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专题 29 圆锥曲线求定值七种类型大题 100 题
类型一:斜率的和与积为定值1-22题
1．已知椭圆 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 ．过点M作倾斜角互补的两条直
线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(1)求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1） （2）见解析
【详解】
(1)由题设，得 ＝1，①且 ＝ ，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为 ＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
记P(x ，y)、Q(x ，y)．
1 1 2 2
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x 是该方程的两根，则－2x＝ ，即x＝ .
1 1 1
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x＝ .
2
因y＋1＝k(x＋2)，y＋1＝－k(x＋2)，
1 1 2 2
故k ＝ ＝1，
PQ
因此直线PQ的斜率为定值．
2．已知点 是椭圆 上的一点，椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互
为倒数，斜率为 直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， ， 三点互不重合.
（1）求椭圆 的方程；（2）若 ， ，分别为直线 ， 的斜率，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设椭圆的焦距为2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率 ，再由点 代入椭圆方程，
根据 ，即可求出 ，从而可得椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，根据题意得 ，设 ， ，联立直线与椭圆方程，
根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算 ，即可得出结果.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程 易得双曲线的离心率为 ，
则椭圆的离心率 ，
将 代入 ，得 ，
又 ，解得 ，
所以椭圆C的方程 ；
（2）证明：设直线 的方程为 ，
又 ， ， 三点不重合，∴ ，
设 ， ，
则由 消去 ，整理得 ，
所以 ， ， ，则 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则
所以 ，即直
线 ， 的斜率之和为定值.
3．已知椭圆 ： ( )的左右焦点分别为 ，焦距为2，且经过点 .直线 过
右焦点且不平行于坐标轴， 与椭圆 有两个不同的交点 ， ，线段 的中点为 .
（1）点 在椭圆 上，求 的取值范围；
（2）证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值；
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由椭圆定义求得 ，然后可得 ，从而得椭圆方程，然后设点 ，计算 可得范围；
（2）设直线 的方程为 ( )代入椭圆方程得 ，设 ，
，可得段线 的中点 的坐标 ，然后计算 可得定值．
【详解】
解：（1）因为焦距 ，则 ，所以左焦点 ，右焦点
则
所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 .
设点 ，则因为 ，所以 的取值范围为：
（2）设直线 的方程为 ( )
联立 消去 得
其中： ， ，不妨设 ， ， 为线段 的中点
则 ，
所以 ，
所以 所以 为定值.
4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线 与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，判断 的值是否为常数，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ，②是常数，理由见解析．
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，由题可得 ，再结合 ，即可求得
,从而求得椭圆 的标准方程；
（2）①设点 、 ，联立 ，整理得： ，四边形 的面
，而 易求，代入韦达定理即可求得 的表达式，从而求得 的最大值；
②直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，代入韦达定理化简整理可得 的值为常数 ．
【详解】
（1）设椭圆 的方程为 ．
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）①由（1）可求得点 、 的坐标为 ， ，则 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得： ，
由 ，可得 .
由韦达定理知： ， ，
四边形 的面积 ，故当 时， ；
②由题意知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
则
.
所以 的值为常数 ．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于
不同的两点 ， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的取值范围；
（3）若直线 不过点 ，试问直线 ， 的斜率之和是否为定值，若是定值求出定值，若不是定值说
明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）直线 ， 的斜率之和是定值0.
【分析】
（1）由题可得出 ， ，解出 即可得出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用 即可求出 的取值范围；
（3）利用韦达定理可得 ， 的斜率之和为0.
【详解】
（1）设椭圆的方程为 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ， ，故椭圆方程为 ．（2）将 代入 并整理得 ， ，解得
．
（3）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
设 ，则 ， ，
，
分子
所以直线 ， 的斜率之和是定值0．
6．如图所示，椭圆 的离心率为 ，其右准线方程为 ，A、B分别为椭圆的左、
右顶点，过点A、B作斜率分别为 、 ，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴
上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点 ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题可得 ，求出 ，再利用 ，即可求出椭圆C的方程；
（2）设AM的方程为 ，联立 ，利用韦达定理求得点 ，同理求
出 ，再利用向量共线 ，求出 ，即证 为定值.
【详解】
（1）由题可得 ，解得
又 ，可得 ，所以椭圆C的方程为：
（2） ，设AM的方程为 ，设 ，
由 ，消去 整理得 ， ，
由韦达定理可得： ，解得 ，代入 ，求得 ，即
，设BN的方程为 ，设 ，
由 ，消去 整理得 ， ，由韦达定理可得： ，解得 ，代入 ，求得 ，即
又直线MN恒过椭圆的左焦点 ，则
又 ，
，即
， ， ，即
所以 为定值
7．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的上顶点为 ，过点 作直线交椭圆于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，
，试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为1，理由见解析.
【分析】
（1）由题意，得出关于 的方程组，求得 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线 的方程为 ，联立方程组 ，利用根与系数的关系，得到
，结合斜率公式进行计算，即可求得 是为定值.
【详解】
（1）椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 ，
可得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 .
（2）由（1）可得点 ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
则
，
所以 是为定值 .
8．椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，且过焦点
的直线 交椭圆于 ， ．（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 的坐标为 ，设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，试证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）带入点坐标，建立 的等量关系，联立由离心率确定的 的等量关系，解出 的值，求出椭圆
的方程；（2）证明 ，即证明 ，法一：设直线的斜截式，联立椭圆，代
入韦达定理证明；法二：设直线的横截式，联立椭圆，代入韦达定理证明.
【详解】
（1）∵椭圆 ： 过点 ，
∴ ．①
又∵椭圆 离心率为 ，∴ ，∴ ．②
联立①②得 ，解得 ，∴椭圆 的方程为 ．
（2）方法一：当直线 斜率不存在时，则 ，∴ ；
当直线 斜率存在时，设直线 ： ， 与椭圆交点 ， ．联立 ，
消去 并整理得 ．由于 ，
∴ ， ，
∴，
∵ ，∴ ．
综上所述， ．
方法二：当直线 斜率为0时，∵ ，则 ；
当直线 斜率不为0时，设直线 ： 设 与椭圆交点 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ．由于 ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，综上所述， ．
9．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，且 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 且不过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求证：直线 与 的斜率之和为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由 点坐标得 ，由 可得 ，再求得 后可得椭圆方程；
（2）确定直线 斜率存在，设点 ， ，直线 ，由点 在
直线 上，得 ．
把 代入 ，整理后应用韦达定理得 ，由 ， 知， ，则 ，均不为0，计算 ，代入 ， 可得结论．
【详解】
解；（1）根据点 在椭圆 上，得 ．
由 ，得 ．
因为 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，与椭圆只有一个交点，不符合题意．
若直线 的斜率存在，设点 ， ，直线 ，
根据点 在直线 上，得 ．
把 代入 ，得 ，
则 ， ．
由 ， 知， ，则 ， 均不为0，
则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
，
因为 ，所以 ，
即直线 与 的斜率之和为定值．
10．已知圆 与椭圆 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为 .
（1）求 的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若 ，求直线 的方程；
②设直线NA的斜率为 ，直线NB的斜率为 ，问： 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请
说明理由.
【答案】（1） ， ；
（2）① ；②是定值，为 .
【分析】
（1）由圆与椭圆相交于点M得 ，又因为椭圆的离心率为 和 可得答案；
（2）①设直线 的方程为 分别与圆、椭圆的方程联立，可求得 坐标，由 可得 ；
②利用①中 坐标得 ， ，化简可得答案.
【详解】（1）因为圆 与椭圆 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，所以
，又因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
所以 ，椭圆 .
（2）①因为过点M的直线 交圆O和椭圆C分别于A，B两点，
因为 所以直线的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 得 ，所以 ，
同理 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
即直线 的方程为 .
②是定值，理由如下，
由①知 ， ，
， ，
所以 为定值.
11．已知圆 ，动圆 与圆 相外切，且与直线 相切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，过点 的直线 与曲线 交于两个不同的点 （与 点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是， .
【分析】
(1)根据题意分析可得 到直线 的距离等于 到 的距离，由抛物线的定义可知， 的轨迹
为抛物线，其方程为 ；
(2) 设直线 的方程为 ，点 ，直线 的斜率分别为 和 ，
联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得 和 ，根据斜率公式得 和 ，利用 和 化简
即可得到定值.
【详解】
(1)设 直线 的距离为 ，因为动圆 与圆 相外切，所以 ，
所以 到直线 的距离等于 到 的距离，
由抛物线的定义可知， 的轨迹 为抛物线，其焦点为 ，准线为： ，
所以抛物线 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 ，即
因为 与 点不重合，所以
设直线 的斜率分别为 和 ，点
联立 消去 并整理得 ，
则 ， ，
由 ，解得 或 ，且 .可得 ，
同理可得 ，
所以
，
故直线 的斜率之和为定值 .
12．已知 、 分别是椭圆 的左右顶点， 、 是分别是上下顶点，且 为
等边三角形， 是 上异于 、 的一点．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）证明：直线 与直线 的斜率的积为定值，并求出该定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析， ．
【分析】
（1）由 为等边三角形得 ，得出 ，进而可求出离心率；
（2）由题意知 、 ，设 点的坐标为 ，表示出直线 与直线 的斜率，根
据题中条件，计算斜率之积，即可得出结果.
【详解】
（1）由 为等边三角形得 ，所以 ，
，
所以椭圆 的离心率为 ；（2）由题意知 、 ，设 点的坐标为 ，
则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
又因为所以 在椭圆 上，所以有 ，
所以 ，
所以 ，得证，
由（1）易知 ．
13．已知椭圆 的离心为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点(均异于点 )，直线 与 分别交直线 于 点和 点，
求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
(1)代入已知点的坐标，结合离心率和 的关系列方程组，即可求出 ，进而可求出椭圆的方程.
(2) 直线 的方程为 ，联立直线和椭圆方程，由韦达定理即可用 表示
，求出直线 的方程，进而可求出 和 的坐标，由斜率公式即可求出 ，即可证明
所证.
【详解】（1）根据题意可得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 .联立得 ，
整理得 ，所以 .
因为 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
同理 .则 ，
，则
.
所以 为定值，且该定值为 .
14．已知椭圆E： 的离心率为 ，直线l：y=2x与椭圆交于两点A，B，且 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设C，D为椭圆E上异于A，B的两个不同的点，直线AC与直线BD相交于点M，直线AD与直线
BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由 ，得到 ，设椭圆 为 ，再结合弦长 ，求得 ，进而得到
椭圆 的方程；
（2）由（1）可得 ， ，得到 ， ，求得点 ， 的坐标，求得 的斜
率为 ，再设直线 的方程为 ，得到 ，结合直线 和 的方程求得点 的
坐标，得出直线 的斜率为 ，即可求解.
【详解】
（1）由题意可得 ，即 ，
所以椭圆 的方程为 ，
与直线 联立，可得 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，于是 ，
因此椭圆 的方程为 ．
（2）根据题意，不妨设点 在第一象限，由（1）可得 ， ，
若直线 的斜率不存在，则 ，设 ，
于是可得点 ， 的坐标分别为 ， ，
因此直线 的斜率为 ，
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，点 的坐标为 ，则有 ，
设直线 的方程为 ，则有 ，
因为 ，所以 ，
即直线 的方程为 ，
同理，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
由 及 ，解得 ；
由 及 ，解得 ，
于是直线 的斜率为 ，
综上所述，直线 的斜率为定值 ．
15．已知点Q是圆 上的动点，点 ，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜
率之和为定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【分析】
（Ⅰ）线段 的垂直平分线交 于点P，所以 ，则 为定值，所以P的
轨迹是以 为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得
到韦达定理，写出 化简可得定值.【详解】
解：（Ⅰ）由题可知，线段 的垂直平分线交 于点P，
所以 ，则 ，
所以P的轨迹是以 为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为 ，
则 ，所以 ，
可得动点P的轨迹E的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线 斜率存在且不为0，
故可设l的方程为 ， ，
由 得 ，
而
由于直线 过点 ，所以 ，所以 （即为定值）
16．设椭圆 的左右焦点分别为 ， 椭圆上点 到两焦点的距离之和为 ，椭
圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 在第一象限交于点 ，点 是第四象限的点且在椭圆 上，线段 被直线 垂
直平分，直线 与椭圆 交于点 （异于点 ），求证直线 的斜率为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据椭圆定义得 ，再根据离心率即可得 ， ，进而得椭圆方程；
（2）由已知得 ，直线 不与 轴垂直，进而设 ，故 ，均与
椭圆联立方程得 再结合 ， 与斜率公式
计算即可得答案.
