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专题2.4 不等式的解集与一元一次不等式（知识讲解）
【学习目标】
1. 认识不等式解集的概念并会在数轴上表示解集；
2. 理解一元一次不等式的概念；
3.会解一元一次不等式．
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
特别说明：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．
不等式的解集 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个
范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个
解．如图所示：
特别说明：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要
注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点
是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方
向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
要点二、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
特别说明：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整
式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接
不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点三、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
x<a（或x>a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；
(3)移项；(4)化为 （或 ）的形式（其中 ）；(5)两边同除以未知数的系
数，得到不等式的解集.
特别说明：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它
对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
特别说明： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】类型一、不等式的解集
1．将下列不等式的解集在数轴上表示出来．
（1） （2） （3） （4）
【分析】（1）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后大于向右画，在-1处为空
心圆点；
（2）先将数轴画出来，然后找到-2这一点，然后小于向左画，在-2处为实心圆点；
（3）先将数轴画出来，然后找到0这一点，然后大于向右画，在0处为实心圆点；
（4）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后小于向左画，在-1处为空心圆点．
解：如图所示.
【点拨】本题主要考查用数轴表示不等式的解集，掌握数轴的知识及大于向右画，小
于向左画，有等号画实心圆点，没有等号画空心圆点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】对于x≥1的一切实数,不等式 ≥a都成立,试求a的取值范围.
【答案】
【分析】将x=1先带入不等式 ≥a中，解不等式即可得到答案.
解：不等式可得x≥3a,由题意知3a≤1,即a≤ .
【点拨】此题重点考查学生对不等式解法的理解，把握不等式的解法是解题的关键.
【变式2】请用不等式表示如图的解集．【答案】（1）x＜﹣1；（2）x≥1；（3）x≤﹣1；（4）x＞3．
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．
解：（1）由数轴表示的不等式的解集，得 ；
（2）由数轴表示的不等式的解集，得 ；
（3）由数轴表示的不等式的解集，得 ；
（4）由数轴表示的不等式的解集，得
类型二、一元一次不等式的定义
2．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？
（1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3） ；（4） ≥2；（5）2x+y≤8
【答案】（2）、（3）是一元一次不等式
【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未
知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据
定义逐一判断即可．
解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一
元一次不等式，
所以一元一次不等式有：（2）、（3）
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题
的关键.
举一反三：
【变式1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ．
【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式．
【分析】根据不等式的定义即可依次判断．
解：（1） 是不等式；
（2） 是不等式；
（3） 是不等式；
（4） 是等式；
（5） 是代数式；
（6） 是不等式．
故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式．
【点拨】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点．
【变式2】若(m-2) -2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值．
【答案】m=-2
【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答.
解：∵不等式(m-2) -2≥7是关于x的一元一次不等式，
∴m2-3=1，m-2≠0，
解得m=-2
当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式
【点拨】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本
题的关键．
类型三、求一元一次不等式的解集
3．解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，图见解析
【分析】根据题意先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．解： ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
【点拨】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等
式的解集是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】甲同学解答“解不等式： ≤1”的过程如下，请指出解答过程中
