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专题 2.1 动点问题
1．如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角板
的直角顶点放在点 处 ，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平
分 ．则 ．
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为多少？2．如图1，已知 ， 的余角比它的补角的 少 ．
（1）求 的度数；
（2）如图1，当射线 从 处绕点 以4度 秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保
持射线 始终在 的内部，当 时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线 为 的平分线，当射线 从 处绕点 以4度 秒的速度
逆时针旋转，同时射线 从射线 处以 度 秒的速度绕点 顺时针旋转，当这两条射
线重合于射线 处 在 的内部）时， ，求 的值．（注：
本题中所涉及的角都是小于 的角）3．如图①，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图①中的三角板绕点 逆时针方向旋转至图②，使一边 在 的内部，恰
好平分 ，问：直线 是否平分 ？请说明理由；
（2）将图中的三角板绕点 逆时针方向旋转 ，旋转一周为止，在旋转的过程中，直线
恰好平分 ，则 的值为 ；
（3）将图①中的三角板绕点 按顺时针方向旋转至图③的位置，使 在 的内部，
则 与 之间的数量关系为 ．4．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线 上，已知 ， ，点
以每秒2个单位长度的速度沿 的路线运动；同时，三角板 （含 绕点
顺时针旋转，速度为每秒 ，当点 运动至点 时，全部停止运动，设运动时间为 秒
图2是运动过程中某时刻的图形．
（1）当点 到达点 时， 转动了 ．
（2）当 时，若 与 互为余角，则 ．
（3）在运动过程中，当 时，使得 、 、 三条射线中，其中一条是另外两
条射线夹角（小于 的角平分线．
（4）当 的面积大于 面积的一半，且 的边所在直线与直线 的夹角为
90度时，直接写出：所有满足条件的 的取值之和为 ．5．如图①，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 ，则 的度数为 ．（用含 的代数式表示）
（3）由（1）和（2）可得， 和 之间的数量关系是 ．
（4）若将直角三角形 绕点 旋转到如图②所示的位置，其他条件不变，请问
和 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．6．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平
分 ，问：直线 是否平分 ？请直接写出结论：直线 （平分或不平
分） ．
（2）将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点 顺时针旋转，请探究，当 始终在 的内部时（如图
， 与 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说
明．7．如图1，点 为直线 上点，过点 作射线 ，使 ．现将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 与射线 重合，如图2．
（1） ；
（2）如图3，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，
求 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转，在 与 重合前，是否有某个时刻满足
，求此时 的度数．8．点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角
顶点放在点 处．
（1）如图1，将三角板 的一边 与射线 重合时，求 的度数；
（2）如图2，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，
求旋转角 的度数， 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转至图3时， ，求 ．9．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三
角板的直角顶点放在点 处，边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转 至图2的位置，此时 ；
（2）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部．
试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点 按 每秒的速
度旋转，当直角三角板的直角边 所在直线恰好平分 时，求此时三角板绕点 的
运动时间 的值．10． 与它的补角的差正好等于 的一半
（1）求 的度数；
（2）如图 1，过点 作射线 ，使 ， 是 的平分线，求
的度数；
（3）如图 2，射线 与 重合，射线 在 外部，且 ，现将
绕 顺时针旋转 ， ，若在此过程中， 平分 ， 平分
，试问 的值是定值吗？若是，请求出来，若不是，请说明理由．11．已知 、 ，射线 平分
（1）如图1，已知 、 ，若 ，则 度；
（2） 、 的位置如图2所示，已知 ，求 的值；
（3）如图3，射线 、 在直线 的右侧按顺时针方向分布，已知 ，
为 的三等分线且靠近射线 ，设 ，将 绕点 顺时针旋转，
满足 且 ，若 ，求 （可用 表示）12．综合应用题：
如图 1，直线 上有一点 ，过点 在直线 上方作射线 ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一条直角边 在射线 上，另一边 在直
线 上方，将直角三角板绕着点 按每秒 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时． 恰好平分 ，此时， 与
之间的数量关系是 ．
（2）若射线 的位置保持不变，且 ．
．在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 ， ， 中的某一条射线是另两
条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的 的取值，若不存在，请说明
理由；
．在旋转的过程中，当边 与射线 相交时（如图 ，求 的值．13．如图，已知直线 射线 ， ， 是射线 上一动点，过点 作
交射线 于点 ，连接 ，作 ，交直线 于点 ， 平分
，交直线 于点 ．
（1）若点 ， ， 都在点 的右侧，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数；
（3）在点 的运动过程中，是否存在这样的情形，使 ？若存在，求出
的度数；若不存在，请说明理由．14．已知：直线 ， 为直线 上的一个定点，过点 的直线交 于点 ，点 在线
段 的延长线上． ， 为直线 上的两个动点，点 在点 的左侧，连接 ， ，
满足 ．点 在 上，且在点 的左侧，点 在直线 上．
（1）如图1，若 ， ，直接写出 的度数 ；
（2）射线 为 的角平分线．
①如图2，当点 在点 右侧时，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②当点 与点 不重合，且 时，直接写出 的度数 ．15．如图，已知 ， ，点 是射线 上一动点（与点 不重合），
、 分别平分 和 ，分别交射线 于点 ， ．
（1）① 的度数是 度；
② ， ．
（2）求 的度数．
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请
写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（4）当点 运动到使 时， 的度数是 ．（直接写出结果）
