文档内容
专题 3-6 利用导函数研究方程的根（函数的零点）
目录
..................................................................................1
题型一：判断（证明）函数零点个数.............................................................................................1
题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点........................................................................9
题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)..........................................................15
题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）......22
题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明..................................................................32
题型六：导数解决函数隐零点问题...............................................................................................44
.............................................................50
题型一：判断（证明）函数零点个数
【典例分析】
例题1．（2022·河南·驻马店开发区高级中学高三阶段练习（文））已知函数
图象的对称中心为 ，则 的零点个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【详解】因为 ，所以
，即 ，所以
，即 ，所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，所以 图象的对称中心为 ，则 ， ，故
，则 ，则 在
上单调递减，因为 ， ，所以
在 上存在1个零点.因为 ， ，所以 在 上
存在1个零点，因为 ， ，所以 在 上存在1个零
点，当 时， ， ， ，所以 恒成立，所以函数 在
上没有零点，故 的零点个数为3，
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论函数
的零点的个数.
【答案】答案见解析
【详解】由 得 ， 设 ，
则 ，
令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减，
即当 时，g(x)取得极大值即 ，
由 ， 单调递增， 可得 与x轴只有一个交点，
由 ， 单调递减， 可得 与x轴没有交点，
画出 的大致图象如图， 可得m≤0或m= 时， 有1个零点；当0 时， 没有零点.
综上所述，当m≤0或m= 时， 有1个零点；
当0 时， 没有零点.
例题3．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)若 的图象在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
(2)当 时，判断 在 内有几个零点，并证明.
【答案】(1)
(2)1个，证明见解析
【详解】（1）由题， ，
则 ，即 ，
解得（2）当 时， 在 内有1个零点，证明如下：
由题，令 ，即 ，则 ，
设 ，所以 ，
因为当 时， ， ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
因为 ，当 时， ，
所以 ，
所以当 时， 与 在 内有一个交点，
即当 时， 在 内有1个零点.
【提分秘籍】
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或
方程根的个数)问题的一般思路:
(1)可转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图
象;
(3)结合图象求解.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调性，
第二步,证明端点的导数值异号.
【变式演练】
1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数 ，则函数 的零点个数
为_________．
【答案】2
【详解】 ，令 ，则 ．当 时， ，则 在 上单调递增；当 时， ，则
在 上单调递减，所以 ，当 ；当
，如下图所示：
所以 ，使得 ，使得 ，故有两个零点．
故答案为：2.
2．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求证：函数 有唯一的零点，并求出此零点；
(2)求曲线 过点 的切线方程．
【答案】(1)证明见解析，零点为0
(2)
(1)
函数 的定义域为 ， ，
令 ，而 ，
故 在 上单调递减，在 单调递增．
所以， ，即 ．
故 在 上是单调递增的．
又因为 ，因此，函数 有唯一的零点，零点为0．
(2)（2）显然，点 不在函数 图像上，不妨设切点坐标为 ．
又 ，即 ，消去 得，
由（1）知 ，则 ， ，
故所求的切线方程为： ．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)2个零点，理由见解析.
（1）
由 ，
而 ，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：
；
（2）
函数 的定义域为 ，
由（1）可知： ，
当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点；当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点，
所以函数f（x）有 个零点.
4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））设函数 为常
数).
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
【答案】(1)递减区间 ，递增区间 ；
(2)答案见解析.
（1）
当 时，由 求导得： ，显然函数 在
上单调递增，
而 ，则当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，
在 上递增，
所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
（2）
由（1）知函数 在 上递减，在 上递增， ，
令 ， ，求导得 ，函数 在 上单调递增，函数
在 上递减，
当 时， 取值集合为 ，函数 取值集合为 ，
因此函数 在 上的函数值集合为 ，当 时，函数 的取值集合为 ，函数 取值集合为 ，
因此函数 在 上的函数值集合为 ，
所以当 ，即 时，函数 无零点，当 时，函数 有一个
零点，
当 时，函数 有两个零点.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)求 的极值点个数；
(2)求函数 在区间 内的零点个数.
【答案】(1)1
(2)当 时， 有一个零点；当 时， 无零点.
【详解】（1）由题得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得极小值，无极大值，
故 的极值点个数为1.