错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6…①
去括号，得3+3x﹣4x+1≤6…②
移项，得3x﹣4x≤6﹣3﹣1…③
合并同类项，得﹣x≤2…④
两边都除以﹣1，得x≤﹣2…⑤
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1依次计算可得．
解：答错误的步骤是②、⑤，
正确的解答过程是：
去分母得：3（1+x）﹣2(2x+1)≤6…①，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6…②，
移项得：3x﹣4x≤6﹣3+2…③，
合并同类项得：﹣x≤5…④，
两边都除以﹣1得：x≥﹣5…⑤．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解
答本题的关键．去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是
负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变．【变式2】解不等式 ，并将解集在数轴上表示；
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】先去分母，然后再求解一元一次不等式即可．
解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
数轴表示如下：
【点拨】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解
题的关键．
类型四、求一元一次不等式的整数解
4．求不等式64－11x＞4的正整数解．
【答案】1，2，3，4，5
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．
解：移项得：-11x＞4-64，
合并同类项得：-11x＞-60，
∴不等式的解集为x＜ ，
∴正整数解为1，2，3，4，5．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能求出不等式的解集是解
此题的关键．
举一反三：【变式1】已知关于x的方程 的解是非负数，m是正整数，求m的值．
【答案】m的值为1或2
【分析】先求出方程 的解，再由x为非负数，可得到关于 的不等式，
解出即可．
解：
去分母得： ，
解得：x＝ ，
因为x为非负数，
所以 ≥0，即m≤2，
又m是正整数，
所以m的值为1或2．
【点拨】本题主要考查了方程的解和解一元一次不等式，根据题意得到关于 的不
等式是解题的关键．
【变式2】m取什么数值时，方程组 的解 ，
（1）是正数；
（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解．
【答案】（1）m＞-4，方程组的解是正数；（2）当m=-3，-2，0时方程组的解是正整
数，所有正整数解为： ， ， ．
【分析】（1）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，得到关于
m的一元一次不等式组，求出m的取值范围；
（2）再找出符合条件的正整数m的值即可．解：（1）方程组 的解为： ，
∵方程组的解是正数，
∴m＞-4；
（2）∵方程组的解是正整数，m＞-4，
∴m=-3，-2，0，
它的所有正整数解为： ， ， ．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式，解答此题的关键是先
把m当作已知表示出x、y的值，再根据方程组有正整数解得出关于m的不等式组，求出m
的正整数解即可．
类型五、求一元一次不等式的最值
5．已知 ，且 ，求 的最小值．
【答案】5
【分析】根据题意解一元一次不等式，求得 的范围化简绝对值进而求得代数式的最
值．
解： ，且 ，
，
解得 ，
当 时， ，
，则 ．
故 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，求得 的范围解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知： 是不等式 的最大整数解， 是不等式
的最小整数解，求 的值．
【答案】1【分析】先解关于 的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定 的
值，同理求得 的值，进而求得代数式值．
解：不等式 的解集 ，则最大整数解 ；
不等式 的解集 ，则最小整数解 ；
则 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等
式求得 的值是解题的关键．
【变式2】疫情期间为了满足测温的需求,某学校决定购进一批额温枪．经了解市场,购
买 种品牌的额温枪每支300元, 种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商, 种品牌的
额温枪降价15%, 种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费
用不超过13000元,则至少要购买 种品牌的额温枪多少支？
【答案】 种品牌的额温枪至少购买40支
【分析】设购买 种品牌的额温枪 支,则购买 种品牌的额温枪 支,根据总价=
单价×数量结合总费用不超过13000元,即可得出关于 的一元一次不等式,求出解集并找出
其中的最小值即可得出结论．
解：设购买 种品牌的额温枪 支,则购买 种品牌的额温枪 支,
依题意得: ,
解得: ．
答: 种品牌的额温枪至少购买40支．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用,解题的关键是根据各数量之间的关系,正确
列出一元一次不等式,并求出不等式的解集．
类型六、求绝对值不等式的解集
6．阅读：我们知道， 于是要解不等式 ，我们可以分两
种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当 ，即 时：解这个不等式，得：
由条件 ，有：
（2）当 ，即 时，
解这个不等式，得：
由条件 ，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，
解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2
解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1
解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，
解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点拨】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】解不等式：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；
（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.
解：（1）∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
原不等式变形为： 或 ，
解得： 或 ．
【点拨】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.
