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专题2.4 二次根式（知识解读）
【学习目标】
1. 了解二次根式的概念
2. 理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围
3. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简掌握二次根式的乘法法则：
，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简
4. 掌握二次根式的除法法则： ，能利用其进行计算，并能逆用法
则进行化简。
5.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
6.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
7.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算
【知识点梳理】
考点1 二次根式
1. 二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．
二次根式满足条件：
如 都是二次根式。
（1）必须含有二次根号
（2）被开方数必须是非负数考点2 二次根式的性质
1. 的性质
符号语言
文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数
提示
有最小值，为0
2. 的性质
符号语言
（1）正用：
应用
（2）逆用：若 a≥0， 则
逆 用 可 以 再 实 数 范 围 内 分 解 因 式 ： 如
提示
3. 的性质
a（a＞0）
符号语言
0（a=0)
-a(a＜0）
文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
应用
（1）正用：
（2）逆用：考点3最简二次根式
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进
行开方
若被开方数中含有
带分数，先将被开
方数化成假分数
若被开方数中含有
小数，先将小数化
化去根号下的分母 成分数
若被开方数时分
式，先将分式分母
化成能转化为平方
的形式，再进行开
(a＞0，b＞0，c＞0）
方运算
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3. 分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
考点4 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
考点5 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分
数
考点6 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
1. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
的依据式乘法分配律，如
考点7 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
考点8 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1 二次根式意义】
【典例1-1】（2021秋•雨花区期末）二次根式 有意义，那么（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x≥﹣1 D．x≥1
【答案】D【解答】解：由题意得：
x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【典例1-2】（2021秋•汝阳县期末）二次根式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】B
【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，
解得，x＞2．
故选：B．
【典例1-3】（2021秋•东莞市期末）若式子 有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•德惠市期中）若二次根式 有意义，则下列各数符合要求的是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．4
【答案】B
【解答】解：∵7﹣x≥0，
∴x≤7，
故选：D．
【变式1-2】（2021秋•海口期中）若代数式 有意义，a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2 D．a≥﹣2且a≠0
【答案】D
【解答】解：由题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0，
故选：D．【变式1-3】（2021春•恩施市期末） 成立的条件是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜1
【答案】A
【解答】解：由题意可得： ，
解得：﹣1≤a≤1．
故选：A
【典例 2】（2021 秋•射洪市期中）已知 ，则 的算术平方根是
（ ）
A． B． C．±2 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得：b﹣8≥0，8﹣b≥0，
