专题2.1二次函数（知识讲解）-九年级数学下册基础知_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第2套）

专题 2.1 二次函数（知识讲解） 【学习目标】 1、理解二次函数的概念； 2、能根据二次函的解析式判断是否为二次函数； 3、根据二次函数概念求参数。 【要点梳理】 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① （a≠0）；② （a≠0）；③ （a≠0）；④ （a≠0），其中 ；⑤ （a≠0）.特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 这里，当a=0 时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的 绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： yax2 bxc （a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式： ya(xh)2 k （a，h，k为常数，a0）； 3. 两根式： ya(xx 1 )(xx 2 ) （a0， x 1， x 2是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或 称交点式）. 特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都 可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才 可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【典型例题】 类型一、二次函数的判断 1． 下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函 数的是______(其中x、t为自变量). 【答案】①④ 【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函 数．根据二次函数的定义条件判定则可．解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数； ②y＝2x，是一次函数； ③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数； ④m＝3－t－t2，是二次函数. 故填①④． 【点拨】本题考查二次函数的定义． 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2； (3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0． 举一反三： 【变式1】 下列各式： ；其 中 是 的二次函数的有________（只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常 数，x是未知数）． 【变式2】当m＝____________时，函数 是二次函数． 【答案】-1 【解析】由题意得： ， 解得：m=-1. 【变式3】 已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3） 2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A 【分析】根据二次函数的定义判断即可； 解：y＝2x﹣1是一次函数； y＝﹣2x2﹣1是二次函数； y＝3x3﹣2x2不是二次函数； ④y=2（x+3）2-2x2 ，不是二次函数； y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 类型二、根据二次函数定义求参数 2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）． （1）若这个函数是一次函数，求k的值； （2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？ 【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得． 解：（1）若这个函数是一次函数， 则k2﹣k＝0且k≠0， 解得k＝1； （2）若这个函数是二次函数， 则k2﹣k≠0， 解得k≠0且k≠1． 【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的 关键． 举一反三： 【变式1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的 值： （1）y是x的一次函数； （2）y是x的二次函数． 【答案】(1)m=1;(2) m≠1和m≠0【分析】根据一次函和二次函数的定义可以解答． 解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又 因为m≠0，所以，m＝1． （2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0， ∴m≠1和m≠0． 【点拨】考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键． 【变式2】 （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函 数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m） 是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3． 【分析】 （1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0， 解得：m=3，m=﹣1（不合题意舍去）， 1 2 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 【变式3】 已知 ． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 【答案】（1） ；（2）4或 或 或0或1 【分析】（1）根据形如y=kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；（2）根据形如 y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． 解：（1）由 是关于x的一次函数，得 解得 ． 所以当 时，它是y关于x的一次函数． （2）由 是关于x的二次函数，得 ① ，解得 ； ② ，解得 ； ③ 解得 ； ④ ，解得 或 ． 综上所述，当m的值为4或 或 或0或1时，它是y关于x的二次函数． 【点拨】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式 中，二次项系数 ，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而 忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． 类型三、列二次函数解析式 3、 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该 产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系: ．若这种产品每天 的销售利润为 (元).求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【分析】利用单价利润 总销售量=总利润. 解： . . 举一反三： 【变式1】 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无 盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 【答案】y＝4x2-80x+400. 【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长， 进而得出函数关系式． 解：正方形的边长为80÷4＝20cm， 根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400． 【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边 长是解题关键． 【变式2】已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P 从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动， 设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题： （1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝______，AQ＝ ______； （2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式； （3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形 ，那么是否存在 某一时间t，使四边形 为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2t， ；（2） ；（3）存在，t＝4时，四边形 是菱形． 【分析】 （1）根据∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的长，进而得出AP＝2t， ．（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出 ，从而求得S与t的函 数关系式； （3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ＝PC，则可得出 求得t即可． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴AC＝6， ∴由题意知：AP＝2t， 故答案为： （2）如图①过点P作PH⊥AC于H． ∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴∠B＝30°， ∴∠HPA＝30°， ∵AP＝2t，AH＝t， ∴ ∴ （3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形，理由如下： 证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝ AP＝t， ∴QC＝AM， 由对折可得： 当PC＝PQ时，四边形 是菱形， CM＝MQ＝AQ＝ AC＝2， 当t＝4时，四边形 是菱形． 【点拨】本题考查的是含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关 系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】 下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它 们的边长分别为2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此 规律推断 与 有怎样的关系． 【答案】S=n2(n 2) 【分析】根据题⩾意先找到一般规律后，利用规律即可解决问题． 解：图1中，当n=2时，S=4； 如图2中当n=3时，S=9； 图3中，当n=4时，S=16.….依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n 2). 故答案为S=n2(n 2) ⩾ 【点拨】此题考⩾查函数关系式，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找出 规律.