【变式2】解下列不等式：
（1） （2）
【答案】（1） 或 ；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
解：（1）
当 时，则 ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， 或 ；（2）
当 ，即 时， ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
类型七、列一元一次不等式
7．阅读理解：
我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc，如 ＝2×5﹣3×4
＝﹣2．如果有 ＞0，求x的解集，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞1，数轴表示见解析
【分析】首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到2x﹣（3﹣x）＞0，然后去
括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．
解：由题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号得：2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：3x＞3，
把x的系数化为1得：x＞1，
解集在数轴上表示如下：．
【点拨】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意列出一元一次不等式是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以
树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围约为8cm，以后树围每年增加约
4cm，这棵树至少生长多少年（年数取整数），其树围才能超过2m？
【答案】49年
【分析】设这棵树生长x年，根据栽种时的树围约为8cm，以后树围每年增加约
4cm，其树围才能超过2m列出不等式解答即可．
解：设这棵树生长x年，其树围才能超过2m，由题意得
8+4x＞200
解得：x＞48
∵x是整数，
∴x＝49．
答：这棵树生长49年，其树围才能超过2m．
【点拨】此题考查一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系
是解决问题的关键．
【变式2】已知代数式 与代数式 的值的差大于4，求 的最大整数解．
【答案】-2
【分析】先根据题意列出不等式，再解不等式，最后确定 的最大整数解即可．
解：由题意得 ，
解得 ，
∴ 的最大整数解为-2．
【点拨】本题考查了列不等式，解不等式，正确列出不等式并求解是解题关键．
类型八、用一元一次不等式解决实际问题
8．某乒乓球馆将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价40元．
经洽谈后，甲商店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙商店全部按定价的9折优惠．该球馆需
买球拍5副，乒乓球若干盒（大于5盒）．
（1）如果购买5副球拍和6盒乒乓球，则在甲商店购买需花费 元，在乙商店
购买需花费 元；
（2）当购买乒乓球多少盒时，在两家商店花费金额一样；
（3）当购买乒乓球多少盒时，在乙商店购买划算．
【答案】（1）1040，1116 （2）当购买乒乓球25盒时，在两家商店花费金额一样
（3）当购买乒乓球大于25盒时，在乙商店购买划算
【分析】（1）甲：根据买一副球拍赠一盒乒乓球可知只要付5副球拍和1盒球的金额；
乙：先算所有的，再计算9折后的金额；
（2）设有x盒乒乓球，然后将两个商店的需要的金额计算出来，再列出方程计算得到
x的值；
（3）令乙商店的金额小于甲商店的金额列出不等式，然后解不等式．
解：（1）甲：∵买一副球拍赠一盒乒乓球，
∴只需付5副球拍和1盒球的金额，
∴需花费200×5+40×1＝1040（元），
乙：0.9×（200×5+40×6）＝1116（元）．
故答案为：1040，1116．
（2）设有x盒乒乓球，由题意得，
甲：200×5+40（x﹣5）＝800+40x（元），
乙：0.9（200×5+40x）＝900+36x（元），
∵在两家商店花费金额一样，
∴800+40x＝900+36x，
解得：x＝25，
答：当购买乒乓球25盒时，在两家商店花费金额一样．
（3）由（2）得，甲店需要（800+40x）元，乙店需要（900+36x）元，
∵在乙商店购买划算，
∴800+40x＞900+36x，
解得：x＞25，答：当购买乒乓球大于25盒时，在乙商店购买划算．
【点拨】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理
解题意用含有x的式子表示甲乙两个商店所需金额．
举一反三：
【变式1】在新型冠状病毒疫情影响下，武汉医疗物资紧缺，某机构派甲、乙两种运
输车共10辆．已知甲种运输车载重 ，乙种运输车载重 ，运往武汉的救援物资不少于
，则甲种运输车至少应安排多少辆？
【答案】甲种运输车至少应安排6辆．
【分析】设应安排甲种运输车x辆，则安排乙种运输车（10−x）辆，根据运往武汉的
救援物资不少于91t，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得
出结论．
解：设应安排甲种运输车x辆，则安排乙种运输车（10−x）辆，
依题意得：10x＋8（10−x）≥91，
解得：x≥ ．
又∵x为整数，
∴x的最小值为6．
答：甲种运输车至少应安排6辆．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式是解题的关键．
【变式2】南山荔枝，广东省深圳市南山区特产，中国国家地理标志产品，品种多样．
共有6个品种，“糯米糍”和“妃子笑”是其中两个品种．某水果商从批发市场用8000元
购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克，“糯米糍”的进价比“妃子笑”的进价每千
克多20元．“糯米糍”售价为每千克40元，“妃子笑”售价为每千克16元．
（1）“糯米糍”和“妃子笑”的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚
了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了“糯米糍”和“妃子笑”各
200千克，进价不变，但在运输过程中“妃子笑”损耗了20%．若“妃子笑”的售价不变，
要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚的钱，“糯米糍”的售价最少应为多少？
【答案】
（1）“糯米糍”的进价是30元/千克，“妃子笑”的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元钱．
（2）43.2元/千克
【分析】（1）设“糯米糍”的进价是x元/千克，则“妃子笑”的进价是（x﹣20）