【详解】
解：（1）设 ，由条件知， ，
所以 ，所以
故椭圆 的方程为 .
（2）由题得 的坐标为 ，直线 不与 轴垂直，
设直线 ，则直线 ，
设将直线 方程代入椭圆 整理得：
，
同理可得，
又 ， ，
所以直线 的斜率为定值 .
17．已知点 ， 为椭圆 的左、右焦点， ， 都在圆 上，
椭圆 和圆 在第一象限相交于点 ，且线段 为圆 的直径.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，过定点 的直线 与椭圆 分别交于点 ， ，
且点 ， 位于第一象限，点 在线段 上，直线 与 交于点 .记直线 ， 的斜率分别为 ，
.求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由圆 ，令 ，得 即 ，由圆的半径为 ，得到 ，根据
和 得到 ，然后利用椭圆的定义求解.
（2）由 ，变形为 ，则 ， ， ，直线 的方程与椭圆的
方程联立，根据直线 与 交于点 ，设点 ，由 ， ， 三点共线，得到 ，
然后利用韦达定理求解 .
【详解】
（1）由圆 ，令 ，得 ，
所以由题意可得 ，
圆的方程 化为标准方程 ，
所以圆的半径为 ，则 ，
因为 在圆上，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由椭圆的定义可得： ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）由 ，即 ，
所以过定点 ，且 ， ，设 ， ，
直线 的方程与椭圆的方程联立整理得： ，
△ ，解得 ，
又 ， ，
因为直线 与 交于点 ，设点 ，
由 ， ， 三点共线，
得 ，
解得 ，
则 ，
，
，
.
18．已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，点 为椭圆短轴的端点，且
的面积为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）点 是椭圆上的一点， 是椭圆上的两动点，且直线 关于直线 对称，试证明：直线 的斜率为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由焦距得 ，再由三角形面积可得 ，从而求得 ，得椭圆方程．
（2）易知直线 斜率存在，设直线 ： ，即 ，
由对称性得直线 ，求出 的坐标，然后计算斜率 即可证．
【详解】
解：（1）由已知 得 ，又 ， ，∴ ．
所以椭圆的标准方程为 .
（2）已知点 ，当直线 斜率不存在时显然不满足题意，所以直线 斜率存在，设直线 ：
，即 ，由于直线 关于直线 对称，则直线 ，
设 ，
联立： 得
（方程有一解是 ），同理
则
所以直线 的斜率为定值.19．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为A、B．已知
，且点 在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设P是椭圆C上异与A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线 、 于点M、N，求证：直线
与直线 的斜率之积是定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）由 ，可知 ，结合点 在椭圆上，代入可得 ，进而由 和
，可求出 ，从而可得到椭圆方程；
（2）设P点坐标为 ， 的横坐标为 ，可表示出直线 的方程，及 的坐标，进而得
到直线 的斜率，同理可求得直线 的斜率，进而得到两个斜率之积为 ，再结合点P点在
椭圆上，可得 ，代入可得到 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，且点 在椭圆上，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，整理得 ，
由 ，可得 ，所以椭圆方程为 .
（2）设P点坐标为 ， 的横坐标为 ，
则直线 的方程为 ，
故 ，则直线 的斜率
直线 的方程为 ，故 ，
可得直线 的斜率 ，
故 ，
又P点在椭圆上，则 ，即 ，
因此 .
故直线 与 的斜率之积是定值.
20．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，直线 与椭圆
有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆 的方程为 ，若圆 与直线 相交于 ， 两点(两点均不在坐标轴上)，试探究 ，
的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.【答案】（1） ；（2）是定值，定值为 .
【分析】
（1）根据短轴长可得 ，结合离心率及 的关系可求 ，从而可得方程；
（2）当直线 的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，可求 ；
当直线 的斜率不存在时，可得直线方程，联立可求 ，从而可得结论.
【详解】
（1）由离心率为 ，可得 ，
由短轴长为2，可得 ，
又 ，解得 ， ，
则椭圆的方程为 ；
（2）当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
由 可得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个交点，
所以 ，即 ，
由方程组 可得 ，
则 ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
设直线 ， 的斜率为 ， ，
所以 ，将 代入上式，可得 ，
当直线 的斜率不存在时，由题意可得 的方程为 ，此时圆 与 的交点为 ， ，
也满足 ，
综上 ， 的斜率之积 为定值 .
21．在平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是椭圆上一点，
且 的面积等于 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，若两条切线都存在斜率，求证：两切线斜率
之积为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题得双曲线的焦点为 ，设椭圆方程为 ，根据已知求出 即
得解；
（2）设点 ，过点 的椭圆 的切线 的方程为 ，联立直线和椭圆方程得
，由 得 ，即得
.
【详解】
（1）由题得双曲线的焦点为 ，设椭圆方程为 ，
由题得 ，由余弦定理得 ，
所以 .
所以
所以椭圆方程为 ；
（2）设点 ，过点 的椭圆 的切线 的方程为 ，
联立 得 ，
因 与椭圆相切，故 ，
整理可得
设满足题意的椭圆 的两条切线的斜率分别为 ，则 ，
因 在圆 上，所以 ，因此 ，
故两切线斜率之积为定值 .
22．已知椭圆 的中点在原点，焦点在 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ， 在椭圆上，点 、 是椭圆上不同的两个动点，且满足 ，试问直线 的斜率是否为定值，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）斜率为定值 ，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意，设椭圆 的方程为 ，再根据已知条件列方程组求解a、b、c即可；
（2）由 可设直线 的斜为 ，则 的斜率为 ， ， ，联立直线PA与
椭圆的方程，根据韦达定理用k表示 ，同理用k表示出
，两式联立可用k表示 、 ，代入 中即可得证.
【详解】
（1）∵椭圆 的中点在原点，焦点在 轴上，
∴设椭圆 的方程为 ， ，
椭圆的离心率等于 ，一个顶点恰好是抛物线 的焦点，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）当 时， ， 的斜率之和为0，
设直线 的斜为 ，则 的斜率为 ，设 ， ，
设直线 的方程为 ，由 ，消去 并整理，
得： ，
∴ ，
设 的直线方程为 ，
同理，得 ，
∴ ， ，
，
∴ 的斜率为定值 .类型二:面积为定值1-15题
1．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中
点 的轨迹为曲线 .
（1）求中点 的轨迹曲线 的方程；
（2）斜率为 的直线 过点 且与曲线 交于 、 两点，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
(1) 设 ，则 ， ,根据点在圆上即可求出C的方程；
(2)设直线方程，联立C的方程，根据韦达定理求出弦长AB，再由点到直线的距离得到三角形的高，代入面
积公式即可求解.
【详解】（1）设 ，则 ， ，∴ ，曲线 .
（2）因为斜率为 的直线 过点
所以直线 ，
联立 得 ， .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
又点 到 的距离 ，
∴ .
2．已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ， ，过 作 的垂线交 于
点 .求 与 的面积之比.
【答案】（1） ；（2）4：5.
【分析】
（1）由题意设椭圆方程，由 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，则 ，即可求得椭
圆的方程；（2）由题意分别求得 和 的斜率及方程，联立即可求得 点坐标，利用已知条件可得 ，即可
求得 与 的面积之比.
【详解】
解：（1）∵ 焦点在 轴上，两个顶点分别为 ， ，
∴ ，由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ， ， ， ，
可得 ，
直线 的方程是 ，
∵ ，
∴ ，
直线 的方程是 ，
直线 的方程是 ，直线 与直线 联立可得， ，整理为： ，
即 ，
即 ，
计算得出 ， ，
又 ，
则 ，
又 ，
则 与 的面积之比为4：5.
3．已知椭圆 ： 离心率为 ，点 在椭圆 上， 点坐标 ，直线 ：
交椭圆 于 、 两点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据椭圆的离心率、过定点以及椭圆参数关系，即可求 ，进而写出椭圆方程；
（2）由 即 为等腰三角形，结合直线与椭圆关系联立方程得 中点 的坐标，由等腰三
角形的性质知 即可求参数m，结合弦长公式、点线距求 的底、高，进而可求 的面积.【详解】
解：（1）由题意可得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ， 中点为 ，
由 得 ， 得 ，
， ，所以 ， ，
由 ，有 ，所以 ，得 ，
所以 ， ， ，
此时，点 到直线 ： 的距离 ，
所以 的面积 .
4．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 ，过右焦点 作与直线 关于 轴对称的直线 ，且直线 与椭圆分别交于点
， ， 为坐标原点，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）依题意得到方程，即可求出 、 ，再根据 ，即可求出 ，从而得解；
（2）由题可知，直线 与直线 关于 轴对称，所以 ，即可求出直线 的方程，联立直线与椭
圆方程，设 ， ，即可求出 、 的坐标，从而求出 ，再利用点到直线的距离公式
求出原点 到直线 的距离 ，最后根据 计算可得；
【详解】
解：（1）由题得， ，解得 ，因为 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题可知，直线 与直线 关于 轴对称，所以 ．由（1）知，椭圆 的方程为 ，
所以 ， ，所以 ，从而 ，所以直线 的方程为 ，即
．
联立方程 ，解得 或 ．设 ， ，不妨取 ，
，
所以当 ， ；当 ， ，所以 ， ． ．
设原点 到直线 的距离为 ，则 ，所以 ．
5．如图，已知点 ， 以线段 为直径的圆内切于圆 .（1）证明 为定值，并写出点G的轨迹E的方程；
（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且 ，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析，方程为 ；（2）面积为 .
【分析】
（1）记线段 的中点为H，连接OH，则有 ， ，设 的半径为r， 与 内
切于Q，连接HQ，则O，H，Q三点共线，则 ，可求得其值，
由椭圆的定义可得其轨迹方程；
（2）由 ，可得O是 的重心，故 ，当直线AB的斜率存在时，设
，与椭圆方程 联立，消去y，再利用根与系数的关系可求出
，再将其代入椭圆方程中可求得 ，于是
代值化简可得结果
【详解】（1）记线段 的中点为H，由于线段 的中点为O，
连接OH，则 ， ，
设 的半径为r， 与 内切于Q，连接HQ，
则O，H，Q三点共线，如下图，于是
，
又 ，根据椭圆的定义可得E的方程为 .
（2）因为A，B，C是椭圆 上的不同三点，且 .
所以O是 的重心，故 .
①法一：当直线AB的斜率存在时，
设 ，与椭圆方程 联立，消去y，整理得 .
设 ， ，
则 ， ，
所以 .因为 ，
所以 ，
所以 .
又点C在椭圆 上，
所以 ，
整理得 ，
又 ，所以 .
此时 ，
于是
.
法二：设 ，
由法一知 ， ，
且 ，即点C在直线 上，故点C到AB的距离为 .
所以 .以下同法一.
②当直线AB的斜率不存在时，可得： ， ， ；
或 ， ， ；
或 ， ， ；
或 ， ， ，
此时 .
综上， 的面积为 .
6．在直角坐标系 中，椭圆 : 的离心率为 ，左、右焦点分别是 ， ， 为
椭圆 上任意一点， 的最小值为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 : ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点.当 在椭圆 上移动时，四边形
的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）是，定值为4.
【分析】
本题考查椭圆的方程的求法，考查圆锥曲线中的面积定值问题，属中档题，
（1）由离心率的值得到 的关系，利用基本不等式的变形公式并结合椭圆的定义得到 的最
小值为2 ，结合已知得到 的值，进而得到椭圆 的方程；
（2）根据 的坐标写出直线 的方程，与椭圆 方程联立求得 的坐标，利用点差法求得直线 的
方程，与椭圆 方程联立消去 并利用 为椭圆 上一点的条件 ,整理得到关于 的二
次方程，利用韦达定理和弦长公式求得|AB|关于 的表达式，利用点到直线的距离公式求得E,F到直线
AB的距离，得到ABE,ABF的面积关于 的表达式，进而求得四边形 的面积关于 的表达式，
根据关于 的关系化简整理得到定值.
