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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.8二次函数的应用（3）销售问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•大兴区期中）某种商品的价格是 2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，
经过两次降价后的价格 （单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化，则 关于 的函数解析式是
A． B． C． D．
【分析】利用增长率公式得到 ．
【解答】解：根据题意得 ，
故选： ．
2．（2021•博山区一模）某超市销售一种商品，发现一周利润 （元 与销售单价 （元 之间的关系满足
，由于某种原因，销售单价只能为 ，那么一周可获得最大利润是 元
A．1558 B．1550 C．1508 D．20
【分析】由函数解析式以及 的取值范围，根据函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：利润 与销售单价 之间的关系满足 ，
， ，
当 时， 取得最大值，最大值1558，
故选： ．
3．（2021秋•蜀山区校级月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 （件 与销售单价 （元 之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成
本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？
A．90元，4500元 B．80元，4500元 C．90元，4000元 D．80元，4000元
【分析】设每月所获利润为 ，按照利润 销售量 （售价 成本）列出二次函数，并根据二次函数的性
质求得最值即可．
【 解 答 】 解 ： 设 每 月 总 利 润 为 ， 依 题 意 得
，
，此图象开口向下，
当 时， 有最大值为4500元，
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
故选： ．
4．（2020•鼓楼区校级模拟）记某商品销售单价为 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为 元，
且 是关于 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为 55元或75元时，他每月均可获得销
售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则 与 的函
数关系式是
A． B．
C． D．
【分析】设二次函数的解析式为： ，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为： ，
当 ，75，80时， ，1800，1550，
，解得 ，
与 的函数关系式是 ，
故选： ．
5．（2020秋•沂水县期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利 （元 与降价金额 （元 之间满
足函数关系式 ，则获利最多为
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解答】解：对于抛物线 ，
，
时， 有最大值，最大值为1250，
故选： ．
6．（2020•武汉模拟）某超市对进货价为10元 千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量
（千克）与销售价 （元 千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是
A．180 B．220 C．190 D．200
【分析】由图象过点 和 ，利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润 每千克的利润
销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：设 ，由图象可知， ，解之，得： ，
；
设销售利润为 ，根据题意得，
，
，
有最大值，
当 时， ．
即当销售单价为20元 千克时，每天可获得最大利润200元，
故选： ．
7．（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数
（间 与定价 （元 间）之间满足 ．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人
入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到
实惠，应将房间定价确定为
A．252元 间 B．256元 间 C．258元 间 D．260元 间
【分析】根据：总利润 每个房间的利润 入住房间的数量 每日的运营成本，列出函数关系式，配方成
顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解答】解：设每天的利润为 元，根据题意，得：
，当 时， ，不是整数，
舍去，
当 或 时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又 想让客人得到实惠，
（舍去）
宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选： ．
8．（2020•海淀区校级一模）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生
产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润 （万元）和月份 之间满足函
数关系式 ，则没有盈利的月份为
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【解答】解： ， 且 为整数，
当 时， 或 ，
当 时， ，
故选： ．
9．（2018秋•包河区期中）某种商品每件进价为18元，调查表明：在某段时间内若以每件 元 ，
且 为整数）出售，可卖出 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为
A．18元 B．20元 C．22元 D．24元
【分析】根据销售问题关系式单件利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【解答】解：设总利润为 元，根据题意，得当 时， 有最大值，
即每件商品的售价为24元时，利润最大．
故选： ．
10．（2021•淄川区二模）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人
的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，
则这个旅游团的人数是
A．56 B．55 C．54 D．53
【分析】直接根据题意表示出营业额，进而利用配方法求出答案．
【解答】解：设一个旅行团的人数是 人，设营业额为 元，根据题意可得：
，
故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019春•西湖区校级月考）商场某种商品进价为120元 件，售价130元 件时，每天可销售70件；
售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若售价单价为 15 0 或 17 0 元，商场
每天盈利达1500元；该商场销售这种商品日最高利润为 元．
【分析】设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为 元，根据每件商品的盈利 销售的件数 商场的
日盈利，列方程求解即可；根据所列关系式，进而得出盈利与售价之间的关系，进而利用二次函数最值求
法求出即可．
【解答】解：设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为 元，
