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专题 2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（知识讲解）
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、
开口方向等概念；
3．掌握二次函数y=ax2(a≠0) 的图像的性质。
【要点梳理】
要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，
这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这
条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物
线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图像
的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数
y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变
量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
特别说明：二次函数y=ax2(a≠0)的图像．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图像，该图
像是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图
像左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，
y
5）与 轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：
函数 图像 开口方 顶点坐标 对称 函数变化 最大（小）
向 轴 值y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增 当x=0
大而增大； 时，y =0
最小
x<0时，y随x增
大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增 当x=0
大而减小； 时，y =0
最大
x<0时，y随x增
大而增大.
特别说明：
a
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的
开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形
状相同.
│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近
x轴.
【典型例题】
类型一、
1． ．画函数 的图像．
【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．
解：列表：
描点、连线如下图所示：【点拨】本题考查了图像的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及
函数图像的作法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】画出二次函数y＝x2的图像．
【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图像即可．
解：函数y＝x2的图像如图所示：
【点拨】本题考查了二次函数的图像的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵
活运用．
【变式2】 画出二次函数y=﹣x2的图像．【解析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图像．
解：列表：
描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；
连线：用平滑的线顺次连接，如图：
【点拨】本题考查了二次函数图像，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．
类型二、
2．如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是① y＝ax2；② y＝bx2；③ y＝
cx2；④ y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．
【答案】a＞b＞d＞c
【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图像，比较各对应点纵坐标的大小．解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），
（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点拨】本题考查了二次函数的图像，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
举一反三：
【变式1】如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的
坐标.
1
【答案】a= , B（2,2）
2
【解析】先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐
标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.
试题解析：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：
16a=8
1
∴a=
2
1
∴y = x 2.
2
1
再把点B（2，n）代入y= x 2得：
2
n=2.
∴B（2,2）.
考点：二次函数的性质.
【变式2】已知四个二次函数的图像如图所示，那么a，a，a，a 的大小关系是_____．
1 2 3 4
（请用“＞”连接排序）
【答案】a＞a＞a＞a
1 2 3 4【分析】
直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝ax2的开口小于②y＝ax2的开口，则a＞a＞0，
1 2 1 2
③y＝ax2的开口大于④y＝ax2的开口，开口向下，则a＜a＜0，
3 4 4 3
故a＞a＞a＞a．
1 2 3 4
故答案是：a＞a＞a＞a
1 2 3 4.
【点拨】考查了二次函数的图像，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
类型三、
3、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图像交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方
向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
解：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：
举一反三：
【变式】已知函数 是关于x的二次函数．
（1）求m的值．（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】（1）m＝−4，m＝1；（2）当m＝−4时，该函数图像的开口向下；（3）当m
1 2
＝1时，函数为 ，该函数有最小值，最小值为0．
【分析】
（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数有最小值；
解：（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0，
解得：m＝−4，m＝1；
1 2
（2）∵函数图像的开口向下，
∴m＋3＜0，
∴m＜−3，
∴当m＝−4时，该函数图像的开口向下；
（3）∵m＝−4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞−3，
∵m＝−4或1，
∴当m＝1时，函数为 ，该函数有最小值，最小值为0．
【点拨】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是
解题的关键．
类型四、
4、已知 是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而
增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.
【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所
以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数
性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向
下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可
求得最大值和函数单调区间．解：(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为 ，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而
增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为 ，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质
是解题关键，是基础题型．
举一反三：
【变式1】已知 是二次函数，且函数图像有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x
＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图像有最高点，得出k+2
＜0，即可得出k的值；
（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数
顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵ 是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3
或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，
y随x的增大而减少．
【变式2】已知函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增
大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大
而减小？
【答案】（1） ；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】
（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的
值；
（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条
件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；
（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调
区间．
解：（1）∵函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，
∴k满足 ，且k﹣2≠0，
∴解得： ；
（2）∵抛物线有最高点，
∴图像开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，
∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，
∴图像开口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，
∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函
数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，
熟练掌握二次函数图像的性质．
类型五、
5、如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线 上，且 轴.A点坐标为
（a,-4），C点坐标为（3,b）.
（1）求a，b的值；
（2）求B，D两点的坐标；（3）求梯形的面积.
【答案】（1） , ；（2） ， ；（3）25.
【分析】
（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值；
（2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标；
（3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.
解：（1）当 时，
，
∴ .
∵点A在第三象限，
∴ .
当 时， ，
∴ .
（2）∵ 轴，
∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同.
∵ 关于y轴对称，
∴ ， .
（3）由题意，得 梯形的高为5，
∴ .
【点拨】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，若抛物线 与直线 交于点 和点
，其中 ，点 为原点，求 的面积.
【答案】 .【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线 与y轴的交点坐标，再根据三
角形的面积公式即可得出答案．
解：由题意得：
解得： 或
∵点 和点 ，其中
∴ ，
直线 与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
【点拨】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图像的交点坐标．
【变式2】抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a
为何值时，△AOB为直角三角形．
【答案】
【分析】
先求出AB两点坐标，再根据△AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a的方程
进行求解.
解：∵x=-1,∴y=a,
∵x=2,∴y=4a，
∴A（-1，a）,B（2，4a）
当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，
即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2= ，
∴a= ，
∵a 0, ∴a= .
当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a= 1，
∵a 0, ∴a=1，
∵AO2=1+a2 9+9a2= AB2，AO2=1+a2 4+16a2= OB2∴AO不是斜边，∴a= 或1.
【点拨】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.