（2）由题得 ，
令 ，得 .
令 ， ，
则 ，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在区间 内单调递减，区间 内单调递增，
所以 ，
所以当 ，即 时，直线 与 的图像有一个公共点，
即 有一个零点；
当 ，即 时，直线 与 的图像无公共点，
即 无零点.
题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点
【典例分析】
例题1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数
在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为 .
(1)求 的解析式；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，所以， .
当 ， 时， ，经检验可知，函数 在 处取得极值.因此， .
(2)
解：问题等价于 有三个不等的实数根，求 的范围.
由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，极小值为 ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
例题2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上有且只有一个零点，求 在 上的最大值与最小值的和．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
(1)，
当 时， ，∴ 在R上是单调增函数.
当 ，此时 ，当 或 时， ， 时， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， ，当 或 ， ， ， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在R上是单调增函数，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，又 ，
所以此时 在 内无零点，不满足题意；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在 内有且只有一个零点，所以 ，得 ，
所以 ,则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时, ， 单调递减.
则 ，则 ，
所以 在 上的最大值与最小值的和为 .【提分秘籍】
借助导数研究函数的单调性与极值后,通过极值（最值）的正负,函数的单调性判断函数图
象的走势,从而判断零点的个数.
【变式演练】
1．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 有三个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
(1)
当 时， ．
令 ，得 或 ．
所以 在 或 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 的极大值为 ．
当 时， ．
所以函数 在区间 的最大值为6．
(2)
依题意函数 ．
函数 有三个零点，等价于 的图象与x轴有三个交点，函数的极值点为：
，
因为 ，所以 在 处取得极大值 ； 函数取得极小值：
，解得 ．则实数a的取值范围为 ．
2．（2022·广东·高二阶段练习）已知函数 在 与 处都取得
极值.
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数 有三个不同的零点，求c的范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
，
解得 ，此时 .
当x∈ , 时, ， 单调递增，
当x∈ 时， , 单调递减，
满足在x= 与x= 处都取得极值、故
(2)
由(1)可知， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，即
的极大值为 ，
极小值为 ，要使函数 有三个不同零点,则 ，
∴ 为所求.
3．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 ，其中 ， 为常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有且仅有3个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
．
当 时， ， 或 , ， ,
当 时， ， 或 , ， ,
当 时， ，
综上，当 时， 在 ， 上单调递增， 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
(2)
由（1）可知， 有3个零点，
则 且 ，∴ ，
∴ ．
题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)
【典例分析】
例题1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数 是定义在 上的奇
函数，且当 时， ，若关于 的函数 恰有4个零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图，当 时， ， 在 上单调递减，在
上单调递增，
且当 时， ； 时， ；
又 是R上的奇函数， ，其函数图象如下所示：
的零点，即 的根；数形结合可知， 有 个根，故只需 与 的图象有一个交点即可.
即满足条件 或 ，解得 .
故选：A．
例题2．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知关于 的方程
有4个不等实数根，则 的取值范围是______．
【答案】
【详解】由 得 ,
由于 ，所以问题转化为 和 共有4个不同的交点，
记 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以
在 单调递减，在 单调递增，
故 ，又 因此，当 时， ，当 时，
，故 的图象如图所示，
要使为 和 共有4个不同的交点，则需要 且 ，
解得故答案为：
例题3．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的图像在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，则 ，切点坐标为 ，
则切线的斜率 ，则函数 的图像在 处的切线方程为
即 .
（2） ，
则 ，
，∴由 ，得 .
当 ， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故当 时，函数 取得极大值 ，
又 ， ，
且 ，∴ 在 上有两个零点需满足条件 ，
解得
故实数 的取值范围是 .
【提分秘籍】
转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
【变式演练】
1．（2022·北京通州·高三期中）已知函数 设 ，
若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 有两个零点，所以函数 的图象与函数
的图象有两个不同的交点.
函数 恒过定点 , ，如图所示，两个函数图象已经有一
个交点 .
时， ，其导函数 ，当直线 与函数 相切时，只有一个交点 ，此时 ，解得 ，则当 时，有两个交点.
时， ，其导函数 ，当直线 与函数
相切时，只有一个交点 ，此时 ，解得 ，
则当 时，有两个交点.