【详解】
（1） ， .
是椭圆 任意一点，∴
，当 时取等号，
的最小值为 ，
， ，椭圆 的方程为 .
（2）∵ 为椭圆 上一点，椭圆 的方程为 ，
当 ，根据椭圆的对称性，不妨设 ，E,F为椭圆 的短轴的端点 ,
直线AB的方程为 ,与椭圆 的方程联立求得 , ,得到|AB|=2 ,|EF|=2 ,∴四边形四
边形AEBF的面积为4，同理求得 时，四边形AEBF的面积为4.
当 时，直线OQ的斜率为 ,方程为： ，
联立直线OQ与椭圆C 的方程 ，得 ， ，
1
∵椭圆 的方程可整理为 ,又∵ 是椭圆 的弦AB的中点，
设 ,
∵A,B在椭圆 ： 上，∴ ， ，
两式相减得： ，
即： ，∴直线AB的斜率为
直线AB的方程为 ,
即 ,∵ 为椭圆 上一点，椭圆 的方程为 ，
∴ ，即 ,∴直线AB的方程为 ,
代入椭圆C 的方程得 ，
1
,
两边同乘以 ，并注意 ，得: ，
∴ ， ，
，
设点 ， 到直线AB的距离分别为 ， ，
，
∴ .
综上所述，故当Q在椭圆 上移动时，四边形AEBF的面积为定值4.
7．如图，椭圆C： 的离心率 ，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线 ， 的斜率分别为 ， ．
（1）求椭圆C的方程，并求 的值；
（2）若 ， ，判断 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说
明理由．
【答案】（1）椭圆C： ， ；（2） 的面积为定值 ．
【分析】
（1）求出椭圆的方程，再设 代入斜率公式，即可得答案；
（2）设直线 的方程为 （ ），设 ， ，根据 ，可
得 ，再利用韦达定理化简得到 的关系，求出三角形的底和高，代入面积公式，即可得答
案；
【详解】
解（1）由题意得 ，又 ，所以 ，
，即椭圆C：
设 ，则 ，又 ， ，则
（2）设直线 的方程为 （ ），设 ， ，
，
， ，
由（1）知：
，
，
即 ， ，
，又
．
又O到直线 的距离 ，
所以 ．
∴综上 的面积为定值 ．8．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 的左顶点与上顶点的距离为 ，且经过
点 .
（1）求椭圆C的方程.
（2）直线 与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足 ，求证：△PQN
的面积S为定值.
【答案】（1） （2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件联立方程组求出 即可得出椭圆标准方程；
（2）当PQ斜率不存在时求出△PQN的面积，当PQ斜率存在时，设PQ的方程为 ，联立
方程组求出 坐标，代入椭圆方程化简可得 ，
利用 即可求解.
【详解】
（1）椭圆C的左顶点 ，上顶点 .
因为左顶点与上顶点的距离为 ，
所以 ，化简得 ①因为椭圆经过点 ，
所以 ，②
由①②解得 或 （舍去)，
所以椭圆C的方程为
（2）当PQ斜率不存在时，N为 方程为 ，
易得 .
此时
当PQ斜率存在时，设PQ的方程为 ，
联立 ，得 ，
由 得
设 则 ，
因此PQ的中点M为
由因为 所以 ，
将点N代入椭圆方程，得 ，
化简得 ，符合(*）式.
记点О到直线l的距离为d,则
，
将 代入，得
综上， 的面积 为定值
9．已知椭圆 经过点 ， .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 .求证：四边形
的面积 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意有 ，即得椭圆方程；
（2）设 ，写出直线 方程，求出 点坐标，求出四边形 的面积，利用点 在椭圆
上代入后可得定值．
【详解】
（1）由题意 ，椭圆标准方程为 ；
（2）设 ， ， ，∴ ，
直线 方程为 ，令 得 ，即 ，直线 方程为 ，令 得 ，即 ，
∴
为定值．
10．已知椭圆C： 过点 ，点B为其上顶点，且直线AB斜率为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边
形 的面积.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）根据题中所给的条件，求得 ，从而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）根据题意，设出点 ，根据点在椭圆上，得到 ，分别写出直线的
方程，求得M、N的坐标，表示出四边形的面积，求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意: 设直线 ： ，
令 ，则 ，于是 ，.
所以 ，
椭圆方程为 .（Ⅱ）设 ，且 ，
又 ，所以直线 ，
令 ，
则 ，
直线 ，令 ，
则 ，
所以四边形 的面积为
，
所以四边形 的面积为 .
11．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆上， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 为椭圆 上的三点，若四边形 为平行四边形，证明：四边形 的面积
为定值，并求该定值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率 ，可得 ，将 代入椭圆方程可得 ，则椭圆方程
可求；
（2）分情况讨论，当不存在时， 方程为： 或 ，可得 ．
当直线 的斜率 存在时，设直线 方程为： ， ， ．
将 的方程代入 得： ，可求得
由 得： ，
将 点坐标代入椭圆 方程得： ．又 到直线 的距离 ，，最后由
.
综上，平行四边形 的面积 为定值 ．
试题解析：
（1）由 ，得 ，
将 代入椭圆 的方程可得 ，所以 ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）当直线的斜率 不存在时， 方程为： 或 ，
从而有 ，
所以 ．
当直线 的斜率 存在时，设直线 方程为： ， ， ．
将 的方程代入 整理得： ，
所以 ， ，
，
由 得： ，
将 点坐标代入椭圆 方程得： ．
点 到直线 的距离 ，
，
.
综上，平行四边形 的面积 为定值 ．
12．已知椭圆 ．离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三
角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）是定值，理由见解析.【分析】
（1）由题意有 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有 ，即可写出椭圆
方程；（2）直线 与椭圆 交于 两点，联立方程结合韦达定理即有
，已知 应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明 的面积是否为定
值；
【详解】
（1）椭圆 离心率为 ，即 ，
∵点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
∴ ，
综上有： ， ，故椭圆方程为 ，
（2）由直线与椭圆交于 两点，联立方程：
，整理得 ，
设 ，则
，，
，
，
原点 到 的距离 ，
为定值；
13．已知点 在椭圆 上，设 ， ， 分别为椭圆的左顶点､上顶点､下顶点，且点
到直线 的距离为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为坐标原点， ， 为椭圆上的两点，且 ，求
证： 的面积为定值，并求出这个定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【分析】
（1）先根据题意得 ， ， ，进而得直线 的方程为： ，再结合题
意得 ， ，联立方程即可求得答案；
（2）设直线 的方程为： ，与椭圆联立方程得 ， ，
，再结合已知条件得 ，进而得 ，最后求，原点 到直线 的距离为： ，计算面积即可
得答案.
【详解】
解：根据题意得： ， ， ，
所以直线 的方程为： ，
所以点 到直线 的距离为： ，化简整理得： .
又因为点 在椭圆 上，故 .
联立 ，解得： .
故椭圆的方程为： .
（2）设直线 的方程为： ，
与椭圆联立方程 并化简得： ，
所以 ，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，化简整理得： ，
所以 ，整理得： （满足 ）此时，
，
原点 到直线 的距离为： ，
所以 的面积为： .
14．已知椭圆 的左焦点F在直线 上，且 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆交于A、C两点，线段 的中点为M，射线 与椭圆交于点P，点O为 的重心，
探求 面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.
【答案】（1） ；（2）是定值， .
【分析】
（1）根据题意，得到 ，由题中条件列出方程组求解，得出 ， ，即可得出椭圆方程；
（2）若直线 的斜率不存在，先求出此时 的面积；若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设 ， ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P的坐标，代入椭圆方程，得出
，再得到坐标原点O到直线 的距离为 ，根据三角形面积公式，化简整理，即可得
出结果.
【详解】
（1）∵直线 与x轴的交点为 ，∴ ，∴ ，∴解得 ， ，∴椭圆的方程为 .
（2）若直线 的斜率不存在，则 在 轴上，此时 ，因为点O为 的重心，所以
，将 代入椭圆方程，可得 ，即 ，所以
；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，
整理得
设 ， ，
则 ， ， .
由题意点O为 的重心，设 ，则 ， ，
所以 ， ，
代入椭圆 ，得 ，
设坐标原点O到直线 的距离为d，则
则 的面积.
综上可得， 面积S为定值 .
15．已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两点
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过
点 作 的平行线交 于 ，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点 的轨迹方程；
（2）根据（1）所得点 的轨迹方程，直线 与点M轨迹交于 ､ 两点，且
.求证： 的面积为定值.
【答案】（1）答案见解析（2）1.
【分析】
（1）选择①由题意得 ，代入 求解即可；选择②根据,易得 ，进而得到 ，再利用椭
圆的定义求解；
（2）联立 ，结合韦达定理根据 ，即 ，化简得到 ，然后
求得弦长 和原点O到直线 的距离d，由 求解.
【详解】
（1）选择①长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点，
则 ，即 ，
所以 ，又 ，
解得 ，
所以椭圆的方程为： ；
选择②如图所示：
，
因为 ,
所以
所以 ，
所以 ，所以点 的轨迹是以T，S为焦点的椭圆，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
（2）由 ，消去y得： ，
设 ，
由韦达定理得： ，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
，
，
，
原点O到直线 的距离为： ，
所以 .类型三:线段关系与距离为定值1-25题
1．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 相切于点 （点 在第一象限），过原点 作直线 的平行
线与直线 相交于点 ，问：线段 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值， .
【分析】
（1）根据条件列出关于a,b,c方程组求解得到a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）设出P的坐标 ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直
线 l的方程，与直线 的方程联立，求得 的坐标，利用两点间距离公式求得 关于 的表达式，并利用P的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.
【详解】
解：（1）由题意知
椭圆 的方程为 ．
（2）设 直线 的方程为
过原点 且与 平行的直线 的方程为
椭圆 的右焦点 ，由 整理得到直线 的方程为 ，
联立
∴
为定值．
2．如图，过抛物线 的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位
于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.（1）若 求AB所在的直线方程；
（2）求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由于直线 斜率不为0， ，所以设直线 ，设 ，由题意可得
，然后直线方程和抛物线方程联立，消去 ，再利用韦达定理结合 可求出 的值，
从而可得AB所在的直线方程；
（2）设 中点为 ，则由（1）可得 ，从而可得AB中垂线
，求出点 ，进而可求出 的长，再利用两点间的距离公式可求出
的长，从而可求得 的值
【详解】
解：（1）直线 斜率不为0， ，设直线 ，
设 ，
因为A点在x轴上方，所以
由 ，得由 代入
因 ，所以 ，解得
所以AB所在直线方程为
（2）设 中点为
所以AB中垂线
(定值)
3．已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆(异于椭圆顶点)于 、 两点，试判断 是否
为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是， .【分析】
（1）根据离心率 和 为椭圆上一点，列式即可得解；
（2）依题意知直线 的斜率不为 ，故可设直线 的方程为 联立 ，消去 整理得
，设 ， ，则 ， ，结合条件表达
，化简即可得解.
【详解】
(1)由已知 ,解得
所以椭圆 的方程为
(2)由(1)可知
依题意可知直线 的斜率不为 ，故可设直线 的方程为
由 ，消去
整理得
设 ，
则 ，
不妨设 ， ， ，同理
所以
即 .
4．已知椭圆 的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为 的直线与C相交于
A，B，且 ，O坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若 ，过点F作与直线 平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点.
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）点M满足 ，直线 与椭圆的另一个交点为N，求 的值.