解得：b＝8，
则a＝2，
∴ ＝ ＝4，
∵4的算术平方根是2，
∴ 的算术平方根是2，
故选：D．
【变式2-1】（2021秋•青羊区期末）如果y＝ + ﹣2，那么xy的值是 ．
【答案】
【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，x﹣5≥0，
则x＝5，
∴y＝﹣2，
∴xy＝ ，
故答案为： ．【变式2-2】（2017春•武城县校级月考）若y＝2 + +2，则y﹣x＝ ．
【答案】-3
【解答】解：由题意得： ，
解得：x＝5，
则y＝2，
y﹣x＝﹣3，
故答案为：﹣3
【考点2 二次根式的性质】
【典例3】计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1） （2）48 （3） 6（4） （5） （6）
【解答】（1） =
（2） =
（3） =
（4） =
（5）
（6） =
【变式3-1】（2021秋•青神县期末）化简： 得（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【答案】A【解答】解：∵ ＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•滨江区校级期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、原式＝2，故此选项符合题意；
B、原式＝1，故此选项不符合题意；
C、原式＝2，故此选项不符合题意；
D、原式＝4，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•浦东新区期末）计算： ＝ 3 ﹣ ．
【答案】3﹣
【解答】解： ＝3﹣ ．
故答案为：3﹣ ．
【典例 4】（2021 秋•奉贤区校级期中）若 ，则 x 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．x＜
【答案】C
【解答】解：∵ ＝|3x﹣2|＝2﹣3x，
∴3x﹣2≤0，
∴x≤ ．
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•青羊区校级期中）在实数范围内要使 ＝a﹣2成立，则a
的取值范围是（ ）A．a＝2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
【答案】C
【解答】解：原式＝|a﹣2|＝a﹣2，
∴a﹣2≥0，
解得：a≥2，
故选：C．
【变式4-2】（2021春•利川市期末）已知实数a满足 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3
【答案】A
【解答】解：∵实数a满足 ，
∴a+3≤0，
∴a≤﹣3，
故选：A．
【典例 5】（2021 春•木兰县期末）若 x＜1，则化简 +|4﹣x|的正确结果是
（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x
【答案】D
【解答】解：∵x＜1，
∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，
∴4﹣x＞﹣1+4，
即4﹣x＞3＞0，
∴ +|4﹣x|
＝|x﹣2|+4﹣x
＝﹣（x﹣2）+4﹣x
＝﹣x+2+4﹣x
＝6﹣2x．
故选：D．【变式5-1】（2021秋•隆昌市校级期中）当1＜x＜4时，化简 结果是
（ ）
A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5
【答案】C
【解答】解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0，
∴
＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1+x﹣4
＝2x﹣5，
故选：C．
【变式5-2】（2021春•亳州期末）实数p在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣
等于（ ）
A．2 B．2p﹣4 C．4﹣2p D．4
【答案】B
【解答】解：由题知：1＜p＜2．
∴p﹣1＞0，p﹣3＜0．
∴ ， ．
∴ ＝（p﹣1）﹣（3﹣p）＝p﹣1﹣3+p＝2p﹣4．
故选：B．
【变式5-3】（2021秋•安岳县校级月考）若2＜a＜3，则 等于（
）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【答案】C
【解答】解：∵2＜a＜3，∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
【考点3 最简二次根式】
【典例6】把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） （2） （3）
【答案】略
【解答】
【变式6-1】（2021秋•武侯区期末）下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A. ＝ ，故A不符合题意；
B. ＝2 ，故B不符合题意；
C. ＝ ，故C不符合题意；
D. ，是最简二次根式，故D符合题意；D．
故选：
【变式6-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式 化为最简二次根式为 ．