综上，要使函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 .
故选：D.
2．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数 ，若f（x）在
（0，+∞）内有零点，则a的取值范围为___________.
【答案】（0，1]
【详解】解： ，则
其中 令 ，则 为递增函数，
若 ，于是有 ，
设 ，
显然函数 是正实数集上的增函数， ，
则h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，则 ，则f（x）在
（0，+∞）内无零点，
若 ，有 ，
即 ，因为函数 比函数 的递增的速度快得多，
所以函数 存在大于0的函数值，则此时函数f（x）在（0，+∞）
内有零点.
故答案为：（0，1]
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数 有且只有一个零点，则
实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：问题等价于关于 的方程 有且只有一个解，
当 时，方程显然不成立，所以 ，
所以，问题等价于关于 的方程 有且只有一个解，
令 ，
所以问题转化为直线 与 的图像有且只有一个公共点.
，
因为 ，
所以，当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增；在 上单调递减，
所以 的极小值为 .
所以， 图像大致如图所示：
所以,当 时，直线 与函数 的图像仅有一个公共点，即 有且只有
一个零点，所以， 的取值范围为
故答案为：
4．（2022·天津·高三期中）已知函数 在点 处的切线斜率为
4，且在 处取得极值.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2) 或
【详解】（1）解：由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在点 处的切线斜率为4，
且在 处取得极值，
可得 ，即 ，
解得 ， 所以 ，
可得 ，令 ，解得 或 ．
解 ，得 或 ，即 在区间 上单调递增，在 上单调递
增；
解 ，得 ，即 在 上单调递减.
所以函数 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ， ．
（2）解：由（1）得， ，
则 ，由（1）知，
当 或 时，
当 或 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
所以，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使得 有两个零点，则满足 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 或 ．
题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）
【典例分析】
例题1．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数 ．(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有三个不同的根，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
当 时，函数 定义域为 ，
求导得： ，
则 ，而 ，则有 ，即 ，
所以所求切线方程为： ．
(2)
函数 定义域为 ，
求导得： ，
而方程 ，
则 有三个不同的根，即直线 与曲线 有三个公共点，
令 ，则 ，
当 时， ，当 或 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
因为 ， ，，
在同一坐标系内作出直线 及函数 的图象，
观察图象得，直线 与曲线 有三个公共点时， ，
所以a的取值范围是 ．
例题2．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 ，函数 与 轴有两个交点，求 的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【详解】（1）当 时， ，则 定义域为 ，
，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
极小值为 ，无极大值.（2）令 ，则 ，令 ，
与 轴有两个交点，则 与 的图象有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
，又 ，当 时， ，
可得 图象如下图所示，
由图象可得： ， 当 ，即 时， 与 的图象有两个不同
交点，
即实数 的取值范围为 .
例题3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）给定函数 .(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)画出函数 的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
(3)求出方程 的解的个数.
【答案】(1)函数的减区间为 ，增区间为 ，有极小值 ，无极大值；
(2)具体见解析；
(3)具体见解析.
(1)
， 时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为 ，无极大值.
(2)
作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当
时，函数增加得越来越快，当 时，函数越来越接近于0.
(3)
结合图象可知，若 ，则方程 有0个解；若 ，则方程有2个解；若 或 ，则方程 有1个解.
【提分秘籍】
转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：当 时， ，该函数的定义域为 ， ，
所以， ， ，
因此，曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）
解：①当 时， ，则 在 上单调递减，不合题意；
②当 时，由 可得 ，
令 ，其中 ，则直线 与曲线 在 内的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：增 极大值 减
所以，函数 在区间 的极大值为 ，且 ，
如下图所示：
由图可知，当 时，即当 时，
直线 与曲线 在 内的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有两个根，求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
（1）当 时，函数 定义域为 ，求导得： ，
则 ，而 ，则有 ，即 ，
所以所求切线方程为： ．
（2）
函数 定义域为 ，求导得： ，
而方程 ，则 有两个根即直线 与曲线 有两个公共
点，
令 ， ，则 ，当 时， ，当 时，
，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
因为 ，且当 时， ，在同一坐标系内作出直线 及函数 的
图象，如图，
观察图象得，直线 与曲线 有两个公共点时， ，
所以a的取值范围是 ．
3．（2022·广东·珠海市第二中学高二期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若方程 有三个不同的解，求a的取值范围.【答案】(1)详见解析
(2)
(1)
，
当 时， ，函数在 单调递增，
当 时， ，得
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
综上可知，当 时，函数在 单调递增，
当 时，函数的单调递增区间是 ，
函数的单调递减区间是
(2)由 ，化简为 ，
设 ，设 ，则 ，
，当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，函数 的最大值 ，画出函数 的图象，由图可知 与 的交点对应的 ，一正一负，
如图，画出函数 的图象，
当 ， 时，对应的 值有3个，
在 单调递增，当 时，
所以
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若函数 的图象与直线 仅有一个公共点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)增区间是： ， ，减区间是： ，极大值 ，极小值 ；
(2) 或 .
