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专项 11 相似三角形-一线三等角模型综合应用
E
A A
F
F
E A E
B C B C B C
D 图1 D 图2 D 图3
1.
如图1，∠B=∠C=∠EDF⇒ΔBDE
∽
ΔCFD
（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE⇒ΔABD
∽
ΔDCE
（一线三直角）
如图 3 ，特别地，当D是 BC 中点时：ΔBDE ∽ΔDFE ∽ ΔCFD ⇒ ED 平分
∠BEF
，
FD 平分∠EFC
。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直
角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型1：标准“K”型图】
【典例1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最小
的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，∴AC＝ ，
∵四边形AFED是正方形，
∴∠F＝∠E＝90°，AF＝FE，
∴∠FAC+∠FCA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠FCA+∠BCE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE，
∴△AFC∽△CEB，
∴ ，
∴ ，
设AF＝x，则CE＝ ，
∴FC＝ ，
∵AF2+FC2＝AC2，
∴x2+ 2＝ 2，
∴x2＝ ，
答：这个正方形的面积为： ．
【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝ ，
求正方形ABCD的边长．
【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BAE∽△CEF，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝4，
∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，
∴正方形ABCD的边长为6．
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交
AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF；
（2）解：∵AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BM＝2，
∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，
∵BC∥AD，
∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，
∴△DEF∽△CMF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝6，
∴△DEF的面积＝ DE•DF＝ ×6×3＝9，
答：△DEF的面积为9．
【变式1-3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边
上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证： ＝ ；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，
∴ ＝ ；
（2）解：∵△OCP∽△PDA，
∴ ，
∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，
∴ ，
∴PC＝4，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，
∴x2＝82+（x﹣4）2，
解得：x＝10，
∴AB＝10．
【类型2：做辅助线构造“K”型图】
【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边
AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝
∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS），
∴AE＝FD＝2，
∴FG＝ ，
∴EG＝ FG＝ ，
故答案为： ；
（2）证明：延长EA、NF交于点M，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∵AM∥CD，
∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，
∴△MAF≌△NDF（AAS），
∴MF＝FN，
∵EF⊥MG，
∴ME＝GE，
∴∠MEF＝∠FEN；
（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，
同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴ ，
∴MG2＝MN•MD．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B
两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，m＝ ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 ．【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，
故答案为2．
（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
∴OA＝OB＝m，AB＝ m，
当△PCD∽△APB时，∠APC＝∠ABP．
理由：∵△PCD∽△APB，
∴∠CPD＝∠PAB，
∵∠APD＝∠ABP+∠PAB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠ABP．
所以 ＝ ，即 ＝ ，
解得m＝12．
故答案是：12．
【类型2：特殊“K”型图】
【典例3】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．
（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．
【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，
∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，
∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，
∴∠ACP＝∠BPD，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BD＝ ，
∴BD的长为 ；
（2）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACP，
∵∠ACP＝∠DPB，
∴∠PCD＝∠DPB，
∵∠CPD＝∠B，
∴△CPD∽△PBD，
∴ ＝ ，
∴PD2＝CD•BD．
【变式3-1】如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，
求证：△AEC∽△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°
∵∠AED＝60°，
∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BED＝∠CAE，
∴△AEC∽△EDB．
【变式3-2】如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边
BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．
（1）证明：△BDA∽△CED．
（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，
而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝45°+∠EDC，
∴∠AED＝∠ADC．
∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．
而∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD∽△DCE．
故△ABD∽△DCE得证．
（2）解：当AE＝DE时，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝3．
1．如图，点P在△ABC的边AC上，若要判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件不正确
的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
【答案】D
【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
A、当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B不符合题
意；
C、当 ＝ 时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C不
符合题意；
D、当 ＝ 时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D符合题意；
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E
分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐
标为 ． 时，△CDE与△ACE相似．
【答案】 或【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，
∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，
设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．
∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：
①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，
∴CD∥AE，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AC＝a，
∵BD＝2AC，
∴4﹣a＝2a，
∴a＝ ．
∴E ；
②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，
∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，
又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，
