30° AB,
即 ＝ ，
两边平方得： ＝ ，
去分母得： ，
移项得： ， ，
解得： ＝0或 ＝0，
由于抛物线y=a +bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0即: ＝ ，
故答案： ．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰
三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
31．1
【分析】首先求出抛物线与x轴的交点，进而得出AB的长．
【详解】
当y=0，则0=x2﹣5x+6，
解得：x=2，x=3，
1 2
故AB的长为：3﹣2=1．
【点拨】考点：抛物线与x轴的交点．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图像与x轴交
点是解题关键．
32．b＝－4
【解析】
【分析】由S ＝3及BC＝2可确定A点坐标，从而确定c；再令抛物线与x轴两个交点的横坐
△ABC
标分别为x、x 且x＞x，可得x-x=2，则x+x= ，再运用韦达定理即可求
1 2 1 2 1 2 1 2
解.
【详解】
解：由题意可得A点纵坐标为3×2÷2=3，故A(0，3)，代入抛物线中可得c=3，则抛物线解析式
为：y＝x2＋bx＋3.
令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x、x 且x＞x，由BC=2可得x-x=2，
1 2 1 2 1 2则-b=x +x= ，即b=-4，
1 2
故答案为：-4.
【点拨】本题结合韦达定理考查了抛物线解析式的求解，熟练掌握一元二次方程与二次函数之间
的关系是解题关键.
33．（1） ；（2）x＜-1或x＞3
【分析】（1）设抛物线的解析式为： ，将点（0，-3）代入即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点，结合图像判断．
【详解】
解：（1）由图像可知：抛物线的顶点为（1，-4），且过点（0，-3），
∴设抛物线的解析式为： ，
将（0，-3）代入 ，
得-3=a-4，
∴a=1，
∴函数解析式为 ；
（2）由（1）可知： ，
∴当y=0时，即 ，
解得：x=-1或x=3，
即抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
由图可知：
当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，此类题目，利用数形结
合的思想求不等式的解集更简便．
34．（1）直线x＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3） ．
【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当 时，可解得抛物线与
y轴的交点坐标；（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别
式解题即可；
（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x＝1，根据抛物线的图像与性质解题即
可．
【详解】
解：（1）抛物线y＝ax2－2ax－1 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线y＝ax2－2ax－1中，当 时， ，
抛物线与y轴的交点坐标为：
故答案为：直线x＝1， ；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得x－2 ＝ ax2－2ax－1，
则原方程可化为 ax2－（2a ＋1）x ＋1＝0，
由根的判别式可得
＝
∴直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a ＜ 0）一定存在两个交点；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x＝1，顶点坐标为 ，
∴当－2≤x≤2时，
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1， 1），
∴当x ＜ 1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵ 比 离对称轴 更远一些，即x＝－2时，y有最小值，
∴最小值是 ，
即y的最小值是 .
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最
值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
35．（1） ；（2） ，见解析；（3）2≤
【分析】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），利用抛物线顶
点式 ，把点C代入得 ，求得 即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1， <0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴
右侧y随x的增大而减小， 由 ，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 可得
；
（3）联立函数 消去y得 由
方程恒有两个实根，知△>0，即△=（m-2）2-4(n-3)，由（m-2）
2≥0，则-4(n-3)>0则n<3，由 ， ，可得
即 ，△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，n≥2，即
可得出结论．
【详解】
（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），
抛物线 ，把点C代入得，
，所以a=-1，，
所以 ；
（2）抛物线的对称轴为x=1， <0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴
右侧y随x的增大而减小，
当 ，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
与 有大小关系为： ；
（3）联立函数 ，
消去y得 ，
就是 的两个实数根，
方程恒有两个不等实根，
则△>0，
△=（m-2）2-4(n-3)，
（m-2）2≥0，-4(n-3)>0，则n<3，
∴ ，
∵ ，
，
即 ，
，
∴△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，
n≥2．
∴2≤n<3．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程的根与系数关
系，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，二次函数的性质增减性，一元二次方程的根与系
数关系是解题关键．
36．（1）证明见解析；（2）① ；② ， ．
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，
然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二
次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得
，从而可得 ，由此化简即可得；
②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得．
【详解】
（1）设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；（2）①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根与系数
的关系等知识点，正确理解黄金分割点的定义是解题关键．
