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2.7 二次根式
课堂知识梳理
二次根式：一般地，形如
√a(a≥0)
式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：a≥0．
二次根式的性质：
√a √a
= (a≥0,b≥0)
√ab=√a×√b(a≥0,b≥0), b √b
.
最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最
简二次根式。
二次根式的乘法法则和除法法则:
√a √a
=
√a⋅√b=√a⋅b √b b
(a≥0,b≥0)； (a≥0,b＞0)
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列各式： ， ， ， 中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义判断即可．
【详解】
解： ， ， ， 中，一定是二次根式的是： ， ， 共3个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，一般形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式．2．下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】
解：A、 ，则此项不是最简二次根式，不符题意；
B、 ，则此项不是最简二次根式，不符题意；
C、 ，则此项不是最简二次根式，不符题意；
D、 是最简二次根式，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式
都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．
3.二次根式 中字母 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
解得 ，故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
4．计算 的结果是（ ）
A．9 B．-3 C．3或-3 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行化简，即可求得．
【详解】
解： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的性质是解决本题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次根式的加减法则，二次根式的乘除法则对各选项分别化简并进行判断即可．
【详解】
解：A． ，故此选项不符合题意；
B． 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项不符合题意；
D． ，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算．正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则进行判断即可；
【详解】
解：A. ，故不符合题意；
B. ，故符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7． ＝ 成立的条件是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣5 C．﹣1＜m≤5 D．﹣1≤m≤5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的意义和分式有意义的条件求解即可．
【详解】
解：根据题意，得：5﹣m≥0，m+1＞0，
∴﹣1＜m≤5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的意义和分式有意义的条件，熟练掌握＂二次根式的意义的条件：被开方数为非负数，
分式有意义的条件：分母不为零＂是解题的关键．
8．若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得出 ，求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，根据题意得出 是解本题的关键．
9．化简下列各式；
（1） _________； （2） _________； （3） _________；
（4） _________； （5） _________； （6） _________；（7）
______﹔ （8） _________；
【答案】 （1） ； （2）42； （3）0.45； （4）
； （5） ； （6） ； （7） ； （8）
【解析】
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；
（8） ．
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简，分母有理化，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关
知识进行求解．
10．计算；（1） __________________；（2） _________；（3） _________；（4）
=__________，（5） __________；（6） ____________；（7） __________；（8）
__________．【答案】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ，
（5） ， （6） ； （7） ， （8）
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则进行计算即可，二次根式的除法法则是： （ ），反过来，
可得； （ ）．
【详解】
（1） ，故答案为： ；
（2） ，故答案为： ；
（3） ，故答案为： ；
（4） = ，故答案为：
（5） ，故答案为： ；
（6） ，故答案为： ；
（7） ，故答案为： ；
（8） ，故答案为： ．【点睛】
本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根数的除法法则是解题的关键．
11．计算：（1） ________；
（2） ________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的加减法则直接计算；
（2）先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.
【详解】
解：（1）原式 ；
（2）原式 ，
故答案为 ， .
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
12．计算 的结果等于_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用平方差公式解答．
【详解】
解：
故答案为：3．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13．计算： =_____．
【答案】8．
【解析】
【详解】
试题分析：原式= =9﹣1=8，故答案为8．
考点：二次根式的混合运算．
14．比较大小：（1） _________ ；
（2） _________ ；
（3） _________ ；
（4） _________ ．
【答案】 > ， < ， > ， <
【解析】
【分析】
（1）先将 ， 变形为 ，有 ，即可比较大小；
（2）利用作差法，即可比较大小；
（3）利用作商法，即可比较大小；
（4）先将 ， 化为 ， ，又有
，即可比较大小．
【详解】
解：（1）∵ ，且 ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ，又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ；
（4）∵ ，
，
，
∴ ，
即 ．
故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．
【点睛】
本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
15．已知最简二次根式 与 的被开方数相同，其中 ，则 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】
确定 与 的被开方数，列出等式求解.
【详解】解：由题意得 ，解得 ，故答案为3.
【点睛】
本题考查了二次根式的概念，明确最简二次根式的被开方数是解题的关键.
