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专题2.4 二次根式（能力提升）（原卷版）
一、选择题。
1．（2022春•藁城区期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春•勃利县期末）若a，b为两个有理数，且b＝ +4，则a+b的
值为（ ）
A．±6 B．3 C．3或5 D．5
3．（2022春•怀仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：① • ＝1；②
＝ ；③ ÷ ＝﹣b，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2022•兴隆县一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C． ＝3 D．（ ﹣1）2＝3﹣2
5．（2022春•夏邑县期中）下列各数中，与 的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春•安庆期末）若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7．（2022春•临沭县期中）若 ≈1.414，计算2 ﹣3 ﹣99 的结果是（ ）
A．﹣141.4 B．﹣100 C．141.4 D．﹣0.01414
8．（2022春•梁山县期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是
（ ）A． ﹣1 B．3﹣ C． ﹣3 D．5﹣
9．（2022春•长沙期中）已知：a＝ ，b＝ ，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
10．（2022 春•福清市期中）已知 ， ，c＝
2021×2020﹣2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
二、填空题。
11．（2022春•沂源县期末）已知等式 成立，化简|x﹣6|+ 的结果
为 ．
12．（2022•贺州）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（2022春•陇县期末）将二次根式 化为最简二次根式 ．
14．（2022春•大荔县期末）规定a b＝ • + ，a*b＝ab﹣b2，则（2 4）* ＝
． ⊗ ⊗
15．（2022春•浦北县校级月考）已知 +（a﹣3）2＝ • ，则ba+xa的值
为 ．
16．（2021 春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数 a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b＝ ，则2※6＝ ．
17．（2022春•朔州月考）把（1﹣a） 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是
．
18 ． （ 2021 春 • 天 河 区 期 末 ） 观 察 3 个 式 子 ： ，
， ．猜想第四个式子得：
＝ 1 ；依此类推，按照每个等式反映的规律，第n个二次根式的计
算结果是 ．
三、解答题。
19．（2022•拱墅区校级开学）计算：
（1） ﹣2 × （2） （1﹣ ）﹣3
（3）20．（2022春•济宁期末）计算：（﹣ ）﹣1﹣ + ﹣（ ﹣ ）0+|1﹣ |．
π
21．（2021秋•高邑县期末）已知x＝ ．
（1）求代数式x+ ；
（2）求（7﹣4 ）x2+（2﹣ ）x+ 的值．
22．（2021秋•新民市期末）小明在解决问题：已知 a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是
这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2﹣ ，
所以a﹣2＝﹣ ．
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1．
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算： ＝ ．
（2）计算： + + +…+ ；
（3）若a＝ ，求4a2﹣8a+1的值．
23．（2022春•孟村县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点
B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m+ ）2的值．
24．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2
，1+
2 ，5+5 2 ．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2 （m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少
需要 m．
25．（2021秋•绥宁县期末）在解决问题“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小
明是这样分析与解答的：
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简： ．
（2）若a＝ ，求2a2﹣12a+1的值．
26．（2022春•潍城区期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2
＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b ＝（m+n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2
mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b 的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m，n的式子分别
表示a，b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b ＝（m+n
）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+6 ＝（m+n ）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