(1)
，
易得当 或 时， ，当 时， ，
∴函数的增区间是： ， ，减区间是： ，
当 时函数取得极大值 ，当 时，函数取得极小值 ；
(2)
画出函数图像，由图形知，当 或 时， 与 只有一个交点．
故 的范围 或 ．
题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明
【典例分析】例题1．（2022·河南·一模（文））已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【详解】 定义域为 ，
（1）①若 ，则 ， 在 单调递增；
②若 ，令 ， ，
当 ， ；当 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由（1）知
①当 时， 在 单调递增，至多1个零点，不合题意；
②当 时， ，
（i） ， ，无零点，不合题意；
（ii） ， ，1个零点，不合题意；
（iii） ， ，又 ，
且 ，
所以 在 ， 各有一个零点，综上， ．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个不同的零点(其中 为自然对数的底数).
（1）当 时，求证： ；
（2）求实数 的取值范围；
（3）若函数 的两个零点为 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析.
【详解】 当 时，要证 ，
只需证明 .
令 ，则 .
设 ， .
当 时， ，在 上， 为单调递减函数，
此时 ，所以原不等式成立.
，当 时， ，
当 时， .
可得 在 上为单调递减函数，在 上为单调递增函数，
所以 .
当 时， ，不合题意；
时， ，
若 ， ， ， ，
此时 至多有一个零点；当 时， ， ，
所以 在 上有唯一的零点.
又因为当 时，由（1）得 ，
由 得 ，
取 满足 且 ，则 ，
所以 在 上有唯一的零点，综上 .
（3）由题得
因为 ，所以
由（1）得当 时， ， ，
所以 ，
所以
因为 所以 所以 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，
所以
例题3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））设函数 ．(1)求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)答案见详解
(2) ，证明见解析
(1)
由 ， ，可得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得
所以 在 单调递减，在 单调递增；
(2)
证明：因为函数 有两个零点，由（1）得 ，
此时 的递增区间为 ，递减区间为 ， 有极小值 .
所以 ，可得 ,所以 .
由（1）可得 的极小值点为 ，则不妨设 .
设 ， ，则 则 ，
即 ，整理得 ，所以
，设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 .
【提分秘籍】
破解含双变量不等式的证明的关键
一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,
并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式;
二是巧构造函数,借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量
不等式,即可证得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，设函数 ．
(1)当 时，若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若对任意实数 ，函数 均有零点，求实数 的最大值；
(3)若函数 有两个零点 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）
解：当 时， ．．
当 时， ，则 在 上单调递增．当 时，若 ， ， 在 上不可能单调递增．．
所以 在 上单调递增，则 ．
（2）
解：
（ⅰ）当 时， ， 在 上单调递增． 有零点．
（ⅱ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
又当x趋近于 时，f(x)趋近于 ；x趋近于 时，f(x)趋近于 ；
所以只要 恒成立，则 恒有零点．
即 恒成立．
因为求 的最大值，不妨设 ， ．
设 ，则 ．
所以只要 ．
即 ，得 ．
所以 的最大值为 ．
（3）
解：由题意得：只要证 ．
设 ， ．
则 ， 是函数 的两根．．
当 时， ，与函数 有两个零点矛盾．
所以 ．所以当 时， ．
所以函数 在 上递增，在 上递减．
记函数 有图象关于直线 对称后是 函数的图象．
有 ．
则 ．
．
所以 时， ．
所以 ，即 ．
所以 ． ．
所以 ．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)求证：函数 存在两个零点（记为 ），且 ．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
（1）由
设 ，
因此当 时，函数 单调递增， ，
当 时， ，因此 ，所以 单调递增；
当 时， ，因此 ，所以 单调递减，
因此当 时， 有最小值，即 ；
（2）
由（1）可知： 在 时，单调递减，在 时，单调递增，
，因为 ， ，
所以函数 在 内有且只有一个零点，不妨设 ，在 内有且只有一个零点，设为
，即 ，即函数 有两个零点， 即
构造函数
，当 时， 单调递减，
因此有 ，即 ，
因为 ，所以 ，
而 ，因此 ，
因为 ，所以 ，因为 在 时，单调递减，所以由 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证：
．
【答案】（1）见解析
（2）证明过程见解析.