【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【分析】
（1）由几何关系可得 点坐标，代入椭圆方程即得 ，又 即得；
（2）（ⅰ）将直线 与椭圆联立即得 结果；
（ⅱ） 将其坐标化，利用P，Q，N在椭圆上求得结果即可．
【详解】
（1）已知 ，则 ，代入椭圆C的方程： ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）（ⅰ）由（1）可得 ，∴
设直线l：
∵ ，∴
联立直线l与椭圆C的方程：
恒成立
∴
∴ ．
（ⅱ）设
∴∵P，Q，N在椭圆上，∴
∴
由（ⅰ）可知 ，∴ ，
∴ ∴ ．
5．已知圆 和定点 ，平面上一动点 满足以线段 为直径的圆内切于圆 ，动点 的
轨迹记为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与曲线 交于不同两点 、 ，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点．
求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；
（2）设 ， ， ， ，联立直线 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算 ，可判断三
角形 的形状，即可得到证明．
【详解】
解：（1）设以线段 为直径的圆的圆心为 ，取 ．
依题意，圆 内切于圆 ，设切点为 ，则 ， ， 三点共线，因为 为 的中点， 为 中点，
所以
所以 ，
所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为 ，
则 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以动点 的轨迹方程为 ;
（2）设 ， ，（ 且 ）．
由 ，
得 ，
依题意 ，
即 ，
则 ，
因为
，所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，即 ．
因为 ，所以 ．
6．已知椭圆C： 的离心率为 ，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长
为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点 ， ，过点A的任意一条直线 与椭圆C交于M，N两点，求证：
．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意得 ，可求出 ，即可得到椭圆的方程；
（2）过 ， 分别作 轴的垂线段 ， ，易得 ，要证明 ，只需
证明 ，即证 ，只需证明 ，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，
结合韦达定理，表示出直线 、直线 的斜率，进而可证明 .
【详解】
（1）椭圆 中，令 ，得 ，
因为过焦点且与 轴垂直的直线被椭圆 截得的线段长为 ，所以 ，根据离心率为 ，得 ，
由 ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）证明：要证明 ，只需证明 ，
过 ， 分别作 轴的垂线段 ， ，易得： ，所以只需证明 ，
所以只需证明 ，只需证明 ．
当直线 的斜率不存在时，易得 ．
当直线 的斜率存在时，不妨设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立 消去y，得 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，.
综上所述， ．
7．已知椭圆E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在
椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM
与椭圆E交于C，D，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据a=2b，再将点 代入椭圆方程，解方程组即可求解.
（2）设直线l的方程为 ，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可得M点坐标为 ，
从而求出直线OM方程，将直线与椭圆联立，求出点 ，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
（1）由已知，a=2b.又椭圆 过点 ，
故 ，解得 .所以椭圆E的方程是 .
（2）设直线l的方程为 ， ，
由方程组 得 ，①，
方程①的判别式为 ，由 ，
即 ，解得 .
由①得 .
所以M点坐标为 ，直线OM方程为 ，
由方程组 ，得 .
所以 .
又
.
所以 .
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为F 、F ，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于
1 2
P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k ，k ．
1 2
（1）证明：k ·k 为定值；
1 2
（2）过F 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 ，求|AB|．
2
【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】
（1）设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n），则可表示出 ，进而可得 的表达式，又根据
点P，M在椭圆上，利用点差法，即可得证；
（2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x ，y ），B（x ，y ），联立直线与椭圆可得关于y的一元二次方程，
1 1 2 2
利用韦达定理，可得 的表达式，根据 ，可得 的关系，即可求出 ，代入弦
长公式，即可求得结果.
【详解】
（1）证明：设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n），
则 ， ，
则 ，
又 ， ，
故 ，
所以 为定值．
（2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，
则有 ， ．
又 ，所以-y ＝2y ，
1 2
故 ，解得 ，
所以 ．9．已知点 在抛物线 ： 上，直线 ： 与抛物线 有两个不同的交点.
（1）求 的取值范围；
（2）设直线 与抛物线 的交点分别为 ， ，过点 作与 的准线平行的直线，分别与直线 和 交
于点 和 （ 为坐标原点），求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知点坐标求得参数 ，由方程的解（判别式）确定直线与抛物线的位置关系；
（2）设 ， ，显然， ， 均不为0，由（1）中方程应用韦达定理得 ①，
，要证 ，只要证 .即可得．
【详解】
解：（1）由抛物线 ： 过点 ，得 .
所以抛物线 的方程为 .
由 得 .
由题意 ，且 ，即 ，
因此 的取值范围是 且 ．.
（2）设 ， ，显然， ， 均不为0.
由（1）可知 ①， ②.
由题意可得 ， 的横坐标相等且同为 ，
因为点 的坐标为 ，所以直线 的方程为 ，点 的坐标为 .直线 的方程为 ，点 的坐标为 .
若要证明 ，只需证 ，即证 ，
即证 .
将 代入上式，即证 ，
即证 ③，
将①②代入③得 ，此等式显然成立.
所以 恒成立，故 .
10．如图所示，在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆 的上顶点.椭圆 以椭圆 的长
轴为短轴，且与椭圆 有相同的离心率.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率分别为 的两条直线 ，直线 与椭圆 分别交于点 ，直线 与椭圆
分别交于点 .（i）当 时，求点 的纵坐标；
（ii）若 两点关于坐标原点 对称，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）（i）点A的纵坐标： ；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）根据椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）（i）设出直线 的方程，并分别与 的方程联立求出 的横坐标，由 代入坐标得出
，求出 的值，再由直线 的方程得出点 的纵坐标；
（ii）设出直线 的方程，求出 的横坐标，根据 得出 ，最后由 ， ，求
出 为定值.
【详解】
（1）设椭圆 的方程为
由题意可知 ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ；
（2）(i)由 得 ；由 得 ；
由 知， ，解得
故 ；
(ii)设直线 的方程为 ，同理可得 ，由 两点关于坐标原点 对称知
，即 ，即 ；
由相似三角形的性质可知
同理，
所以 .
11．已知椭圆 与直线 有且只有一个交点，点 为椭圆 上任意一点，， ，且 的最小值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，点 为坐标原点，且 ，当
的面积 最大时，判断 是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由.
【答案】（1） ；（2）定值为 ，证明见解析
【分析】
（1）设点 ，根据题意，得到 ，根据向量数量积的坐标表示，得到 ，
根据其最小值，求出 ，即可得出椭圆方程；
（2）设 ， ， ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到
直线距离公式，求出 的面积 的最值，得到 ；得出点 的轨迹为椭圆
，即可得出 为定值.
【详解】
（1）设点 ，由题意知 ， ，则
，
当 时， 取得最小值，即 ，
，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 ， ， ，由 ，得 ，
， ，
则点 到直线 的距离 ，
，
取得最大值 ，当且仅当 即 ，①
此时 ， ，
即 ， 代入①式整理得 ，
即点 的轨迹为椭圆 ，
且点 为椭圆 的左、右焦点，即 ，
故 为定值 .
12．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于
， 两点，且 的周长为8．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若一条直线与椭圆 分别交于 ， 两点，且 ，试问点 到直线 的距离是否为定值，证
明你的结论．【答案】（1） ；（2）为定值，证明见解析．
【分析】
（1）由 的周长为8，求得 ，再由椭圆离心率 ，解求得 ，即可求得椭圆的标准方程；
（2）当直线 的斜率不存在时，求得点 到直线 的距离；当直线 的斜率存在时，设直线 的方
程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，结合向量的数量积的运算，求得
，进而得到点 到直线 的距离，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意， 的周长为8，可得 ，解得 ，
由椭圆离心率 ，解得 ．
所以椭圆 的方程 ．
（2）由题意，当直线 的斜率不存在时，此时不妨设 ， ．
又 ， 两点在椭圆 上，∴ ， ，
∴点 到直线 的距离 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
设 ， ，联立方程 ，
消去 得 ．
由已知 ， ， ，
由 ，则 ，即 ，整理得： ，
∴ ，整理得 ，满足 ．
∴点 到直线 的距离 为定值．
综上可知，点 到直线 的距离 为定值．
13．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程.
（2）设 为椭圆 上非顶点的任意一点，若 ､ 分别为椭圆 的左顶点和上顶点，直线 交 轴
于 ，直线 交 轴于 ， ，问： 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明
理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为 .
【分析】
（1）由离心率得 ，再代入点的坐标可得参数 值，得椭圆方程；
（2）设 ， ，用 表示 ，然后计算 ，并代入 可得结论．
【详解】
解：（1）设椭圆方程为 ， ．
，
设椭圆方程为 ，
又椭圆过点 ，所以 ，解得 ，
故椭圆方程为 .（2）设 ， ，由 ､ ､ 共线可知 ，
由 ､ ､ 共线可知 .
， .
∴ ，
由于 ，
∴ .
14．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当 在圆上运动时，线段
上有一点 ，使得 ，
（1）求 的轨迹的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且以 为直径的圆经过原点 ，求证：点 到直线 的距离
为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先设 ， ，根据题意，得到 ， ，进而可求出结果；
（2）先设直线 的方程为 ， ， ，根据题意得到 ，推出
，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，以及题中条件，得出 ，
再由点到直线距离公式，即可得出结果.【详解】
（1）设 ， ，由题意可得， ， ，
则 ，代入 ，整理得 ；
即所求 的轨迹的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
因为以 为直径的圆经过原点 ，所以 ，则 ，
即 ，即 ；
联立 消去 得 ，整理得 ，
则 ， ，即 ，
所以 ，整理得 ，则 ，
满足 ，
又点 到直线 的距离为 为定值.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x ，y ）是椭圆C： （a＞b＞0）上一点，从原点O向
0 0
圆R：（x﹣x ）2+（y﹣y ）2＝8作两条切线，分别交P、Q两点．
0 0（1）若R点在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；
（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k 、k ，求k •k ；
1 2 1 2
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【答案】（1）（x﹣2 ）2+（y﹣2 ）2＝8；（2） ；（3）是定值，理由见解析.
【分析】
（1）根据直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，得到|OR|＝ r＝4，即x 2+y 2＝16，再根据点R在椭
0 0
圆C上，即 求解.
（2）根据直线OP：y＝k x和OQ：y＝k x都与圆R相切，得到 ，两边平方
1 2
可得k ，k 为（x 2﹣8）k2﹣2x y k+（y 2﹣8）＝0的两根求解.
1 2 0 0 0 0
（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x ，y ），Q（x ，y ），由（2）知2k k +1＝0，即y 2y 2＝
1 1 2 2 1 2 1 2
x 2x 2，再根据P（x ，y ），Q（x ，y ）在椭圆C上，得到x 2+x 2进而得到y 2+y 2由两点间距离公式求解.
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
【详解】
（1）由圆R的方程知圆R的半径r＝2 ，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以|OR|＝ r＝4，即x 2+y 2＝16①
0 0又点R在椭圆C上，所以 ②
联立①②，解得x ＝y ＝2 ，
0 0
所以，所求圆R的方程为（x﹣2 ）2+（y﹣2 ）2＝8；
（2）因为直线OP：y＝k x和OQ：y＝k x都与圆R相切，
1 2
所以 ，
两边平方可得k ，k 为（x 2﹣8）k2﹣2x y k+（y 2﹣8）＝0的两根，
1 2 0 0 0 0
可得k •k ＝ ，
1 2
因为点R（x ，y ）在椭圆C上，
0 0
所以 ，即y 2＝12﹣ x 2，
0 0
所以k k ＝ ＝﹣ ；
1 2
（3）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
由（2）知2k k +1＝0，
1 2
所以 +1＝0，故y 2y 2＝ x 2x 2，
1 2 1 2
因为P（x ，y ），Q（x ，y ）在椭圆C上，
1 1 2 2
所以 ， ，
即y 2＝12﹣ x 2，y 2＝12﹣ x 2，
1 1 2 2
所以（12﹣ x 2）（12﹣ x 2）＝ x 2x 2，
1 2 1 2
整理得x 2+x 2＝24，
1 2所以y 2+y 2＝（12﹣ x 2）+（12﹣ x 2）＝12，
1 2 1 2
所以OP2+OQ2＝x 2+y 2+x 2+y 2＝（x 2+x 2）+（y 2+y 2）＝36．
1 1 2 2 1 2 1 2
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝36．
综上可得，OP2+OQ2为定值36．
16．已知双曲线 的方程为： ，其左右顶点分别为： ， ，一条垂直于 轴的直线交双曲线
于 ， 两点，直线 与直线 相交于点 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线，与轨迹 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于 点，试探讨
是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.