则每件商品比130元高出 元，每件可盈利 元，
每日销售商品为 （件 ，
依题意得方程 ，整理，得 ，
解得： ， ．
设该商品日盈利为 元，依题意得：
，
因为 ，所以 时， 有最大值，最大值为1600，
答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元；每件商品的销售价定为160元，最大利
润是1600元．
故答案为：150元或170元；1600．
12．（2019•市南区校级二模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出
100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．则商场按 9 5 元销售
时可获得最大利润．
【分析】直接利用销量 每件利润 总利润，进而求出答案．
【解答】解：设售价为 元，总利润为 ，根据题意可得：
，
故商场按95元销售时可获得最大利润2250元．
故答案为：95．
13．（2021•安徽模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 （元 与销售单价 （元
之间的关系满足 ，由于某种原因，价格的范围为 ，那么一周可获得的最大
利润是 155 8 元．
【分析】由当 时， 随 的增大而增大，由 的取值范围利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解： ，当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 取得最大值，最大值 ，
故答案为：1558．
14．（2021秋•长兴县月考）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的
房间空闲数 （间 与定价 （元 间）之间满足 ．若宾馆每天的日常运营成本为 5000
元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想
让客人得到实惠，应将房间定价确定为 25 6 元．
【分析】根据总利润 每个房间的利润 入住房间的数量 每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶
点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解答】解：设每天的利润为 元，根据题意，得：
，
当 时， ，不是整数，
当 或 时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又 想让客人得到实惠，
（舍去）
宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，
故答案为：256．
15．（2020秋•黄岛区期末）为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是 50元，
为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单
价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为 8 0
元时，可使每天所获销售利润最大．
【 分 析 】 设 销 售 单 价 为 元 时 ， 每 天 的 销 售 利 润 为 元 ， 由 题 意 得 ：，即可求解．
【解答】解：设销售单价为 元时，每天的销售利润为 元，
由题意得： ，
，
抛物线开口向下，
，对称轴是直线 ，
当 时， （元 ，
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，
故答案为：80．
16．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．
经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 1 1 元
时，才能使每天所获销售利润最大．
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：设销售单价定为 元 ，每天所获利润为 元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
17．（2019秋•大兴区期中）为贯彻落实《关于做好2019年城乡居民基本医疗保障工作的通知》，为了让
更多患者用上质优价廉药品，某省将现价每盒20元的 种药品进行降价，计划两年内每年的降价率都为 ，
那么，两年后 种药品每盒的价格 （元 是降价率 的函数，则这个函数的表达式是
（不写出自变量的取值范围）．
【分析】是增长率问题，一般用增长后的量 增长前的量 增长率）．
【解答】解： 现价每盒20元的 种药品进行降价，计划两年内每年的降价率都为 ，两年后 种药品每盒的价格 ，
故答案为：
18．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种
服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中
发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知
每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为 （元 ，该网络平台的日销
售量为 （件 ．则下列结论正确的是 ①③④ （填写所有正确结论序号）．
① 与 的关系式是 ；
② 与 的关系式是 ；
③设每天的利润为 元，则 与 的关系式是 ；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元
时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
【分析】根据 可对①②进行判断；
根据每天的利润 每件服装的利润 销售量可对③进行判断；
根据二次函数的最值可对④作出判断．
【解答】解： ，
①正确，②错误；
；
③正确；
，
，每件售价不得低于210元，
所以当 时，每天利润最大是7920元，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•香坊区校级月考）商场销售一批衬衫，每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
决定取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．设每件衬衫降价
元，每天盈利 元．
（1）求出 与 之间的函数关系式；（不需写自变量的取值范围）
（2）求出每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
【分析】（1）根据每天盈利等于每件利润 销售件数得到 ，整理即可；
（2）把 配成顶点式得到 ，然后根据二次函数的最值问题即可得
到答案．
【解答】解：（1）由题意，得：
，
所以 与 之间的函数关系式为 ；
（2）
，
，
当 时， 有最大值，其最大值为1250，
所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．
20．（2021秋•泰兴市月考）第二十届省运会将于2022年在泰州举行，运动会纪念徽章在网上进行销售．
平均每天可售出100枚，每枚售价20元．为了扩大销售，现采取了降价措施，在每枚售价不少于 15元的
前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，若每枚商品降价 为正
数）元．
（1）降价后平均每天销售数量为 枚（用含 的代数式表示）， 的取值范围是 ；（2）若该网店每天销售额为2160元时，求 的值．
【分析】（1）根据降价前平均每天可售出100枚，销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，得出
降价 元，每天的销售量，再根据每枚售价不少于15元求出 的取值范围；
（2）根据销售额 单价 销售量列出方程并求解，取小于5的解即可．