【详解】（1）由 ，可得 ，
当 时， ，函数 是实数集上的增函数，
当 时，令 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调
递减，
综上所述：当 时，函数 是实数集上的增函数，
当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减；
（2）由（1）可知：当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函
数 单调递减，所以函数有最小值，
最小值为： ，
因为函数 有两个不同的零点 ，不妨设 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以有 ，即 ，，
因为函数 有两个不同的零点 ，
所以 ，
因此
令 ，构造函数 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以当 时，函数 单调递减，故有 ，而 ，
所以 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （a为常数）．且 有两
个不同的极值点
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题 ， ， 有两个不同的极值点
，
即 有两个不同的零点 ，
且 在零点的附近两侧异号，记 ，
，当 时， 恒成立，
单调递增，不合题意，所以 ， ，
当 单调递减，
当 单调递增，
只需 最小值 ，解得 ；
（2）考虑函数 ，
，仅当 时， ，
所以 在 单调递增，
当 ， ，
不妨考虑： ， ，
，
所以 成立，同理可证当 时 成立，
所以 ，
的零点 ，
所以 ，
两式相加： ， ，两式作差： ，
，
所以 .
题型六：导数解决函数隐零点问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二单元测试）设 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）讨论 零点的个数；
（3）当 时，设 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）当 时， 有1
个零点，当 或 时， 有2个零点，当 时， 有3个零点.；（3）
.
【详解】（1） ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减.
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） 是 的一个零点，当 时，由 得， ，
，
当 时， 递减且 .
当 时， ，且 时， 递减， 时， 递增，故， .图象如图，
当 时， 有1个零点
当 或 时， 有2个零点；
当 时， 有3个零点.
（3） ，
所以： ，
当 时，设 的根为 ，即有 ，可得， ，
当 时， ， 递减.当 时， ， 递增.
所以：
，
∴ .
例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数 .
（1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断 的零点个数并说明理由；（3）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 无零点，理由见解析；（3） .
【详解】（1）当 时， ， ，
， 切线方程为 ，
即
（2）当 时， ，易知 在 单调递增，且
，
存在唯一零点 ，
且当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
对 两边取对数，得：
无零点.
（3）由题意得， ，即 ，
即 ，易知函数 单调递增， ，
0
单调递增 极大值 单调递减，令 ，则 ，令 得 ，
列表得， .
【提分秘籍】
函数隐零点在很多时候无法直接求出来，基本解决思路是：虚设零点，整体代换，数值估
算，等价转化，分离参数，反客为主。
【变式演练】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的零点及单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线 存在斜率为 的切线，且切点的纵坐标 ．
【答案】（Ⅰ）零点为 ,减区间为 ，递增区间为
；（Ⅱ）证明见解析.
试题解析:
（Ⅰ）函数 的定义域为 ．
令 ，得 ，故 的零点为 ．
（ ）．
令 ，解得 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
．
（Ⅱ）令 ，则 ．
因为 ， ，且由（Ⅰ）得， 在 内是减函数，
所以存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ．
所以曲线 存在以 为切点，斜率为 的切线．
由 得： ．
所以 ．
因为 ，所以 ， ．
所以 ．
2．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）当 时，若方程 在区间 上有唯一解，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3）
【详解】（1）当 时， ，
所以 ， .
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时， ，
所以 ．
当 时， ， ，
所以 .
