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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.4二次函数的图象与性质（3）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•南浔区期末）抛物线 与 轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【分析】将 代入抛物线解析式即可求得抛物线 与 轴的交点坐标．
【解析】当 时， ，
抛物线 与 轴的交点坐标为 ，
故选： ．
2．（2021•浦东新区模拟）关于抛物线 的判断，下列说法正确的是
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到 轴的距离是2
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．
【解析】 ，
抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
、 、 不正确；
抛物线顶点到 轴的距离是 ，正确，
故选： ．
3．（2020秋•镇原县期末）若二次函数 的图象经过点 ， ， ，则 与 的大小
关系为
A． B． C． D．不能确定
【分析】分别把 和 代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【解析】当 时， ；
当 时， ，
所以 ．
故选： ．
4．（2021•东莞市校级二模）若函数 的图象上有两点 ， ， ， ，若
，则
A． B．
C． D． ， 的大小不确定
【分析】根据 、 与对称轴的大小关系，判断 、 的大小关系．
【解析】 ，
此函数的对称轴为： ，
，两点都在对称轴左侧， ，
对称轴左侧 随 的增大而减小，
．故选： ．
5．（2021•新泰市模拟）抛物线 与直线 在同一坐标系中的大致图象可能为
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中 和 的正负情况和二次函数图象中 、
、 的正负情况，注意 ，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解析】选项 中，由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ， ，
故选项 不符合题意；
选项 中，由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ， ，故选项
符合题意；
选项 中，由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ， ，故选项
不符合题意；
选项 中，由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ， ，故选项
不符合题意；
故选： ．
6．（2021•桓台县一模）关于 的二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则实数 的
取值范围是
A． B． C． D．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【解析】二次函数 的开口向上，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
，
解得， ，
故选： ．
7．（2020秋•姜堰区期末）若二次函数 的 与 的部分对应值如表：则该二次函数图
象的顶点坐标是
0 1 2 3
12 7 4 3 4
A． B． C． D．
【分析】由二次函数图象上点的坐标 和 ，利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，
进而可得出顶点坐标．
【解析】 当 时， ；当 时， ，
二次函数图象的对称轴为直线 ，
二次函数图象的顶点坐标是 ．
故选： ．
8．（2021•长兴县模拟）如图是二次函数 的部分图象，使 成立的 的取值范围是A． B． C． D． 或
【分析】观察函数图象在 上和上方部分的 的取值范围便可．
【解析】由函数图象可知，当 时，二次函数 不在 下方部分的自变量 满足：
，
故选： ．
9．（2020•浙江自主招生）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象大致是
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法，可以解答本题．
【解析】当 ， 时，一次函数 的图象在第一、二、三象限，二次函数 的图象
经过原点，顶点在 轴的左侧，故选项 、 错误；
当 ， 时，一次函数 的图象在第一、三、四象限，二次函数 的图象经过原点，
顶点在 轴的右侧，函数图象开口向上，函数 与 交点在 轴上，故选项 正确；当 ， 时，一次函数 的图象在第二、三、四象限，二次函数 的图象经过原点，
顶点在 轴的左侧，函数图象开口向下，故选项 错误；
故选： ．
10．（2021•渭滨区一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 轴对称，且它们的顶点相距6个单位
长度，若其中一条抛物线的函数表达式为 ，则 的值是
A．1或7 B． 或7 C．1或 D． 或
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根
据题意得出关于 的方程，解方程即可求得．
【解析】 一条抛物线的函数表达式为 ，
这条抛物线的顶点为 ，
关于 轴对称的抛物线的顶点 ，
它们的顶点相距6个单位长度．
，
，
当 时， ，
当 时， ，
的值是 或 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•孝感月考）二次函数 图象的顶点在 轴上，则 的值为 2 ．
【分析】先将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数 图象的顶点在 轴上，可知顶
点的纵坐标为0，然后即可得到 的值．
【解析】 二次函数 ，
该函数的顶点坐标为 ，二次函数 图象的顶点在 轴上，
，
解得 ，
故答案为：2．
12．（2020秋•呼和浩特期末）已知 ， ， 是抛物线 上的点，则 ，
， 的大小关系是 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解析】抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ，当 时， 随 的
增大而增大，
， ， 是抛物线 上的点，
点 关于对称轴 的对称点是 ，
，
，
故答案为 ．
13．（2010•江宁区一模）小颖同学想用“描点法”画二次函数 的图象，取自变量
的5个值，分别计算出对应的 值，如下表：
0 1 2
11 2 2 5
由于粗心，小颖算错了其中的一个 值，请你指出这个算错的 值所对应的 2 ．
【分析】由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线 ，则 与 时应取值相同．
【解析】根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线 ，
求得函数解析式为 ，
则 与 时应取值相同，故这个算错的 值所对应的 ．14．（2020秋•磴口县期末）二次函数 的图象上有两点 和 ，则此抛物线的对称轴
是直线 ．
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线 对称，由此可
得到抛物线的对称轴．
【解析】 点 和 的纵坐标相同，
点 和 是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线 对称，
抛物线的对称轴为直线 ．
故答案为 ．
15．（2021秋•天长市月考）若点 和点 都在函数 图象上，则 ．
（选择“ ”、“ ”、“ ”填空）
【分析】根据函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性进行判断即可．