【答案】（1） ；（2）为定值， .
【分析】
（1）设直线为： ， ， ，以及 ，利用三点共线得到 ，
，两式相乘化简得 ，再利用点 在双曲线上代入整理即可得到答案；
（2）显然直线 不垂直 轴，①当 时，易证 ，②当 时，利用点斜式设出直线 方程，联
立直线 与椭圆的方程消 ，得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出 ，求出
的中点坐标，利用点斜式求出线段 的垂直平分线的方程，求出点 的坐标，利用两点间的距离公式求解 ，即可得出答案.
【详解】
（1）由题意知： ， ，
设直线为： ， ， ，以及 ，
由 三点以及 三点共线，则
， ，
两式相乘化简得： ，
又 ，
代入上式得轨迹 的方程： .
（2）显然直线 不垂直 轴，
①当 时，直线 的方程为： ，
线段 为椭圆的长轴，线段 的垂直平分线交 轴于 点，
则 ， , ,
所以 ；
②当 时，设方程为： ，
联立方程得 ，
化简整理得： ，
设 ， ，，
，
线段 的中点的坐标为 ，
线段 的垂直平分线的方程为： ，
令 ，则 ，
，
∴ .
综上： .
17．已知动点 (其中 )到定点 的距离比点 到 轴的距离大1.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过椭圆 的右顶点作直线交曲线 于 ､ 两点，其中 为坐标原点
①求证： ；
②设 ､ 分别与椭圆相交于点 ､ ，证明：原点到直线 的距离为定值.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【分析】
（1）根据题意有 ，化简可得答案.（2）直线 的方程为 ,与抛物线方程联立，
①由 ，将韦达定理代入可证明.
②由①可得 ，设 ､ ，直线 的方程为 ，则 ，由方程联
立，韦达定理可得 ，再由点到直线的距离公式可证明.
【详解】
（1）设 由题意，
两边平方，整理得：
所以所求点 的轨迹方程为 .
（2）①设过椭圆的右顶点 的直线 的方程为 .
代入抛物线方程 ，得 .
设 ､ ，则
∴ .
∴ .
②设 ､ ，直线 的方程为 ，
代入 ，得 .
于是 ， .
从而
∵ ，∴ .代入，整理得 .
∴原点到直线 的距离 为定值.
18．已知椭圆 的左，右焦点分别是 ， ，离心率为 ，直线 被椭圆 截
得的线段长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于 点，点 关于 轴的对称点为 ，
直线 交 轴于 点.求证： 为坐标原点）为常数.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用已知条件，解得 ， .然后推出椭圆方程.
（2）直线 的方程为 ，则 的坐标为 .设 ， ， ， ，则 ， ，直线
的方程为 ，求出 坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解 即
可.
【详解】
（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ，
由直线 被椭圆 截得的线段长为 可知，点 在椭圆上，
从而 .结合 ，可解得 ， .
故椭圆 的方程为 .（2）证明：依题意，直线 的方程为 ，则 的坐标为 .
设 ， ， ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 点的横坐标为 .①
又由 ，得 ，
，
得 ，
代入①得 ，
得 ，所以 为常数4.
19．已知椭圆 的长轴长为4，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，且
， 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设点 ， 为椭圆 上的两个动点， ，问：点 到直线 的距离 是否为定值？若
是，求出 的值；若不是．请说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）点 到直线 的距离 是 ，是定值．
【分析】
（Ⅰ）由题可得 ，再根据 可在 中求出 ，即得椭圆方程；（Ⅱ）分直线 的斜率不存在和直线 的斜率存在两种情况进行讨论，可设直线 的方程为
，联立椭圆方程即可证得定值.
【详解】
（Ⅰ）设椭圆 的半焦距为 ．
由已知可得 ，解得 ．
因为 ，
易得在 中， ， ， ，
．
所以 ，解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时， 轴．
由 可得 ．
结合椭圆的对称性，可设 ， ，则 ．
将点 代入椭圆 的方程，得 ，
解得 ，所以 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
此时点 到直线 的距离 ，即 ．
设 ， ，
由 ，可得 ，
则 ，得 ．所以 ， ．
所以
．
又因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
所以 ，得 ．
综上所述，点 到直线 的距离 是 ，是定值．
20．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ，点 在椭圆 上，且
的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程：
（2）若点 为椭圆 的上顶点，过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆 交于两个不同的点 、 ，
直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据已知条件求得 、 、 的值，进而可得出椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 、 、 ，将直线 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点 、 的坐标，结合韦达定理可计算出 的值，进而得解.
【详解】
（1）由题意可得 ，解得 ， ， ，
因此，椭圆 的方程为 ；
（2）如下图所示：
设直线 的方程为 ，设点 、 、 、 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，可得 .
由韦达定理可得 ， ，
易知点 ，直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
由于直线 交 轴于点 ，可得 ，解得 ，同理可得 ，
，因此， .
21．已知椭圆C： 的的离心率为 ，且其右顶点到右焦点的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）点M、N在C上，且 ，证明：存在定点P，使得P到直线 的距离为定值.
【答案】（1） ，（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据已知列出方程组 ，解方程即可求得结果；
（2）若直线 与x轴垂直，求得 的坐标，若直线 不与x轴垂直，设直线 的方程为 与
椭圆方程联立，由 可得 ，利用韦达定理化简可得 ，则有
，即可证得存在点 符合条件.
【详解】
（1）由题意得 ，解得 ， ，所以椭圆C的方程为 ；
（2）①若直线 与x轴垂直，由对称性可知 ，
将点 代入椭圆方程中，解得 ；
②若直线 不与x轴垂直，设直线 的方程为 ，， ，由 ，消去y整理得 ，
所以 ， ，
又 ，则 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，故存在定点 .
综上所述，存在定点 ，使得P到直线 的距离为定值.
22．已知点P是圆 上任意一点，定点 ，线段 的垂直平分线l与半径 相交于
M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为 .
（1）求点M的轨迹 的方程；
（2）若点N在双曲线 (顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线 相交于 ，过点 的
直线与曲线相 交于 ，试探究 是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说
明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定值为： .
【分析】
（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设 得直线 的斜率乘积 ，利用点斜式方程
设出直线NR，NQ的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度，然后求和，通过计算可得出结果．
【详解】
（1）依题意： ，
且 ，
由椭圆定义知点M的轨迹为以R，Q为焦点，长轴长为 ，焦距为4的椭圆，
即： ，
故 .
（2）设 ，则 ，
∴直线 的斜率都存在，分别设为 ，
则 ，
将直线 的方程 代入 得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
同理可得 ，23．设椭圆 的左､右焦点分别为 ，下顶点为 为坐标原点，点 到直线
的距离为 为等腰三角形.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若倾斜角为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 交于 两点( 点在 点的上方)求线
段 与 的长度之比.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设出直线 的方程，表示出点 到直线 的距离，结合 ， ，即可求出 、 、
的值，从而得出椭圆 的标准方程；
（2）由题意知过右焦点 的直线为 ，与椭圆方程联立，可以解出 两点坐标，即可求解.
【详解】
（1）由题意知， 、 、 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
则 ，
因为 为等腰三角形，所以 ，
又 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）由题意知过右焦点 的倾斜角为 的直线为 ，、
联立 或 ，
所以
24．已知椭圆E： 过点 ，离心率 为 ．
（1）求椭圆方程；
（2）已知不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直
线 分别与 轴相交于点 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意得 ，再离心率 即可解得答案；
（2）设 ，则 ，将直线与椭圆方程联立得 ，故
， ，进而得 ， ，故
【详解】
解：（1）因为椭圆 过点 ，所以 ；
又 ，所以 .
即椭圆方程为 .（2）法一：设 ，则
由 ，得 ，
所以 ，
在直线 中，令 ，则 ，即 ，
直线 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 ，
即
（2）法二：设 ，
则 ，
由A，B，P三点共线，则有 ，即
所以 ；
由B，M，Q三点共线，则有 ，即
所以所以
因为A，B在椭圆E上，
所以 ，所以 ，同理 ，
代入（1）中，得
即
25．已知椭圆M： ，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见详解.
【分析】
（1）根据椭圆的方程得到右顶点和上顶点所在的直线方程，利用直线与圆心在原点的圆相切求解出圆的
半径，从而求解出圆 的方程；
（2）先根据条件分析出 的位置关系，根据 的位置关系结合三角形中线段长度关系证明
为定值.
【详解】
（1）取椭圆的上顶点 ，右顶点 ，所以 ，
又因为 与圆 相切且圆心在坐标原点，所以圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为： ；
（2）当 的斜率存在时，设 ， ，因为 与圆 相切，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以可得 ∽ ，所以 ，所以 ，所以
为定值 ；
当 的斜率不存在时，此时 ，所以 的坐标为 或 ，
所以 ，
综上可知： 为定值 .类型四:向量关系为定值1-10题
1．设抛物线 ， 为 的焦点，过 的直线 与 交于 两点.
（1）设 的斜率为 ，求 的值；
（2）求证： 为定值.
【答案】（1）5；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出直线方程为 ，联立直线与抛物线，由 即可求解；
（2）设直线方程为 ，由韦达定理表示出 ，即可得出定值.
【详解】
（1）依题意得 ，
所以直线 的方程为 .
设直线 与抛物线的交点为 ， ，
由 得， ，
所以 ， .
所以 .
（2）证明：设直线 的方程为 ，
直线 与抛物线的交点为 ， ，
由 得， ，所以 ， .
因为
.
所以 为定值.
2．如图，过点 的直线 与抛物线 交于 两点.
（1）若 ，求直线 的方程;
（2）记抛物线 的准线为 ，设直线 分别交 于点 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）-3.
【分析】
(1) 设直线 的方程为 ， ,方程联立得到 ，由直线方程求
出 ，由条件可得 ，从而求出答案.
(2) 由直线 分别交 于点 ，则 ,可得 ，同理可得 ，由，结合（1）中的 可得答案.
【详解】
(1) 设直线 的方程为 ，
由 ，得
所以
则
由抛物线的性质可得
解得 ，所以直线 的方程为：
（2）由题意可得直线 ： ，设
由（1）可得 ，
由直线 分别交 于点 ，则 ,
即 ，所以
由直线 分别交 于点 ，则 ,
即 ，所以
3．已知椭圆方程为 ，直线 与 轴的交点记为 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 ， 两
点.（1）设若 且交直线 于 ，线段 中点为 ，求证： ， ， 三点共线；
（2）设 点的坐标为 ，直线 与直线 交于点 ，试问 是否为定值，若是，求出这个定值，
若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）是； 为定值0.
【分析】
（1）由题意设 的方程与椭圆联立求出两根之和与两根之积，进而求出 的中点坐标，代入直线
中，符合，则可得在直线 上；
（2）分直线 的斜率存在与不存在两种情况讨论，设直线 与椭圆联立，求出两根之和与两根之积，
设直线 求出交点 ，再求数量积得为定值0
【详解】
（1）由椭圆方程为 知，右焦点 坐标 ，
椭圆 的右准线 方程为 ，点 坐标 .
由 知，直线 的斜率不为0，故设直线 的方程为 ，
从而，直线 的方程为 ，令 得， 点坐标为 ，
故直线 的方程为 .
联立方程组 ，消去 得： ，
设 ，即 ， ，
从而，线段 的中点 ， .
又线段 的中点 的坐标满足直线 方程 ，
所以点 在直线 上，综上可知， ， ， 三点共线；
（2）当直线 的斜率为0时，点 即为点 ，从而 ，故 .
直线 的斜率不为0时，由（1）知， ， ，
所以 ，则 ，
直线 的方程为 ，又 ，
令 ，得 ，
所以点 的坐标为 ，即 ，所以 .
综上可知， 为定值0.
4．已知椭圆 的右焦点为 ，离心率 ，点A、B分别是椭圆E的上、
下顶点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求
的值.
【答案】（1） ；（2）1.
【分析】
（1）先求出 ， ，再求椭圆的方程；
（2）先联立方程得到 ，再得到 和 ，最后判断出
，即 为定值1.
【详解】
（1） ， ，
，椭圆 .