所以 在区间 上单调递增．
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
（3）当 时， .
设 ， ，
因为 ， ,所以 .
所以 在区间 上单调递减．
因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使 ，即 .所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因为 ， ，又因为方程 在区间 上有唯一解，
所以 .
一、单选题
1．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）已知点P是曲线 上任意一
点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则使得 的点P的个数为（ ）.
A．0 B．仅有1个 C．仅有2个 D．至少有3个
【答案】B
【详解】解：由题意可知： ，求 的点 的个数即求 的
解的个数，即 的解的个数.
令 ，则 ，因为 ，所以 恒成
立，又 ，所以 恒成立，即 在 上单调递增；
所以 至多有一解，又 ，
，所以存在且只存在一点 ，使得 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若函数 在区间 上有
三个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D【详解】令 ，可得 .
在坐标系内画出函数 的图象（如图所示）.
当 时， .由 得 .
设过原点的直线 与函数 的图象切于点 ，
则有 ，解得 .
所以当直线 与函数 的图象切时 .
又当直线 经过点 时，有 ，解得 .
结合图象可得当直线 与函数 的图象有3个交点时，实数 的取值范围是
.
即函数 在区间 上有三个零点时，实数 的取值范围是 .选D.
3．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知函数 有两个零点
，对于下列结论：① ；② ；则（ ）
A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对
【答案】C【详解】因为函数 有两个零点 ，
所以 有两个根，即 ，
设 ， ，
当 时，解得 ，函数 单调递增；
当 时，解得 ，函数 单调递减，
，
当 趋向于正无穷时， 趋向于0，当 趋向于0时， 趋向于负无穷，
所以当 时， 与 有两个交点，故①正确；
由此可知 ，
因为 ，
若 ，即 .
即证 ，
当 趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.
故选：C
4．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在 上的函数 ，
若 的图像与 轴有4个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】因为 的图像与 轴有4个不同的交点，所以 与
有4个不同的交点，作出二者图像如下图：
易知直线 恒过定点 ，斜率为a，
当直线与 相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为 ，则
，解得 ，所以切线为 ，此时有三个交点；
当直线过点 时， ，此时有四个交点；
综上所述： ，
故选：A.
5．（2022·天津·高三期中）已知定义在R上的函数 ，若函数
恰有2个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 恰有2个零点，
所以 和 有两个交点.
作出函数 的图像如图所示：
因为 时， 和 相交，所以只需 和 再有一个交点.
.
当 时，若 与 相切，则有 的判别式
，此时 .
当 时，若 与 相切，则有 的判别式
，此时 .
当 时，若 与 相切，设切点为 .
则有 ，解得： .
所以要使函数 恰有2个零点，只需 或 或 ，解得：
或 或 .
故选：D
6．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）过点 有 条直线与函数
的图象相切，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设切点为 ，因为 ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，则 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数 的极小值为 ，极大值为 ，
且当 时， ，由题意可知，直线 与函数 的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，
因此， .
故选：B.
7．（2022·湖北·高三阶段练习）直线 与两条曲线 和 共有三个不
同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是 、 、 ，则下列关系式正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时，则有 ，
设函数 ，则 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
而 ，而 ，
如下图所示：因此曲线 的交点只有一个，
因此曲线 和 只有一个交点，
,
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
且当 时， ，且 ，图象如下图所示，
，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
且当 时， ，当 时， ，图象如下图所示，
当直线 经过曲线 和 唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三
个不同的交点，如上图所示，
则有 ，且 ，①对上式同构可得： ，
∵ ， 且函数 在 单调递增，∴ ， ②
又∵ ， ，且函数 在 上单调递减，
∴ ③
由方程②③可得： ，再结合方程①可得： ．
故选：D
8．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知当 时，函
数 的图像与函数 的图像有且只有两个交点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设可知，当 时， 与 有两个交点，等价于 有
两个根，
令 ，则 ，所以当 时，
，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增，故 ，
当 ， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ，如图；所以当 时，直线 与 的图像有两个交点，
即函数 的图像与函数 的图像有且只有两个交点.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，则实数 的值可以
是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AD
【详解】令 ，则有 ，令 ，则有
，
所以 在 上单减，在 上单增，当 时 ， ，
，当 时 ，故 有唯一零点即 或 .故选：AD
10．（2022·湖南·益阳市箴言中学高二开学考试）已知函数 在区间
内有唯一零点，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意有方程 在区间 内有唯一实数根，
即方程 在区间 内有唯一实数根，令 ，
，所以 在区间 内单调递增，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
故选：ABC
三、填空题
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数 有两个零点，则 的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：因为 有两个零点，
即 有两个零点 有两个解，
⇒
即y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，
令 （x R），
∈
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减；
所以 ，
又因当 时， ＝ ＜0，
当 时， ＝ ＞0，
当 时， ＝ ＝0，要使y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，
所以0＜ ＜ ，即
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
12．（2022·重庆南开中学模拟预测）若关于x的方程 有解，则实数a的取值
范围为________．
【答案】
【详解】 有解，即 ，令 ，
，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 的值域为
，故 的取值范围为 ．
故答案为： ．四、解答题
13．（2022·江苏·昆山震川高级中学高二阶段练习）已知函数 ， ，试
讨论函数 的零点个数.