元/千克，根据某水果商从批发市场用8000元购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入（x﹣20）中可求出“妃
子笑”的进价，再利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出全部售出后获
得的利润；
（2）设“糯米糍”的售价应为m元/千克，根据总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总
价，结合第二次赚的钱不少于第一次所赚的钱，即可得出关于m的一元一次不等式，解之
取其中的最小值即可得出结论．
（1）解：设“糯米糍”的进价是x元/千克，则“妃子笑”的进价是（x﹣20）元/千克，
依题意得：200x+200（x﹣20）＝8000，
解得：x＝30，
∴x﹣20＝10．
200×40+200×16﹣8000＝3200（元）．
答：“糯米糍”的进价是30元/千克，“妃子笑”的进价是10元/千克，销售完后，该
水果商共赚了3200元钱．
（2）设“糯米糍”的售价应为m元/千克，
依题意得：200m+200×（1﹣20%）×16﹣8000≥3200，
解得：m≥43.2，
答：“糯米糍”的售价最少应为43.2元/千克．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式．
类型九、用一元一次不等式解决几何问题
9．已知等腰三角形周长为20．
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析【分析】（1）根据等腰三角形周长=腰长的二倍+底边长，即可写出其关系式；
（2）根据三角形三边关系及其周长，即可得出关于x的不等式组，求出x的解集即可；
（3）先求出函数图象的端点坐标，再根据图象的端点画出直线即可，注意自变量取值
范围，图象应不包含端点．
解：（1）根据该等腰三角形周长为20，腰长为x，底边长为y，
得： ，
即 ；
（2）根据三角形三边关系可得出： ，即
解得： ；
（3）当 ， ，
当 ， ，
故函数图象如图：
【点拨】本题考查一次函数的实际应用，三角形三边关系，解一元一次不等式组．掌
握一次函数解析式的表示方法及其图象画法是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为
.如 = .如果有 ，求x的取值范围．
【答案】x＞1.
【分析】首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到2x﹣（3﹣x）＞0，然后去
括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．解：由题意得2x﹣(3﹣x)＞0，
去括号得：2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：3x＞3，
把x的系数化为1得：x＞1，
解集在数轴上表示如下：
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，有理数的混合运算和在数轴上表示不等式
的解集，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
【变式2】已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为 ．
【答案】（1）它的三边长分别为 ；（2）7．
【分析】（1）分① 和② 两种情况，分别解方程求出 的值，再根
据三角形的三边关系定理即可得出答案；
（2）先根据 和 可得 和 ，再分 ， 和
三种情况，分别根据三角形的三边关系定理，结合 为正整数即可得．
解：（1）由题意，分以下两种情况：
①当 ，即 时，
这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为 ，
，
满足三角形的三边关系定理，符合题意；
②当 ，即 时，
这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为 ，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去；
综上，它的三边长分别为 ；
（2） 这个三角形的三条边都不相等，
和 ，
解得 和 ，①当 时，长为 的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得： ，
解得 ，不符题设，舍去；
②当 时，长为 的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得： ，
解得 ，
则此时 的取值范围是 ，
为正整数，
此时 ；
③当 时，长为 的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得： ，
解得 ，
则此时 的取值范围是 ，
为正整数，
此时 的所有可能取值是 ；
综上，符合条件的 的所有可能取值是 ，
则所求的 的最大值是7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的
应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
类型十、数轴上表示一元一次不等式解集
10．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ，数轴见解析；（2） ，数轴见解析
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可．
解：（1）去括号，得 ．移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，能正确求
出不等式的解集是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】解下列不等式并将解集表示在数轴上．
（1）4（x﹣1）+3＞3x； （2） ﹣ ≤1．
【答案】（1）x＞1；（2）x≥﹣2．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴
上即可；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴
上即可．
解：（1）去括号得： ＞3x，
移项得： ＞ ，
合并得：x＞1；（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，熟知①去分母；②去括号；③移项；④合
并同类项；⑤化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式2】解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤2，见解析
【分析】准确求解一元一次不等式，在进行表示即可；
解： ，
，
，
，
解集表示如图所示：
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的求解和不等式的解集表示，准确计算是解题的
关键．
