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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.1二次函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•遂宁期末）下列各式中， 是关于 的二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解析】 、是一次函数，故 错误；
、二次函数都是整式，故 错误；
、是二次函数，故 正确；
、是一次函数，故 错误；
故选： ．
2．（2020秋•阜宁县期末）下列函数中，不是二次函数的是
A． B．
C． D．
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．
【解析】 、 是二次函数；
、 ，是二次函数；
、 ，是二次函数；
、 ，是一次函数；
故选： ．3．（2021•饶平县校级模拟）若 是关于 的二次函数，则 的值为
A． B．1 C． 或1 D．2或1
【分析】根据 是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
【解析】若 是关于 的二次函数，则 且 ．，
解得： 或 ．
故选： ．
4．（2020秋•萧山区月考）某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为 ，则该工厂3月
份的产值 与 之间的函数解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据平均每月产值的增长率为 ，即可得出2月产值为 万元，3月产值为
万元，由此即可得出结论．
【解析】设平均每月产值的增长率为 ，3月份的产值为 ，
则 ．
故选： ．
5．（2020秋•武侯区校级月考）下列函数关系式中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义：形如 、 、 是常数， 的函数，叫做二次函数求解
可得．
【解析】 ． 是一次函数，不符合题意；
． 不一定是二次函数，当 时不是二次函数，不符合题意；
． 是反比例函数，不符合题意；． 是二次函数，符合题意；
故选： ．
6．（2020秋•肇州县期末）已知 是关于 的二次函数，那么 的值为
A． B．2 C． D．0
【分析】根据形如 是二次函数，可得答案．
【解析】 是 关于 的二次函数，
且 ．
解得 ．
故选： ．
7．（2020秋•肇源县期末）若函数 是二次函数，那么 的值是
A．2 B． 或3 C．3 D．
【分析】让 的次数为2，系数不为0即可．
【解析】根据题意得： ，
解得： ，
，
故选： ．
8．（2019秋•兴化市期末）当函数 是二次函数时， 的取值为
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数定义可得 ，再解即可．
【解析】由题意得： ，
解得： ，
故选： ．9．（2019•鼓楼区校级模拟）下列函数关系中，是二次函数的是
A．在弹性限度内，弹簧的长度 与所挂物体质量 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间 与速度 之间的关系
C．等边三角形的周长 与边长 之间的关系
D．半圆面积 与半径 之间的关系
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．
【解析】 、 ，是一次函数，错误；
、 ，是反比例函数，错误；
、 ，是正比例函数，错误；
、 ．是二次函数，正确；
故选： ．
10．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙
（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 ，门宽为 ．若饲养室长为 ，占地
面积为 ，则 关于 的函数表达式为
A． B．
C． D．
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解析】 关于 的函数表达式为：
．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．若函数 是关于 的二次函数，则 的取值范围为 且 ．
【分析】根据二次函数的定义得出 ，再求出即可．
【解析】 函数 是关于 的二次函数，
，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
12．（2020秋•广汉市期中）观察：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．这六个式子中，二次函数有 ①②③ ．（只填序号）
【分析】根据二次函数的定义可得答案．
【解析】这六个式子中，二次函数有：① ；② ；③ ；
故答案为：①②③．
13．（2020秋•虎林市期末）若 是二次函数，则 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出 的值．
【解析】 是二次函数，
且 ，
解得： ．
故答案为： ．
14．（2019秋•如皋市校级期中）当 1 时，函数 是关于 的二次函数．
【分析】利用二次函数定义可得 且 ，再解不等式和方程即可．
【解析】由题意得： 且
解得： ，
故答案为：1．15．用 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积 与长方形的长 之间的函数关系式是
．自变量 的取值范围 ．
【分析】直接利用长方形的面积求法进而得出函数关系式即可得出答案．
【解析】 用 长的篱笆围成长方形圈养小兔，长方形的长 ，
长方形的宽为： ，
圈的面积 与长方形的长 之间的函数关系式是： ，
自变量 的取值范围是： ．
故答案为： ， ．
16．（2019秋•青浦区期末）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率
相同，都为 ，12月份的产值为 万元，那么 关于 的函数解析式是 ．
【分析】根据某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为
，12月份的产值为 万元，可以得到 与 的函数关系式，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
，
故答案为： ．
17．（2020秋•思明区校级月考）扎西的爷爷用一段长 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
，设这个矩形的宽为 ，则矩形面积 随之 变化的函数解析式为 ．
【分析】根据题意和图形，可以写出矩形面积 随之 变化的函数解析式，本题得以解决．【解析】由题意可得，
，
故答案为： ．
18．（2021秋•石景山区校级月考）若 是关于 的二次函数，则 ．
【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【解析】 是关于 的二次函数，
， ，
则 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知函数 ．
（1）当 取何值时为一次函数？并求出其关系式；
（2）当 取何值时为二次函数？并求其关系式．
【分析】（1）这个式子是一次函数的条件是： 且 ；
（2）这个式子是二次函数的条件是： 且 ．
【解析】（1）依题意，得 且 ，或 或 且 ，
解得 ， ，
关系式为 ； ； ；
（2）依题意，得 且 ，
解得 ；
关系式为 ．20．已知函数 为常数），求当 为何值时：
（1） 是 的一次函数？
（2） 是 的二次函数？并求出此时纵坐标为 的点的坐标．
【分析】（1）根据形如 ， 是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如 是常数，且 是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得
符合条件的点．
【解析】（1）由 为常数）， 是 的一次函数，得
，
解得 ，
当 时， 是 的一次函数；
（2） 为常数），是二次函数，得
，
解得 ， （不符合题意的要舍去），
当 时， 是 的二次函数，
当 时， ，
解得 ，
故纵坐标为 的点的坐标的坐标是 ， ．
21．已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的二次函数？
（2）当 为何值时， 是 的一次函数？【分析】（1）根据二次函数的定义可知： ，从而可求得 的取值范围；
（2）根据一次函数的定义可知： ，且 ，从而可求得 的值．
【解析】（1） 是 的二次函数，
．
解得： ；
（2） 是 的一次函数，
，且 ．
解得： ．
22．（2019春•丹江口市期中）如图，在靠墙（墙长为 的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱
笆围成，如果竹篱笆总长为 ，设鸡场垂直于墙的一边长 ，求鸡场的面积 与 的函数关
系式，并求自变量的取值范围．
【分析】直接利用矩形的长乘以宽得出其 与 之间的函数关系即可．
【解析】由题意可得： ，
墙长为 ，
，
解得： ，
故自变量的取值范围是： ．
23．（2019秋•遂溪县校级期中）用一根长为 的木条做一个长方形窗框，若宽为 ，写出它的
面积 与 之间的函数关系式，并判断 是 的二次函数吗？
【分析】直接利用长方形面积求法分析得出答案．
【解析】设宽为 ，则长为： ，
故它的面积 与 之间的函数关系式为：．
故 是 的二次函数．
24．（2019•开远市一模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市
场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨
价 元 为非负整数），每星期的销量为 件．
（1）求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；
（2）设利润为 元，写出 与 的函数关系式．
【分析】（1）涨价为 元，可用 表示出每星期的销量，并得到 的取值范围；
（2）根据总利润 销量 每件利润可得出利润的表达式．
【解析】（1）设每件涨价 元由题意得，
每星期的销量为 ， 且 为整数）；
（2）设每星期的利润为 元，
．