【解答】解：（1） 销售单价每降低1元，平均每天可多售出10枚，
每枚商品降价 元，平均每天多售出 枚，
降价前平均每天可售出100枚，
降价后平均每天可售出 枚，
每枚售价不少于15元，降价后售价为 元，
，
解得： ，
故答案为： ， ；
（2）由（1）知： ，
整理得： ，
解得： ， ，
，
．
21．（2020•无锡一模）水果店购进某种水果的成本为10元 千克，经市场调研，获得销售单价 （元 千
克）与销售时间 ， 为整数）（天 之间的部分数据如表：
1 4 5 8 12
销售时间 ， 为整数）（天
销售单价 （元 千克） 20.25 21 21.25 22 23
已知 与 之间的变化规律符合一次函数关系．
（1）试求 关于 的函数表达式；
（2）若该水果的日销量 （千克）与销售时间 （天 的关系满足一次函数 ， 为整
数）．①求销售过程中最大日销售利润为多少？
②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠 元利润 给“精准扶贫”对象．现发
现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围．
【分析】（1）设 ，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润 日销售量 每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
（3）列式表示前12天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求 的取值范围．
【解答】解：（1）设 与 之间的变化的一次函数关系为： ，
将点 、 代入上式得： ，解得： ，
故 关于 的函数表达式为： ， 为整数）；
（2）①设日销售利润为 ，
由题意得： ， 为整数），
，故 有最大值，当 时， 的最大值为1250；
故销售过程中最大日销售利润为1250元；
②设捐赠后的日销售利润为 ，
由题意得： ，
则抛物线的对称轴为 ，
在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，
，
．
又 ，
的取值范围为 ．
22．（2021秋•沈北新区校级月考）十一前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为25元 件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于 ，分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销
售量 （件 与销售单价 （元 件）近似的满足一次函数关系，数据如表：
（1）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（2）由于过节销售火爆，采购的鲜花礼盒到十一假期的第三天就已经售罄，花店决定再采购一批礼盒，
由于假期物流等成本增加，该种鲜花礼盒成本上涨到 30元 件，但是为回馈大家对花店的支持，花店决定
后采购的鲜花礼盒每盒获得的利润率不高于 ，同时花店承诺：每销售一件后采购的鲜花礼盒就捐赠
元 给“爱心基金”．后采购的这批鲜花礼盒若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，且
销售单价为整数，求 的取值范围．
销售单价 40 50 60
（元 件）
每天销售量 300 250 200
（件
【分析】（1）设 与 的函数关系式为 ，用待定系数法求解即可，再设每天获得的利润
为 元，根据利润等于每件的利润乘以销售量可得 关于 的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案；
（2）设 表示扣除捐款后的日利润，根据利润等于每件的利润乘以销售量可得 关于 的函数关系式，
根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设 与 的函数关系式为 ，
把 ， 和 ， 分别代入得：
，
解得： ，
与 的函数关系式为 ，
设每天获得的利润为 元，则，
，
，
抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，为6250，
销售单价为60元时，销售利润最大，最大利润为6250元；
（2）设 表示扣除捐款后的日利润，
，
，
，
随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大，
在 范围内， 随 的增大而增大，
开口向下，对称轴是直线 ，
，
解得 ，
，
．
23．（2021•射阳县二模）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在 25元到45元之间．专卖店
在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本 （单位：元）与销售件数 （单位：件）成正比例．同
时每天的销售件数 与销售价格 （单位：元 件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销
售 产品的一些数据．
销售价格 （单 25 30 32 38
位：元 件）
销售件数 （单 35 30 28 22
位：件）销售成本 （单 210 180 168 132
位：元）
（1）直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）若一天的销售利润为 ，当销售价格 为多少时， 最大？最大值是多少？
（3）该专卖店以每件返现 元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当 元 件时，一天可获
得的利润为600元，求 的值．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求得成本 与销售件数 之间的函数关系式，进而得出 关于 的函数关系式，则可写
出 关于 的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据 得出 关于 的二次函数，写成其对称轴，让其等于40，可解得 的值．
【解答】解：（1） 与 之间满足一次函数关系，
设其解析式为 ，
将 ， 代入，
得 ，
解得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
（2） 销售 产品的成本 （单位：元）与销售件数 （单位：件）成正比例，
设其解析式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
，，
当 时， 最大，最大值为729．
当销售价格 为33元时， 最大，最大值是729元；
（3）由题意得：
，
把 ， 代入得 ．
答： 的值是4．
24．（2020•邗江区一模）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的
销售进行预测，并建立如下模型：设第 个月该原料药的月销售量为 （单位：吨）， 与 之间存在如图
所示的函数关系，其图象是函数 的图象与线段 的组合；设第 个月销售该原料药每吨
的毛利润为 （单位：万元）， 与 之间满足如下关系：
（1）当 时，求 关于 的函数表达式；
（2）设第 个月销售该原料药的月毛利润为 （单位：万元）
①求 关于 的函数表达式；
②未来两年内，当月销售量 为 2 3 时，月毛利润为 达到最大．【分析】（1）设 时， ，将 、 代入求解可得 ；
（2）直接利用每件利润 总销量 总利润，进而得出代数式求出即可．
【解答】解：（1）设 时， ，
将 、 代入，得： ，
解得： ，
当 时，求 关于 的函数解析式为： ；
（2）①当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述， 关于 的函数解析式为： ，
②当 时， ；
当 时， ，
时， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值为448，
当 时， ，
当 时， 取得最大值529，
时， 取得最大值
此时 ．
故答案为：23．