16．化简：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8）
．
【解析】
【分析】
利用二次根式的性质，分别对每个小题进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；（8） ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．
17．计算：
（1） ； （2） ； （3）
（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8）
．
【解析】
【分析】
利用二次根式的运算法则计算即可；
【详解】
解：（1） =1；
（2） = ；
（3） =2+5+2 =
（4） = =-1；
（5） = = ；（6） = = ；
（7） = = ；
（8） = = ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题关键熟练掌握二次根式的运算法则．
18．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）先计算二次根式的乘除法，再计算减法即可得；
（2）先计算二次根式的乘除法，再计算加法即可得；
（3）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可得；
（4）先分母有理化、计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】
解：（1）原式 ，
；（2）原式 ，
；
（3）原式 ，
，
；
（4）原式 ，
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
19．化简x ，正确的是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【解析】
【详解】
根据二次根式有意义的条件可知﹣ ＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣ •=﹣ .
故选C．
20．若 ，则 的值为______．
【答案】2022
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】
解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵ ，
∴ ，
，
，
即 =2022．
故答案为2022．
【点睛】
本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
21．已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】
先利用算数平方根有意义的条件求得正整数 的取值范围，然后令 等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】
解：由题意得 ，解得 ，
∵n是正整数，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 ，
∵n是正整数，
∴ 或 或 ，
故答案为： 或 或
【点睛】
本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
22．若记 表示任意实数的整数部分，例如： ， ，…，则
（其中“+”“－”依次相间）的值为______.
【答案】-22
【解析】
【分析】
先确定 的整数部分的规律，根据题意确定算式
的运算规律，再进行实数运算.
【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是
1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中
432=1849，442=1936,452=2025，所以在 、 中，算术平方根依次为1,2,3……43的个
数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以=1-2+3-4+…+43-44= -22
【点睛】
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符
号的规律，方能进行运算.
23．阅读，并回答下列问题：
公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式 得到 的近似值.
（1）他的算法是：先将 看成 ，利用近似公式得到 ，再将 看成 ，
由近似公式得到 ___________≈______________；依次算法，所得 的近似值会越来越精确.
（2）按照上述取近似值的方法，当 取近似值 时，求近似公式中的 和 的值.
【答案】（1） ； （2） 或 ； 或
【解析】
【分析】
根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算 的近似值和确定a和r的值.
【详解】
（1）根据近似公式可知： ≈
故答案为 ；
（2）∵∴
∴
∴
整理，
解得： 或
∴ 或
故答案为 或 ； 或
【点睛】
本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
24．先阅读，后解答：
， ；像上述解题过程中， 与
、 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题
过程也称为分母有理化．
(1) 的有理化因式是______； 的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
① ______； ② ______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；(3)
【解析】
【分析】
（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到 、 的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
(1)
解：（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；
(2)
① ，
② ；
故答案为： ， ；
(3)
．
【点睛】
此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问
题：
(1)若 ，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
，b= ；
(2)若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到 ，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或
m＝3，n＝1，然后由 分别计算即可；
（3）令 ，两边平方并整理得 ，然后利用（1）中的结论化
简得到 ，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
(1)
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ；
(2)∵ ，
∴ ，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时， ；
当m=3，n=1时， ．
∴a的值为28或12；
(3)
令 ，
则
∴ ．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计
算法则是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵
26．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】
解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选： C．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
27．（2022·山东青岛·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】
解：
故选：B．【点睛】
本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
28．（2022·天津·中考真题）计算 的结果等于___________．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据平方差公式即可求解．
【详解】
解： ，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
29．（2022·湖北武汉·中考真题）计算 的结果是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】
解： ．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，注意： ．
30．（2021·湖南娄底·中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【解析】【分析】
先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出 的范围，再对二次根式化简．
31．（2020·重庆·中考真题）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 沿着AD
翻折，得到 ，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若 ， ， ， 的
面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出 ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据 •BD•h＝
•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】
解：∵DG＝GE，
∴S ADG＝S AEG＝2，
△ △
∴S ADE＝4，
△
由翻折可知， ADB≌ ADE，BE⊥AD，∴S ABD＝S ADE＝4，∠BFD＝90°，
△ △
∴ (AF+DF)BF＝4，
∴ (3+DF)2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝ ＝ ＝ ，
设点F到BD的距离为h，
则 •BD•h＝ •BF•DF，
∴h＝ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
32．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已
知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
．现有周长为18的三角形的三边满足 ，则用以上给出的公式
求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据周长为18的三角形的三边满足 ，求得 ，代入公式即可求解．
【详解】
解：∵周长为18的三角形的三边满足 ，设
∴解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
33．（2022·新疆·中考真题）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】
解：原式 ．
【点睛】
本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关
键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1， ．