∴∠ECA＝∠BDC，
∴△BDC∽△ACE，
∴ ，
∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2 ＝4，
∴a＝ ．
∴ ．
综上所述，点E的坐标为 或 ．
3．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，∠APD＝
60°．
（1）求CD的长；
（2）PD可以垂直AC吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出BP的长．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠CPD＝120°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ ，
∴ ，
∴CD＝ ；
（2）可以，如图，当PD⊥AC时，
则∠PDC＝90°，
∵△ABP∽△PCD，
∴∠APB＝∠PDC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BP＝ ＝ ．
4．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝ ，求等边△ABC的边长．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠CDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADB+∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CDE＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）设等边△ABC的边长为x，
∵BD＝2，CE＝ ，
∴BC＝AB＝x，DC＝x﹣2，∵△ABD∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝6，
∴等边△ABC的边长为6．
5．如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝4，CE＝ ，求△ABC的边长．
【解答】证明（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3；
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∵BD＝4，CE＝ ，
∴ ，解得AB＝6．
6．如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B
重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．
（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；
（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为 ．
【解答】解：（1）∵AB＝4，
∴当点M为边AB的中点时，AM＝BM＝2，
∵四边形ABDC为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∵∠ACM+∠AMC＝90°，∠BMN+∠AMC＝180°﹣∠CMN＝90°，
∴∠ACM＝∠BMN，
又∵∠A＝∠B，
∴△ACM∽△BMN，
∴ ，
∵AC＝3，AM＝BM＝2，
∴ ＝ ，
∴BN＝ ；
（2）设BM＝x，DN＝y，
∵四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣x，BN＝BD﹣DN＝3﹣y，
由（1）知， ，∴ ＝ ，
∴（4﹣x）x＝3（3﹣y），
∴﹣x2+4x＝9﹣3y，
∴y＝ x2﹣ x+3
＝ （x﹣2）2+ ，
∴当x＝2时，y取得最小值，即DN最小，此时DN＝y＝ ，
∴BM＝2，BN＝3﹣ ＝ ，
∴△MNB的面积为： ×2× ＝ ．
故答案为： ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重
合），作PE⊥AP，交CD于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由．
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
【解答】解：（1）△ABP与△PCE相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∴△ABP∽△PCE；（2）连接BD，如图所示：
由（1）知△ABP∽△PCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PE∥BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，CB＝AD＝5，
∴BP＝ ＝ ．
8.感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，
由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝
∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ＝ .我们把这个模型称为“一
线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图 2，如图，在△ABC
中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是
AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
故答案为： ；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②解：∵BC＝12，点P为BC中点，
∴BP＝PC＝6，
∵△ABP∽△PCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CD＝3.6；
（3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC＝AB＝10，
∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2；
当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD，
∵∠ADP＝∠B＝∠C，
∴∠ADP＝∠C，不合题意，∴AP≠AD；
当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CP＝ ，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣ ＝ ，
综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或 ．
9．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为
边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE．
（1）求证：①△AEF∽△DCF；
②△ADF∽△BCD；
（2）若AB＝3BD＝6，求△ADF的面积．
【解答】（1）证明：①∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵△EDC是等边三角形，
∴CD＝EC，∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC＝∠DBC＝60°，
∴∠EAC＝∠CDE＝60°，
又∵∠AFE＝∠DFC，
∴△AEF∽△DCF；②∵△ABC与△EDC为等边三角形，
∴∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF+∠BDC＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDC+∠BCD＝120°，
∴∠ADF＝∠BCD，
又∵∠DAF＝∠CBD，
∴△ADF∽△BCD；
（2）解：过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，AB＝3BD＝6，
∴BD＝2，AC＝BC＝AB＝6，
∴AD＝4，
在Rt△BCH中，∠B＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝ ，
∴CH＝ ＝3 ，
∴S ＝3 ，
由②知△ADF∽△BCD，
∴ ＝（ ）2，
即 ，∴S ．
10．【感知】如图①，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连结 DE，过点 E 作
EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交
BC于点F．
（1）求证：△AED∽△BFE．
（2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．
【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点
（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为
等腰三角形时，BE的长为 ．
【解答】【探究】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠BEF+∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
又∵∠A＝∠B，
∴△AED∽△BFE；
（2）解：∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝5，
由（1）知△AED∽△BFE，
∴ ，即 ，
∴BF＝ ；
【应用】解：如果CE＝CF，则∠CEF＝∠CFE＝45°，∠ECF＝90°，则点E与点A重合，
点F与点B重合，不符合题意，
②如果CE＝EF，则∠ECF＝∠EFC＝ ，
∵∠EFC为△BEF的外角，
∴∠EFC＝∠B+∠BEF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝∠EFC﹣∠B＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∠ACE＝90°﹣∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACF＝∠BEF，
又∵∠A＝∠B，CE＝EF，
∴△AEC≌△BFE（AAS），
∴BE＝AC，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，
∴AC＝ ，
∴BE＝2 ；
如果CF＝EF，则∠CEF＝∠ECF＝45°，
∴∠CFE＝90°，
在△BEC中，∠B＝∠BCE＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥AB，
又∵AC＝BC，
∴点E为AB的中点，
∴BE＝ ，综上，BE的长为2 或2，
故答案为：2 或2．