【答案】当 时， 有唯一零点；当 时， 没有零点；当 时，
有两个零点.
【详解】解：由题意得：
的定义域为
当 时， ，
故 在 上无零点.
当 时，
令 ，则
令 可知：
当 时，
当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
故当 时， ， 是 的唯一零点；
当 时， ， 没有零点；
当 时，
令 ，故 有两个零点.
14．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知函数 （其中 ）.
（1）求函数 的极值点；
（2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极大值点为 ，极小值点为 ；（2） .
【详解】解：（1）因为函数 ，则定义域为 ，
且 ，令 ，解得 或 .
当 变化时， ， 变化情况如下表：
极小
极大值
值
因此函数 在 处取得极大值；在 处取得极小值，
所以函数 的极大值点为 ，极小值点为
（2）函数 有三个零点，等价于 的图象与 轴有三个交点
由（1）可知， 在 处取得极大值 ；
在 处取得极小值 ，
因为 的图象与 轴有三个交点则 ，
解得
故实数 的取值范围为
15．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））设函数 ，
．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；极小值
；（2）证明详见解析.
试题解析：（Ⅰ）由 ，（ ）得
.
由 解得 .
与 在区间 上的情况如下：
所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
在 处取得极小值 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在区间 上的最小值为 .
因为 存在零点，所以 ，从而 .
当 时， 在区间 上单调递减，且 ，
所以 是 在区间 上的唯一零点.
当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ，
所以 在区间 上仅有一个零点.
综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点.
16．（2022·上海市七宝中学高二期中）已知函数 , ,设
．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成
立，求实数 的最小值；
（3）是否存在实数m,使得函数 的图像与函数 的图像恰有
四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)
(3) 当 时， 的图象与
的图象恰有四个不同的交点
【详解】试题分析：解：（1） ，∵ ，由，∴ 在 上单调递增．
由，∴ 在 上单调递减．
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2），
恒成立
当 时， 取得最大值 ．
∴ ，∴
（3）若 的图象与 的图象恰有四
个不同得交点，即 有四个不同的根，亦即 有
四个不同的根．
令 ，
则
当x变化时，、 的变化情况如下表：
x
的符号 ＋ － ＋ －
的单调性由表格知： ，
画出草图和验证 可知，当 时， 与
恰有四个不同的交点．
∴当 时， 的图象与
的图象恰有四个不同的交点．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的最大值与最小值；
（Ⅱ）讨论方程 的实根的个数.
【答案】(1) 最小值是 ,最大值是 ;(2) 时，方程 有1个
实根； 时，方程 有3个实根.
【详解】
（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
令 得 ， 的变化如下表：
在 上的最小值是 ，
因为 ，
所以 在 上的最大值是 .
（Ⅱ） ，所以 或 ，
设 ，则 ， 时， ， 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数， ，
且 ，
（ⅰ）当 时，即 时， 没有实根，方程 有1个实根；
（ⅱ）当 时，即 时， 有1个实根为零，方程 有1个实
根；
（ⅲ）当 时，即 时， 有2不等于零的实根，方程 有3
个实根.
综上可得， 时，方程 有1个实根； 时，方程 有3个
实根.