（2）易知l的斜率存在且不为0，
设 ， ， ，
由 ，
，设点 ， ，
则 ，
由A、Q、C三点共线， ，由B、Q、D三点共线， ，
上面两式相除得： ，
，
结合图形易知 与 同号，
，
，即 为定值1.
5．已知双曲线 ，点 的坐标为 ，过 的直线 交双曲线 于点 .
（1）若直线 又过 的左焦点 ，求 的值；
（2）若点 的坐标为 ，求证： 为定值.
【答案】
（1） ；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出左焦点 的坐标，设 ， ，求出直线 的方程，与双曲线方程联立，可得 ，，由两点间距离公式计算 即可求解；
（2）设直线 ，与双曲线方程联立可得 ， ，利用向量的坐标表示
，整理即可求证.
（1）
由双曲线 可得 ， ，所以 ，
所以 ，设 ， ，
，所以直线 的方程为 ，
由 联立得： ，
所以 ，
.
（2）
由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线 ，
由 可得： ，
所以 ， ， ， ，.
所以 为定值.
6．已知椭圆 ，离心率为 ，短轴长为 ． 为椭圆的左右顶点，P为椭圆上
任一点（不同于 ），直线 分别与直线 交于 两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若F为椭圆右焦点，试判断 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是，定值为0.
【分析】
（1）结合 ， ，即得解；
（2）分别设直线 ， ，表示 两点，可得 ，再用
表示 ，结合椭圆方程，即得证
【详解】
（1） ， ，
椭圆方程为：
（2）由（1）可得： ，设 ，
设 ，联立方程 解得： ，
同理：设 ，联立方程 可得： ，，
，
，
，
在椭圆上，所以 ，
，
，
所以 为定值.
7．已知抛物线 的焦点为 ，且点 与圆 上点的距离的最大值为
.
（1）求 ；
（2）若 为坐标原点，直线 与 相交于 ， 两点，问： 是否为定值？若为定
值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
【答案】（1）2；（2） 的值为定值 .
【分析】
（1）根据圆上的点与定点之间距离的最大值等于圆心与定点的距离加半径得到等量关系，从而解方程即
可求出结果；
（2）联立直线的方程与抛物线，结合韦达定理化简整理即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题得，圆 的圆心 ，抛物线 的焦点为 ， ，
所以 与圆 上点的距离的最大值为 ，
解得 .
（2）设 ， ，
由 得 ，
所以 ，且 ， ，
， ，
所以 .
所以 的值为定值 .
8．设双曲线C： ，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.
（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；
（2）直线l交直线 于点P，且点A在点P，F之间，试判断 是否为定值，并证明你的结论.
【答案】（1） ；（2）是定值，证明见解析.
【分析】
(1)由已知可得直线l斜率不为0，设其方程为 ，联立方程组化简，由直线l与双曲线C的右支交
于A，B两点，可得方程 有两个不同的解，设 ，则 ，，列方程求m的范围，由此可求倾斜角 的取值范围，
(2)求点P的坐标，利用(1)的结论化简可证 为定值.
【详解】
解：（1）由双曲线 得 ，
则右焦点 ，显然直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，
由 得
因为直线 与双曲线 的右支交于 两点，
设 ，
则
解得 ，
当 时，直线 倾斜角 ，
当 时，直线 的斜率 或 ，
综上，直线 倾斜角 的取值范围为 .
（2）由 得不妨假设 ，
则
，
又 ，
代入上式，得
所以 为定值1.
9．已知椭圆E： （ ）的焦点为 ， ，且点 在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知过定点 的动直线l交E于A，B两点，线段 的中点为N，若 为定值，
试求m的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由椭圆的定义可得 ，再由 ，结合 即可求解.
（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在，设其方程为 ，将直线与椭圆联立，，利用韦达定理即可求解.
【详解】
解：（1）由题意可知 ，∴ ，而 ，
∴ ，∴椭圆E的方程为 ．
（2）①若直线l的斜率不存在，易得 ，
②若直线l的斜率存在，设其方程为 ， ， ，
则 ，联立 得
，
且 ， ，
要使上式为常数，必须且只需 ，即 ，
此时易知 恒成立，且 ，符合题意．
综上所述， ．10．已知椭圆 ： （ ）上的点 到 的两焦点的距离之和为6， 的离心率为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）设坐标原点为 ，点 在 上，点 满足 ，且直线 ， 的斜率之积为 ，证明：
为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用椭圆的定义与椭圆的离心率，即可得 ， ，由 可求出 的值，从而得 的标准方程．
（2）法一：当直线 的斜率不存在时，求出 的值；当直线 的斜率存在时，设出直线
的方程，利用直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系及向量的线性运算求出 的值，从而得到
结论．法二： 设出 ， 的坐标，利用 ， 的斜率之积为 ，得 ， 两点的横坐标和纵坐标
之间的关系式，将 ， 的坐标代入 的方程，分别求出 ， 两点的横坐标和纵坐标之间的关系式，
由向量的线性运算和数量积可证出 为定值．
【详解】
解：（1）因为椭圆 ： （ ）上的点 到 的两焦点的距离之和为6，所以 ，解得
，
又 的离心率为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 的标准方程为 ；
（2）法一：设 ，当直线 的斜率不存在时， ，因为直线 ， 的斜率之积为 ，所以 ，即 ，
又 ， 在椭圆 上，所以 ， ．
因为 ，所以
；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 （ ），
联立方程得 消去 ，得 ，
，
设 ，则 ， ．
因为直线 ， 的斜率之积为 ，
所以 ，
即 ，得 ，满足 ．
因为 ，
所以．
综上， 为定值．
法二：设 ， ，因为直线 ， 的斜率之积为 ，
所以 ，即 ．
因为M ， 在椭圆 ： 上，
所以 ， ，
可得 ①，
②，
由① ②得 ，所以 ，即 ．
由① ②得 ，得 ．
因为 ，
所以
，因此 为定值．类型五:角度关系为定值1-10题
1．已知椭圆 中心为原点，离心率 ，焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过定点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，
总有 ？说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在；答案见解析.
【分析】
（1）根据焦点坐标及离心率可确定 ， ，然后解出 便可得出椭圆的方程；
（2）假设存在点 ，使得当 变动时，总有 ，则可知直线 与 的倾斜角互补，
斜率互为相反数．设直线 为 ， ， ，联立直线方程与椭圆方程，得到 与
，然后表示出 ，使 恒成立求解 的值.
【详解】
解：（1） ， ，∴ ，
所以椭圆 的标准方程： .
（2）假设存在这样的点 ，且设 ，
直线 ，联立 得 ， .设 ， ，则 ， .
若 成立，则直线 与 的倾斜角互补，斜率互为相反数，
，即 .
即 ，整理得： ，
所以 ，则 ，即 .
若 与 无关，
则 .
故在 轴上存在点 ，使得当 变动时，总有 .
2．已知椭圆 的中心为原点，离心率 ，焦点 ，斜率为 的直线 与 交于 两点．
（1）若线段 的中点为 为 上一点，且 成等差数列，求点 的坐标；
（2）若 过点 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在这样的点Q满足题意，且坐标为 ，理由见解析．
【分析】
（1）根据几何性质求出椭圆的标准方程，设 ，利用 分别表示
，根据 以及 成等差数列可求得结果.
（2）假设存在这样的点，且设 ，又 ，联立直线与椭圆，得到 ， ，将
转化为 ，根据斜率公式以及 ， 化简变形可得 ，从而可得结果.
【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为 ，又 ， ，
所以 ， ，所以 ，
设 ，则
，
因为 ，所以 ，
同理 ，
所以 ，
又 成等差数列，故 ，
.
（2）假设存在这样的点，且设 ，又 ，
联立 消去 并整理得 ，
所以 ，即 ，
，
因为 ，所以 与 倾斜角互补，
所以 ，
，，
，
，
对任意实数 恒成立，所以 ，故存在这样的点，且 ．
3．已知双曲线的方程 .
（1）求点 到双曲线C上点的距离的最小值；
（2）已知圆 的切线 (直线 的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定
值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值， .
【分析】
（1）设双曲线上任意一点为 ，则 ，利用两点间的距离公式求出 ，利用二次函数
求最值即可；（2）设直线 的方程为： ，利用直线 与圆相切可得到 ，设
，直线与双曲线的方程联立消 ，利用韦达定理得到
，再求出 ，最后利用 得出结论即可.
【详解】
（1）设双曲线上任意一点为 ，
则 ，，
当 时，等号成立，
即点 到双曲线C上点的距离的最小值为 ；
（2）设直线 的方程为： ，
因为直线 与圆相切，
所以圆 的圆心 到直线 的距离等于圆的半径 ，
即 ，①
设 ，
由 消 得，
，
由题意知： ，
，
由韦达定理得 ，
由①得： ，
则 ，
因为 ，
所以 为定值.4．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长
为半径的圆与直线 相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点 的直线l交椭圆C于A，B两点，连接 并延长交C于M，求证：
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设圆O的方程为 ，根据圆O与直线 相切，求得 ，再根据 和 ，求得
，即可得到椭圆C的方程；
（2）设直线 ，联立方程组，求得 ，根据斜率公式，化简 ，得到
，代入即可求解.
【详解】
（1）由题意，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆，
可得圆O的方程为 ，
因为圆O与直线 相切，所以 ，由 及 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由题意可知直线l的斜率必存在，设直线 ，
联立方程组 ，消去y得 ，
有 ，整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
有
其中
所以 ，所以 .
5．设椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处
的切线被椭圆 截得的弦长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 、 ，求证： 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由离心率为 ，得 ，再根据圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 ，得到点
在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程．（2）先证明当过点 与圆 相切的切线斜率不存在时， ，再证明当过点 与圆 相切的切线斜
率存在时， ，即得证．
【详解】
解：（1）设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的离心率为 ，
由题知 ， ，
椭圆的方程为 ，
解得 ，点 在椭圆上，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
证明：（2）当过点 与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为 ，
由（1）知， ， ，
， ，
， ，
当过点 与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ， ， ， ， ，
，即 ，
联立直线和椭圆的方程得 ，
，
得△ ，
且 ， ，， ， ， ，
，
，
综上所述，圆 上任意一点 、 、 处的切线交椭圆于点，都有 ．
6．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 (不与 轴重合)交椭圆 于点 ､ ，直线 ､ 分别与直线 交于点 ､ ，求
的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题可知 且 ，即可由此求出 ，写出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，设点 ､ ，联立直线与椭圆，结合韦达定理表示出
，可以求出 ，从而求出角的大小.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ， ，从而 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，设点 ､ ，
联立 ，消去 得 ，则 恒成立，
由韦达定理得 ， ，
设点 ， ， ，
由 得 ，可得 ，即点 ，
同理可得点 ， ， ，
，
因此， .
7．如图，已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，左、右焦点分别为F ，F ，A为椭圆C上一点，
1 2AF 与y轴相交于点B，|AB|＝|F B|，|OB|＝ .
1 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A ，A ，过A ，A 分别作x 轴的垂线l，l，椭圆C的一条切线l：y＝
1 2 1 2 1 2
kx＋m(k≠0)与l，l 分别交于M，N两点，求证：∠MF N＝∠MF N.
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接AF，由题意得|AB|＝|FB|＝|FB|，所以BO为△FAF 的中位线，结合离心率可得a2＝9，b2＝
2 2 1 1 2
8，即可得答案；
（2）由题可知，l 的方程为x＝－3，l 的方程为x＝3，直线l的方程分别与直线l，l 的方程联立得M(－
1 2 1 2
3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，利用向量证明∠MF N＝ ，∠MF N＝ ，即可得答案；
1 2
【详解】
解：（1）连接AF，由题意得|AB|＝|FB|＝|FB|，所以BO为△FAF 的中位线．
2 2 1 1 2
又因为BO⊥FF，所以AF⊥FF，且|AF|＝2|BO|＝ .
1 2 2 1 2 2
又离心率e＝ ，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，
故所求椭圆C的标准方程为 .
（2）证明：由题可知，l 的方程为x＝－3，l 的方程为x＝3.
1 2
直线l的方程分别与直线l，l 的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
1 2所以 ＝(－2，－3k＋m)， ＝(4,3k＋m)，所以 · ＝－8＋m2－9k2.