【解析】二次函数 的对称轴为直线 ，
，
当 时， 随 的增大而减小，
，
．
故答案为： ．
16．（2021秋•崇川区校级月考）已知二次函数 的图象的顶点在 轴上，则 的值是
6 或 ．
【分析】根据二次函数 的图象的顶点在 轴上，可知该函数顶点的纵坐标为 0，即
，然后求解即可．
【解析】 二次函数 的图象的顶点在 轴上，，
解得 ， ，
故答案为：6或 ．
17．（2021春•溧阳市期末）已知： ，则代数式 的最小值为 10 8 ．
【分析】根据题意把 代入式子中化简求最值即可．
【解析】 代入式子 中，
，
的最小值为108．
故答案为：108．
18．（2020•西湖区校级开学）已知一次函数 ，二次函数 ．
（1）当 时， 的函数值随 的增大而减小，则 的最小整数值为 1 ；
（2）若 ，若点 ， 都在函数的 图象上，且 ，则 的取值范围 ．（用
含 的式子表示）
【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出 的不等式，进而求得 的最
小整数值；
（2）代入 ， 求得 与 的解析式，再由 列出不等式，根据二次函数与不等式的关
系求得结果便可．【解析】（1） 二次函数 ，
对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 的函数值随 的增大而减小，
，
的最小整数值为：1．
故答案为：1；
（2） ，
点 ， 都在函数的 图象上，
，
，
，
，
当 时， 或 ，
或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为 的形式，并写出顶点坐标．
（1）
（2）
（3） ．【分析】（1）加上一次项系数6的一半的平方是9，再减去9；
（2）提取二次项 后，再加一次项系数2的一半的平方1，再减去1；
（3）提取二次项系数 后，再加上一次项系数6的一半的平方9，再减去9．
【解析】（1） ，
顶点 3， ；
（2） ，
顶点 ， ；
（3） ，
顶点 ， ．
20．（2019秋•凤凰县期末）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当 取何值时， 随 的增大而减小．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答即可；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可．
【解析】（1） ；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（3） 抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而减小．
21．（2020秋•张家港市期中）已知二次函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ．
（1）则 2 ， ；
（2）该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当 时， 的取值范围是 ．
【分析】（1）根据二次函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ，可以求得 和 的
值；
（2）根据（1）中的结果，可以求得该二次函数图象与 轴的交点坐标和顶点坐标；
（3）根据函数解析式，可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象和函数解析式，可以得到当 时， 的取值范围．
【解析】（1） 二次函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ，
，
解得 ，
故答案为：2，3；
（2）由（1）知该函数的解析式为 ，
，
当 时， ，
该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，故答案为： ， ；
（3） ，
该函数的顶点为 ，过点 ， ， ， ，
函数图象如右图所示；
（4）当 时， ，
故当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
22．（2021•新疆）已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿 轴向下平移 个单位，若抛物线的顶点落在 轴上，求 的值；
（3）设点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
【分析】（1）根据 ，可得抛物线的对称轴为：直线 ；
（2）由根的判别式△ ，建立等式可求出 的值；
（3）分 或 两种情况，利用数形结合思想，结合两个点距抛物线对称轴的距离列不等式求解．
【解析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线 ；（2）抛物线沿 轴向下平移 个单位，可得 ，
抛物线的顶点落在 轴上，
△ ，解得 或 ．
（3）①当 时，则原抛物线开口向上，若 ，，则点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距
离，
，即 ，
或 ，
解得： 或 ，
又 ，
；
②当 时，则原抛物线开口向下，
若 ，，则点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
，即 ，
，
解得： ，
又 ，故此情况不成立，
综上， 的取值范围为 ．
23．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系 中，二次函数 图象的对称轴为直线
，且 ，顶点为 ．
（1）求 的值；
（2）求点 的坐标（用含 的式子表示）；
（3）已知点 ， ，若函数 的图象与线段 恰有一个公共点，
直接写出 的取值范围．【分析】（1）由对称轴公式列出 的方程解出 便可；
（2）把 代入抛物线的解析式，便可求得顶点的纵坐标，进而得顶点 的坐标；
（3）分五种情况： ； ； ； ； ，根据二次函数的图象与线段 只有一个公共
点，分别求 的取值范围．
【解析】（1） 二次函数 图象的对称轴为直线 ，
，
；
（2）把 代入 得， ，
当 时， ，
顶点 ；
（3） 函数 ，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为 ，顶点为 ，
点 ， ，
①当 时，抛物线的顶点在直线 的上方，抛物线与直线 没有公共点，则函数
的图象与线段 没有公共点；②当 时，顶点 在线段 上，即函数 的图象与线段 恰有一
个公共点；
③当 时，则 或 时， ，函数 的图象在线段
下方，没有公共点；
④当 时，若函数图象过 时， ，解得 （舍去），或 ，
，
根据抛物线的对称性知，当 时，函数 的图象与线段
有两个公共点，当 时，函数 的图象与线段 恰有一个
公共点；
综 上 所 述 ： 若 函 数 的 图 象 与 线 段 恰 有 一 个 公 共 点 ， 则
或 ；
24．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，二次函数 图象与 轴的交点为 ，将点
向右平移4个单位长度得到点 ．
（1）直接写出点 与点 的坐标；
（2）若函数 的图象与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
【分析】（1）根据 轴上点的坐标特征求得 的坐标，然后根据平移的规律得到 的坐标；
（2）二次函数图象经过定点 ，分三种情况讨论即可求得 的取值．
【解析】（1）把 代入 得， ，
，
将点 向右平移4个单位长度得到点 ，；
（2）直线 解析式为 ，该二次函数图象经过定点 ，
①当 时，抛物线解析式为 ，顶点恰是 点，与线段 仅有一个交点 点；
②当 时，如图1，对称轴为直线 ，恰与线段 仅有一个交点 点；
③当 ，在 范围内， 会先随 增大而减小，再随 增大而增大，
如图2，当 时，对称轴为直线 ，此时抛物线恰好与线段 有两个交点分别是 点和 点，
因此当 时，抛物线恰好与线段 有一个交点，
综上所述， 或 ．