【答案】 ．
【解答】解： ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【考点4 二次根式的乘法运算】
【典例7】计算：
（1） × ； （2）4 × ；
（3）6 ×（﹣3 ）； （4）3 ×2 ．
【答案】（1）4 （2）4 ． （3）-72 （4）30 ．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝4．
（2）原式＝4 ＝4 ．
（3）原式＝6×（﹣3）× ＝﹣18×4＝﹣72．
（4）原式＝3×2× ＝30 ．
【变式7-1】计算：
（1） ×3 （2）2 ×
【答案】（1） （2） ；
【解答】（1） ×3 ＝ ×2 ×3 ＝ ×3a＝ ；
（2）2 × ＝ × ＝ ；【变式7-2】（2021•绵阳）计算 × 的结果是（ ）
A．6 B．6 C．6 D．6
【答案】D
【解答】解： ×
＝
＝
＝6 ，
故选：D．
【典例8-1】计算：
（1） ． （2） ． （3） ．
【答案】（1）66 （2）20 （3）
【解答】解（1） ＝ × ＝11×6＝66．
（2）原式＝ ＝4×5＝20．
（3）原式＝ × ＝ × ＝ ．
【典例8-2】 化为最简二次根式 ．
【答案】10
【解答】解： ＝ ＝ × ＝10 ．
故答案为：10 ．
【变式8-】计算：
（1） （2）
【答案】（1）96 （2）2x【解答】解：（1） ＝ × ＝6×16＝96；
（2） ＝2x ；
【变式8-2】（2021秋•济南期末）将二次根式 化为最简二次根式 ．
【答案】2
【解答】解： ，
故答案为：2 ．
【考点5 二次根式的除法运算】
【典例9-1】计算：
（1） ； （2）4 ÷2 ． （3）
（4） ．
【答案】（1）5 （2） （3） （4）6a ．
【解答】（1） ＝ ＝ ＝5；
（2）4 ÷2 ＝ ＝2 ＝ ．
（3）原式＝ ＝
（4）原式＝2× ×2 ＝ ＝6a ．
【典例9-2】化简：（1） （2） （3）
【答案】（1）2 ． （2） ； （3）
【解答】（1）原式＝6× ＝2 ．
（2） ＝ ＝ ；
（3）
【变式9-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算： ÷ ＝ ．
【答案】2
【解答】解：原式＝ ，
【变式9-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算： ÷ ＝ ．
【答案】3
【解答】解： ÷ ＝ ＝ ＝3．
故答案为：3．
故答案为：2 ．
【变式9-3】计算：
（1） ÷ （2） ÷ （3） （4） ．
【答案】（1） （2） （3） （4）【解答】（1）原式＝ × ＝ ＝ ；
（2） ÷ ＝2 × ＝ ；
（3） ＝ ；
（4） ＝ ＝ ．
【考点6 二次根式的加减法运算】
【典例10】计算：
1）4 ． （2）
（
（3） +6 ﹣（ ）． （4） ．
【答案】 （1） ．（2） + ． （3） ． （4）﹣ ．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ．
（2）原式＝3 +2 ﹣6× ﹣3× ＝3 +2 ﹣2 ﹣ ＝ + ．
（3）原式＝ +2 ﹣（2 ﹣ ）＝ +2 ﹣2 + ＝ ．
（4）原式＝ •6 +2• ﹣4x• ＝2 + ﹣4 ＝﹣ ．
【变式10-1】计算：（2021春•庆阳期末）计算：2 ﹣ + ．
【解答】解：原式＝6 ﹣4 +5
＝7 ．
【变式10-2】（2021春•饶平县校级期末） + ﹣ ．【解答】解：原式＝3+2 ﹣4
＝3﹣2 ．
【变式10-3】计算：
（1） ； （2） ．
【解答】解：（1）原式＝3 ﹣2 + ＝2 ；
（2）原式＝ •3 +6× ﹣x• ＝2 +3 ﹣ ＝4 ．
【考点7 二次根式的混合运算】
【典例11】计算：
（1）（ + ）÷ ； （2）（3+ ）（ ﹣ ）；
（3）（ ﹣3.14）0﹣（ ）﹣2+ ﹣ ．
【答案】π（1）5 （2） （3）
【解答】解：（1）（ + ）÷ ＝ ＝ ＝5；
（2）（3+ ）（ ﹣ ）＝ ﹣ + ﹣ ＝ ；
（3）（ ﹣3.14）0﹣（ ）﹣2+ ﹣ ＝1﹣4+3﹣ ＝ ．
【变式11-1π】计算：
（1）（ ﹣3 ）÷ ； （2）（7﹣4 ）（2﹣ ）．
【答案】（1）-5 （2）26﹣15
【解答】解：（1）（ ﹣3 ）÷
＝ ÷ ﹣3 ÷＝ ﹣3
＝4﹣3×3
＝4﹣9
＝﹣5；
（2）（7﹣4 ）（2﹣ ）
＝14﹣7 ﹣8 +12
＝26﹣15 ．
【变式11-2】（2021秋•芗城区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 2+3 （2）
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣2+3 ＝2+3 ；
（2）原式＝ ﹣ ﹣（ ﹣1）＝ ﹣ ﹣ +1＝ ．
【典例12】计算：
（1）（2 ﹣1）2+（ +1）（ ﹣1）． （2）（ + ）（ ﹣ ）+| ﹣
1|．
【答案】（1） 10﹣4 ． （2） ．
【解答】（1）原式＝8﹣4 +1+2﹣1＝10﹣4 ．
（2）原式＝3﹣2+ ﹣1＝ ．
【变式12】计算：
（1） （2）（ ﹣1）2（3）（ + ）（ ﹣ ）﹣（ +3 ）2．
【解答】解：（1）原式＝（2 ）2﹣（ ）2
＝20﹣3
＝17；
（2）原式=2﹣2 +1
=1+
（3）原式＝7﹣5﹣（3+6 +18）
＝2﹣21﹣6
＝﹣19﹣6
