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专项 12 实数的相关运算（3 大类型）
考点1 实数的基本运算
考点2 实数的化简求值
考点3 二次根式的化简
【考点1 实数的基本运算】
【典例1】（2022春•东莞市校级期中）若一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求这
个正数x．
【变式1-1】（2022春•赣州期末）已知一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，求
x和a的值．
【变式1-2】（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣
9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【典例2】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是 ，3a+b﹣1的算术平方根
是6，求a+4b的平方根．
【变式2-1】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【变式2-2】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是
4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【变式2-3】（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【典例3】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．【变式3-1】（2022春•惠东县校级月考）已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
【变式3-2】（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（ m﹣2）2+ ＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【典例4】（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形剪拼成一个大的
正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比
为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．【变式4-1】（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形纸片拼
成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截
得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
【变式4-2】（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为 36cm2的正方形纸片，如图所示，
沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否
裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面
积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
为什么？
【考点2 实数的化简求值】
【典例5】（2022•仙居县校级开学）计算： ．
【变式5-1】（2022春•东莞市校级期中）计算： ﹣ + （ ﹣1）+2 ．【变式5-2】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+ ﹣ +| ﹣2|．
【变式5-3】（2022春•江津区校级期中）计算：
（1）（﹣1）2017﹣ ﹣ | |；
（2） ．
【变式5-4】（2022春•沙依巴克区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【考点3 二次根式的化简】
【典例6】（2022春•渝中区校级期中）已知：x＝ +1，y＝ ﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．【变式6-1】（2022•渝中区校级开学）已知：x＝ ﹣2，y＝ +2，求：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2的值．
【变式6-2】（2022春•伊宁市校级期末）已知 ， ，分别求下列代数式
的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
【变式6-3】（2022春•同心县期末）已知x＝2+ ，y＝2﹣ ，求下列代数式的值．
（1）x2+xy+y2．
（2）x2y﹣xy2．
【典例7】（2021秋•洛江区期末）先化简，再求值：a（ ﹣a）+（a+ ）（a﹣
），其中a＝ ﹣1．【变式7-1】（2021秋•金台区期末）先化简，再求值．（a+ ）（a﹣ ）﹣a（a﹣
4），其中a＝ ．
．
【变式7-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值： x +y2 ﹣（x2 ﹣5x
），其中 ．
【典例8】（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．
﹣1；
；
；
…
（1）观察上式并填空： ＝ ；
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时 ＝ （用含n的式子表
示）；（ 3 ） 请 利 用 （ 2 ） 的 结 论 计 算 ：
．
【变式 8-1】（2022•南京模拟）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
， ， ，……，解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ＝ ；
（2）计算：（ ）（ ）的值．
【变式8-2】（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将 的分母有理化；
（2）已知a＝ ，求a+b的值；
（3）计算 ．1．（2022春•陇县期中）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求x和a的值．
2．（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
3．（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
4．（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．5．（2018春•硚口区期中）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面
积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．
6．（2022春•济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为 15cm2和24cm2的两个小正
方形，求留下部分（即阴影部分）的面积．
7．（2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+ ＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．8．（2022春•崇川区校级月考）已知 + ＝0，求（x+y）2020的值．
9．（2022春•重庆期中）计算：
（1） ；
（2） ．
10．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）计算： ；
（2）计算： ．
11．（2022春•八步区期末）已知x＝ ，y＝ ，求﹣x2+2xy﹣y2的值．12．（2022春•谷城县期末）已知x＝2﹣ ，求代数式（7+4 ）x2+（2 + ）x﹣1
的值
13．（2021秋•炎陵县期末）已知x＝3+2 ，y＝3﹣2 ，求x2y﹣xy2的值．
14．（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ；
．
试求：（1）求 ＝ ；
（2）当n为正整数时 ＝ ；
（3） 的值．