联立 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
所以 · ＝－8＋9k2＋8－9k2＝0，所以 ⊥ ，故∠MF N＝ .
1
同理 ＝(－4，－3k＋m)， ＝(2,3k＋m)，
所以 ⊥ ，∠MF N＝ .故∠MF N＝∠MF N.
2 1 2
8．已知动圆Q经过定点 ，且与定直线 相切（其中a为常数，且 ）.记动圆圆心Q的
轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为 ，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N
两点，证明： .
【答案】（1） ，它是以F为焦点，以直线 为准线的抛物线；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设 ，由题意得 ，化简即得解；
（2）不妨设 ，先证明 轴，再利用韦达定理证明 即得解.
【详解】
（1）设 ，由题意得 ，化简得 ，
所以动圆圆心Q的轨迹方程为 ，
它是以F为焦点，以直线 为准线的抛物线.（2）不妨设 .
因为 ，所以 ，
从而直线 的斜率为 ，解得 ，即 ，
又 ，所以 轴.
要使 ，只需 .
设直线m的方程为 ，代入 并整理，
得 .
所以 ，解得 或 .
设 ， ，
则 ， .
.
故存在直线m，使得 ，
此时直线m的斜率的取值范围为 .
9．已知抛物线 的焦点为 ．点 在 上， ．
（1）求 ;
（2）过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交于 两点， 与直线 交于点 ，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；（2）是定值， .
【分析】
（1）由题知 ①，由焦半径公式得 ②，两式联立即可求得答案；
（2）先讨论当直线 与 轴平行时得 ，再讨论当直线 与 轴不平行且斜率存在时，
证明 ，再设方程，联立方程，利用向量方法求 即可.
【详解】
解：（1）因为点 在 上，所以 ①，
因为 ，所以由焦半径公式得 ②，
由①②解得
所以 .
（2）由（1）知抛物线的方程为 ，焦点坐标为 ，
当直线 与 轴平行时，此时 的方程为 ， 的方程为 ， ，此时
为等腰直角三角形且 ，故 .
当直线 与 轴不平行且斜率存在时，若 为定值，则定值比为 ，下面证明.
要证明 ，只需证明 ，
只需证 ，即 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程 得 ，设 ，则 ，所以 ， ，
联立方程 得 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，即 ，
所以 .
综上， 为定值， .
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，
N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线
C的切线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意易得抛物线方程x2=y，设A ，B ，根据两点写出直线方程得 ，
由于直线过E点，所以 ，再根据直线PA，PB直线方程解得点P坐标 ，进而得证.
（2）转化为证明向量 分别与向量 的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.
【详解】
（1）以OC为直径的圆为x2+(y-1)2=1.
由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)
代入抛物线方程可得2p=1.
所以抛物线的方程为x2=y.
设A ，B ，
所以
所以直线AB的方程为 ，
即
因为直线AB过点C(0，2)，
所以 ，所以 ①.
因为 ，所以直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为
直线PA的方程为 ，
即 ，
同理直线PB的方程为
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2） ， ，
注意到两角都在 内，
可知要证 ， 即证 ，
， ，所以 ，
又 ，所以 ，
同理 式得证.
类型六:坐标关系为定值1-10题
1．已知P为圆 ： 上一动点，点 坐标为 ，线段 的垂直平分线交直线 于
点Q.
（1）求点Q的轨迹 方程；（2）已知 ，过点 作与 轴不重合的直线 交轨迹 于 两点，直线 分别与 轴交
于 两点.试探究 的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，理由见解析.
【分析】
（1）由中垂线可知 ，所以Q点的轨迹为椭圆；
（2）设 两点的坐标，利用直线方程用 两点坐标表示 的横坐标；再把直线 代入椭圆方程消
元，韦达定理，整理 的横坐标的乘积可得结论.
【详解】
由已知线段 的垂直平分线交直线 于点Q.得， ,
又P为圆 ： 上一动点，
所以 ，
点的轨迹为以 为焦点，长轴为4的椭圆
椭圆方程：
设 ，则直线 方程: ，
令 ，得 ，同理可得
由题设直线 ： ，代入方程 整理得
，且
， ，故 （定值）
2．设椭圆 ，椭圆的右焦点恰好是抛物线 的焦点．椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点 的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B
不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据焦点为 ，且离心率 ，可得 ， ，即可得解；
（2）显然斜率不为 ，设过点 的直线为 ，设 ， ．联立 整
理，得 ，则有 ， ，设直线AC的方程为 ，
直线BD的方程为 ，联立结合韦达定理即可得解.
【详解】
（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
∴椭圆E的标准方程为 ．（2）由（1）可得 ， ．设过点 的直线为 ，设 ， ．
联立 整理，得 ，
，∴ ， ．
设直线AC的方程为 ，直线BD的方程为 ，
联立两条直线方程，解得 ①，
将 ， 代入①，得 ②，
将 ， 代入②，得 ． ，
∴直线AC，BD的交点的横坐标为定值－4．
3．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，过椭圆 的
右顶点 的直线l交于抛物线 于 ， 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若射线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ，点 为原点， ， 的面积分别为 ， ，问是否存在直线 使 ？若存在求出直线 的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若 为 上一点， ， 与 轴相交于 ， 两点，问 ， 两点的横坐标的乘积 是
否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
【答案】（1） （2）不存在，理由见解析；（3） 是定值，且定值为 ，理由见解析.
【分析】
（1）联立直线与抛物线方程求出 ， 两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；
（2）设直线 ， ， ，联立直线 与抛物线方程联立可得 ， ，设
， ，射线 ： 与椭圆方程联立可得 ，同理可得 ，
，计算 即可求解；
（3）设 ， ，令 可得： ，同理可得
，两式相乘整理，再讨论点 在不在直线 上，即可得定值.
【详解】
（1）设 ， ，由 可得 ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ；
（2）椭圆的右顶点为 ，设直线 ， ， ，将 代入 可得： ，
所以 ， ，
假设存在，设 ， ，
射线 ： ，
由 可得： ，同理可得 ，
， ，
所以 ，
所以
，
所以 ，所以不存在直线 ，使 ；
（3）设 ，则 ，
令 可得： ①，
同理可得： ②，
两式相乘可得即 ，
所以 ，
即 ，
当点 不在直线 上时， ，所以 ，
当点 在直线 上时， ，所以 ，
综上所述： 是定值，且定值为 .
4．如图，椭圆 的离心率为 ，右焦点到相应准线 的距离为1，点A， B，C
分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线 交椭圆于点D，交x轴于点M（x，0），直线
1
AC与直线BD交于点N（x，y）.
2 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆的离心率为 ，右焦点到对应准线的距离为1，由 求解；
（2）由（1）知 ，设 ，再由点M（x，0），根据 ，结合椭圆方程求得D点坐标，
1
写出直线方程；
（3）法一：设D坐标为（x，y），写出直线 的方程，与椭圆方程联立，求得求得D点坐标，再由
3 3
，得直线BD的方程与直线AC方程联立即可；法2：设D坐标为（x，y），由C，M，D三点
3 3
共线得 ，再由B，D，N三点共线得 ，两式相乘即可.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为 ，右焦点到对应准线的距离为1.
得 解得
所以，椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知 ，设 ，
因为 ，得 ，
所以 ，
代入椭圆方程得 或 ，
所以 或 ，所以 的方程为： 或 .
（3）设D坐标为（x，y），由 ，M（x，0）可得直线 的方程 ，
3 3 1
联立椭圆方程得： 解得 ， .
由 ，得直线BD的方程： ， ①
直线AC方程为 ， ②联立①②得 ，
所以 =2为定值.
解法2：设D坐标为（x，y），
3 3
由C，M，D三点共线得 ，所以 ， ①
由B，D，N三点共线得 ，将 代入可得 ， ②
①和②相乘得，
.
5．在直角坐标系 中，曲线 的点均在 外，且对 上任意一点 ， 到直线
的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 、 和 、．证明：当 在直线 上运动时，四点 、 、 、 的纵坐标之积为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分析可知，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，进而可求得曲线 的方程；
（2）设 的坐标为 ，设过 且与圆 相切的直线的斜率 存在且不为 ，分析可知切线 、
的斜率 、 为关于 的二次方程 的两根，可得出 ，设四点 、 、
、 的纵坐标分别为 、 、 、 ，联立直线 与抛物线的方程，可得出 的表达式，进一步可
得出 的表达式，由此可计算得出结果.
【详解】
（1）由题设知，曲线 上任意一点M到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线
是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
故曲线 的方程为 ；
（2）当点 在直线 上运动时， 的坐标为 ，又 ，
则过 且与圆 相切的直线的斜率 存在且不为 ，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 ，即 ，
于是 ，整理得 ，①
设过 所作的两条切线 、 的斜率分别为 、 ，
则 、 是关于 的方程 的两个实根，故 ②，
由 ，得 ③，
设四点 、 、 、 的纵坐标分别为 、 、 、 ，
则 、 是方程③的两个实根，所以 ④，同理可得 ⑤，
于是由②④⑤三式得
．
所以当 在直线 上运动时，四点 、 、 、 的纵坐标之积为定值 ．
6．已知椭圆 ： 的焦距为 ，点 关于直线 的对称点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ， .
求 面积的最大值
②当 与 相交于点 时，试问：点 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②是，1.
【分析】（1）求出点 关于直线 的对称点，由椭圆的性质得出 ，进而得出椭圆 的方程；
(2) ①设直线 的方程为 ， ， ，联立椭圆方程，表示出三角形的面积，利用基
本不等式求解面积的最大值；
②设出直线 ，直线 的方程，联立两直线方程求出点 的纵坐标
，利用韦达定理代入化简即可得出 的纵坐标是定值.
【详解】
解：（1）因为点 关于直线 的对称点为 ，
且 在椭圆 上，所以 ，
又 ，∴
则 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）①设直线 的方程为 ， ， ，
点 到直线 的距离为 .
消去 整理得： ，
由 ，可得 ，
且 ，
∴
设 ，则当且仅当 即 时等号成立，
∴ 的面积的最大值为 ；
②由题意得， ： ， ： ，
联立方程组，消去 得 ，
又∵ ， ，
解得
故点 的纵坐标为定值1.
7．在平面直角坐标系 中，已知点 ，P是动点，且三角形 的三边所在直线的斜率满足
．
（Ⅰ）求点P的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹 上异于点 的一个点，且 ，直线 与 交于点M，试探
究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．
【答案】（1） （ 且 ）；（2）点M的横坐标为定值 ．
【详解】
第一问利用已知的斜率关系式 ，设点的坐标代入即可得到轨迹方程．第二问中，由由 可知直线 ，则 ，然后设出点P,Q的坐标，然后表示一个关系式，
然后利用由 三点共线可知，同理得到关系式，联立解得．
解：（Ⅰ）设点 为所求轨迹上的任意一点，则由 得
，
整理得轨迹 的方程为 （ 且 ），
（Ⅱ）设 ，
由 可知直线 ，则 ，
故 ，即 ，
由 三点共线可知， 与 共线，
∴ ，
由（Ⅰ）知 ，故 ，
同理，由 与 共线，
∴ ，即 ，
由（Ⅰ）知 ，故 ，将 ， 代入上式得 ，
整理得 ，
由 得 ，即点M的横坐标为定值 ．
（方法二）
设
由 可知直线 ，则 ，
故 ，即 ，
∴直线OP方程为： ①；
直线QA的斜率为： ，
∴直线QA方程为： ，即 ②；
联立①②，得 ，∴点M的横坐标为定值 ．
8．已知椭圆 过点 ，过右焦点且垂直于 轴的直线截椭圆所得弦长是1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 分别是椭圆 的左，右顶点，过点 的直线 与椭圆交于 两点（ 与 不重
合），证明：直线 和直线 交点的横坐标为定值．
【答案】（1）椭圆 的标准方程是 ；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）由已知可知，点 及点 在椭圆上，代入，由 即可解得 则椭圆方程可求；（2）由（1）知点 ，设 ，联立方程 ，
消去 得 ，
进而得到 ，设直线 联立方程 ，解
得 ，将 ，可得 ，即直线 和直线 交点的横坐标为定值4．
试题解析：（1）由题知 ，解得 ，故椭圆 的标准方程是
（2）由（1）知点 ，设 ，联立方程 ，消去 得
，
所以 则直线 联立方程
，消去 得 ．
解得 因为 ，所以，即 ，所以 ，即直线 和直线 交点的横坐标
为定值4．
9．过抛物线 上一定点 作两条直线分别交抛物线于 ， ，
（1）若横坐标为 的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若 为抛物线的顶点， ，试证明：过 、 两点的直线必过定点 ；
（3）当 与 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 的斜率是非零常数.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ，证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义，结合题中条件，列出关于 的方程，求解，即可得出结果；
（2）先由题意得 ，直线 斜率不为零；设直线 的方程为 ，联立直线 与抛物线方
程，根据韦达定理，得到 ， ，再由 ，得 ，求出 ，即可证明结论成立；
（3）根据题中条件，先得到 ， ；由 作差整理，可得 ；同理可得 ；再由两
倾斜角互补，即可求出 ；由 作差整理，可表示出 ，进而可判断其为非零常数.
【详解】
（1）因为抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ；
又横坐标为 的点到焦点的距离为1，
所以 ，即 ，故抛物线方程为 ；
（2）若 为抛物线的顶点，则 ；
因为 ， 为抛物线 上的点，所以直线 斜率不为零；
可设直线 的方程为 ，
由 得 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，则 ；
所以 ，即 ，所以 ，
即直线 的方程为 ，
因此，过 、 两点的直线必过定点 ；
（3）因为 ， ， 都是抛物线 上的点，且 与 的斜率存在，则
， ；
由 可得 ，所以 ；
由 可得 ，所以 ；
又因为 与 的倾斜角互补，所以 ，即 ，
整理得 ，要求 的值，显然 ；所以 ，
要证明直线 的斜率是非零常数，显然直线 的斜率存在；
由 可得 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 是非零常数，
即直线 的斜率是非零常数.
10．已知 ， 分别是椭图 ： 的左，右焦点， 的顶点都在椭圆 上，且边
， 分别经过点 ， .当点 在 轴上时， 为直角三角形且面积为 .
（1）求 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证： 为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得 为等腰直角三角形，且点 为椭圆的上顶点， ，再结合 的面积为1，
可求出 的值，从而可求出 ，进而可求出椭圆方程，
（2）先讨论直线 或 的斜率不存在的情况 ，再设 ，直线 为 ，代入椭圆方程中
消去 ，再由根与系数的关系可得 ，再结合 表示出 ，从而可得 ，
同理可得 ，代入 中化简可得结论（1）
由题意可得 为等腰直角三角形，且点 为椭圆的上顶点， ，
因为 的面积为1，所以 ，解得 ，则 ， ，
所以椭圆方程为
（2）
若直线 的斜率不存在，则直线 为 ，将 代入椭圆方程得
， ，不妨设 ，则 ，即 ，
此时直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
同理可得直线 的斜率不存在时，可得 ，
若直线 的斜率存在，设 ，直线 为 ，代入椭圆方程得
，
所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，
所以
所以 为定值
类型七:系数关系为定值1-10题
1．已知椭圆C： ( )的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点F的距离为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设 ， ，试判断 是否为
定值？请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定值为 .
【分析】
（1）由题意可得 ， ， ，可求得椭的圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆的方程联立整理得： ，设， ， 由一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再根据向量的坐标运算
表示出 ， ，代入计算可求得定值.
【详解】
（1）由题可得 ，
又 ，所以
因此椭圆方程为
（2）由题可得直线斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 消去y，整理得： ，
设 ， ，则 ，
又 ， ，则 ， ，
由 可得 ，所以
同理可得 ，
所以所以， 为定值 .
2．已知椭圆 经过点 ，且右焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且斜率存在的直线 交椭圆 于 ， 两点，记 ，若 的最大值和最小值分别为
， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据焦点坐标得出 的值，由 ，将点 代入椭圆的方程，解出 ，即可得出椭圆
的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，将其代入椭圆方程，由韦达定理以及向量的数量积公式得出
，利用判别式法得出 ，最后由韦达定理得出 的值．
【详解】
（1）由椭圆 的右焦点为 ，知 ，即 ，则 ， ．
又椭圆过点 ，∴ ，又 ，∴ ．
∴椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ，
由 得 ，即∵点 在椭圆内部，∴
∴由韦达定理可得： （*）
则
将（*）代入上式得： ，
即 ， ，则
∴ ，即
由题意知 ， 是 的两根
∴ ．
3．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆C经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点 的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线 交于点Q，设 ，
，求证： 为定值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析
【分析】（Ⅰ）由离心率得 ，由椭圆过一点 ．得 ，两者结合可解得 ，得椭圆
方程；
（Ⅱ）设直线 方程为 ，设 ，直线方程代入椭圆方程后可得 ，由
， ，把 用 表示，然后计算 并代入 即可得证．
【详解】
（Ⅰ）由题意 ，解得 ，
∴椭圆方程为 ；
（Ⅱ）易知直线 斜率存在，设其方程为 ，设 ，
由 ，消元 整理得 ，
∴ ， ，
把 代入 得 ，即 ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
∴ ，
∴ 为定值．
4．已知直线 与圆 相切，动点 到 与 两点的距离之和等于 、 两点到直
线 的距离之和．（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 交轨迹 于不同两点 、 ，交 轴于点 ，已知 ， ，试问
是否等于定值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）是定值，为 ，理由详见解析.
【分析】
（1）由 得动点 的轨迹是以 、 为焦点，长轴长为6的椭圆可得答案；
（2）直线斜率存在取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用韦达定理结合向量可得答案.
【详解】
是定值，为 ，理由如下：
（1）设 、 、 三点到直线 的距离分别为 、 、 ， 为 的中点，
∵直线 与圆 相切，∴
∴
∴动点 的轨迹是以 、 为焦点，长轴长为6的椭圆
∴ ， ， ，
所以动点 的轨迹 .
（2）①当 斜率为0时， ， ，不妨取 ， ，
∴ ， ，则 ，
， ，则 ，∴ ．
②当 斜率不为0时，
设 ， 、 ，则 ．则
由 ，同理可得
由 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
综上， 为定值．
5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点 作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
为定值．
【答案】(1) (2)-10
【分析】
试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中抛物线的焦点是 ，这样有 ，
另外由离心率 ，就可求得 ，得标准方程；
（Ⅱ）本题是解析几何中定值问题，设出直线 方程为 ，同时设交点为
，由直线方程与椭圆方程联立后消元后可得 ，利用已知求得（用 表示），然后计算 可证得结论．
试题解析：（I）设椭圆C的方程为 ，
因为抛物线 的焦点坐标是 所以由题意知b = 1．
又有
∴椭圆C的方程为
（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为
易知右焦点 的坐标为（2，0）．
将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得
方法二：设A、B、M点的坐标分别为
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又
6．焦点在x轴上的椭圆C： 经过点 ，椭圆C的离心率为 ． ， 是椭圆的左、右焦
点，P为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点M为 的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存
在实数 ，使得 ；若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在 满足条件,详见解析
【分析】
（1）根据所给条件列出方程组，求解即可．
（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出 、 、 ，则 可求．
【详解】
解：（1）由已知可得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）若直线的斜率不存在时， ， ，
所以 ；当斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ．
联立直线 与椭圆方程 ，消去y，得 ，
所以 ．
因为 ，设直线 的方程为 ，
联立直线 与椭圆方程 ，消去 ，得 ，解得 ．
，
，
同理 ， ，
因为 ，
，故 ，存在 满足条件，
综上可得，存在 满足条件．
7．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点．过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
（1）若直线 与圆 ： 相切，求直线 的方程；
（2）若直线 与 轴的交点为 ．且 ， ，试探究： 是否为定值？若为定值，求
出该定值；若不为定值，试说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；
【分析】（1）由直线 过焦点 ，且与半径为 ，圆心 的圆相切知圆心 到直线 的距离 即可求直线
斜率 ，进而得到直线方程；（2）由直线 与抛物线 、 轴的交点情况知斜率存在且 ，令 ，
联立方程得 ，又 ， ，应用向量共线的坐标表示有
即可确定 是否为定值.
【详解】
（1）由题意知： 且圆 的半径为 ，圆心 ，即有 在圆 外，
∴设直线 为 ，则圆心 到直线 的距离 ，
解之得： ，即直线 的方程为 .
（2）由过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴的交点为 ，即斜率存在且 ，设直线
为 ，有 ，
联立直线方程与椭圆方程，有 ，可得 ，
设 ， ，即有 ，
， ， ， ，
由 ， ，可得 ， ，
∴ ，即可得 为定值
8．已知点 在抛物线 上，过点 的直线 与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直
线PA交 轴于M，直线PB交 轴于N.
（1）求抛物线C的方程；（2）求直线 的斜率的取值范围；
（3）设O为原点， ，求证： 为定值.
【答案】
（1）
（2）
（3）定值为2
【分析】
(1)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程.
(2)设出直线l方程，联立直线l与抛物线C的方程，借助判别式 即可计算得解.
(3)利用给定的向量关系，用点M，N的纵坐标表示 和 ，结合(2)的信息并借助韦达定理即可计算作答.
（1）
因点 在抛物线 上，则 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）
令直线 的斜率为k，则直线 方程为： ，
由 消去y并整理得： ，
因直线 与抛物线C有两个不同的交点A、B，则 ，解得 且 ，
又直线PA，PB与 相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线 不能过点(1，-2)，
否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此 ，
综上得： ， 且 ，
所以直线 的斜率的取值范围 .
（3）设点 ， ， ，而 ，则 ，同理 ，
设 ，由(2)知 ，
直线 方程： ，即 ，则 ，
令 ，得 ，同理 ，
于是得
，
所以 为定值2.
9．已知椭圆 的长轴长与短轴长之比为2，过点 且斜率为1的直线与椭圆
相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于 点，若 ， ．
证明： 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）得到 以及切线方程 ，然后假设椭圆方程为： ，联立切线与椭圆方程使
用 可得结果.
（2）讨论直线 为 轴与不是 轴，假设直线方程 ，并与椭圆联立，使用韦达定理，然后得到
，最后代入数据计算即可.【详解】
（1）由题意知： ， ，切线方程为 ，
设椭圆方程为： ，
直线与椭圆联立：
得 ，
，即 ，得 ，
∴椭圆方程为：
（2）当 为 轴时，易得 ， ， ．
当 不为 轴时，设直线 ， ，
直线与椭圆联立： ，得 ，
， ，
直线 ，令 ，则 ，即
， ， ，
， ，
， ， ，
， ，将（*）代入得：
．
（设直线 的方程为 时可以不用讨论）
10．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，直线 的倾斜角为
60°，原点 到直线 的距离是 ．
（1）求 的方程；
（2）过 上任一点 作直线 ， 分别交 于 ， （异于 的两点），且 ，
，探究 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为6．
【分析】
（1）先求出 ，然后由点到直线的距离列出关于 的方程，求出 的值，进而得到 的值，从而得到 的
方程；
（2）①当点 为椭圆右顶点时，求出 ；②当点 为椭圆左顶点时，求出 ；③当点 不
为椭圆顶点，即直线 ， 的斜率均不为零时，设直线 ， 的方程，分别与椭圆方程联立，得到
韦达定理，然后利用向量的关系，求出 ， ，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意，点 ，直线 的倾斜角为60°，所以 ，
在 中，求得点 到直线 的距离是 ，又由原点 到直线 的距离是 ，则 ，所以 ，
故 的标准方程为 .
（2）①当点 为椭圆右顶点时， ， ，所以 ；
②当点 为椭圆左顶点时，同理可得 ；
③当点 不为椭圆顶点，即直线 ， 的斜率均不为零时，
设直线 的方程是 ，直线 的方程是 ，
分别代入椭圆方程 ，
可得 和 ，
设 ， ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，则 ，
由直线 的方程 ，可得 ，
所以 ，
由 ，同理可得 ，所以 为定值．
综上所述， 为定值6．
