文档内容
专题 02 勾股定理与全等三角形的四类几何模型
目录
典例详解
类型一、倍长中线模型
类型二、截长补短模型
类型三、一线三等角模型
类型四、手拉手模型
压轴专练
类型一、倍长中线模型
例1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点E，使 ，连接 ．根据__________可以判定 __________，
得出 __________．
这样就能把线段 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是
__________．【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在 中， ，D是 边的中点， ， 交 于点E， 交 于
点F，连接 ，请判断 的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
请直接写出 的长．
【答案】（1） ； ； ； ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1，延长 ，使 ，连接 ，利用 证明 ，得到
，再由三角形三边的关系得到 ，则 ，即可求出 ；
（2）延长 使 ，连接 ，根据垂直平分线的性质得到 ，然后利用 证明
，得到 ， ，进而得到 ，最后根据勾股定理证
明即可；
（3）延长 交 的延长线于点F，根据 证明 ，然后根据垂直平分线的性质得到
，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）延长 ，使 ，连接 ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
证明：如图所示，延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；（3）解：如图所示，延长 交 的延长线于点F，
∵ ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
在 和 中，
，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性
质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
变式1-1 （1）如图1，点 是线段 的中点，连接 ，则 与 的数量关系为______，位
置关系为______；
（2）①如图2，在 中， ，点 为 内一点，连接 ，延长 到点 ，使
，连接 ，若 ，探究 之间的数量关系，并说明理由；②如图3，在 中， ， ，点 为 中点，点 在线段 上（点 不与点 ，
点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）相等；平行
（2）① ，详见解析；②
【分析】（1）由中点的定义可得 ， ，然后可证 ，然后根据全等三角形的
性质和平行线的判定定理即可解答；
（2）①延长 到T，使得 ，连接 ．先说明 、
，平行线公理得出 ，由勾股定理可得 ，然
后利用等腰三角形三线合一的性质得出 ，最后运用等量代换即可解答；②长 到T，使得
，连接 ，延长 交 于点J．再证 可得 ，再说
明 是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：结论： ，理由如下：．
如图1中，∵点O是线段 的中点，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：相等；平行．
（2）解：①结论： ．理由：延长 到T，使得 ，连接 ．
∵ ，
∴同理（1）可证 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图3中，延长 到T，使得 ，连接 ，延长 交 于点J．
∵ ，
∴同理可证 ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ．
∴ .
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、
直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键．
变式1-2．问题探究：
如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在 中， 是中线，求 的取值范围．他
的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解
决．请回答：
（1）小明证明 的判定理由是______；（填写“ ”或“ ”）
（2） 的取值范围是______；
方法运用：
（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连接 ，使得 ，延长 交 于点 ．
求证： ；（4）如图3，在 中， 为 的中点， ．求证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；
（2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算；
（3）延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质解答；
（4）延长 到 ，使 ，连接 、 ， ，得到 ， ，
再根据勾股定理解答．
【详解】（1） 是中线，
，
又 ， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ；
（3）证明：延长 到 ，使 ，连接 ．
∵ 是 的中线
∴
在 和 中∴
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（4）证明：延长 到 ，使 ，连接 、 ．
∵ 为 的中点
∴
在 和 中
∴
∴ ， ，
∵
∴ 垂直平分
∴
∵∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式1-3 如图，分别以 的两边 为腰向外作等腰直角 和等腰直角 ，其中
．
(1)如图1，连接 ．若 ，求 的长；
(2)如图2，M为 的中点，连接 ，过点M作 与 的反向延长线交于点N，连接 ，试
猜想 之间有何等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由已知易得 ，则 ；在 中由勾股定理即可求得 ，从而求
得结果；
（2）延长 到G，使 ，分别连接 ；易证 ，则有
，可得 ；由（1）知 ， ，设
交于点F，则可得 ，由平行可得 ，则由勾股定理及线段垂直平分线的性质可得
之间等量关系．
【详解】（1）解：∵ 和 均是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ；
∴ ；
（2）解： ；
证明如下：如图，延长 到G，使 ，分别连接 ；
∵M为 的中点，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由（1）知 ，
∴ ；
设 交于点F，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造全等三角形是本题的关键．
类型二、截长补短模型
例2．如图1，在四边形 中， ， 分别是 上的
点，且 ，探究图中线段 之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长 到点G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形 中， ，E，F分别是 上的点，且 ，
上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形 中， ，点M，N在边 上， ，若
，则 的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)24
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和
全等三角形．
（ ）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 和 ，根据全等三角形的
性质即可求解；
（ ）（ ）中的结论 仍然成立．如图 中，延长 至 ，使 ，连接 ，证明
和 即可求证；
（3）过点C作 ，垂足为点C，截取 ．连接 、 ，证明 ，再
证明 ，得到 ， ，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：（ ）中的结论 仍然成立．
证明：如图 中，延长 至 ，使 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，过点C作 ，垂足为点C，截取 ．连接 、 ．
∵ ，∴
∵ ，
∴ ，
在 和 中
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：24．
变式2-1（1）【问题发现】①如图1， 中， ， 为 边上的中点，连接 ．设
的面积和周长分别为 和 ， 的面积和周长分别为 和 ，则 ， ．（填“>”，“<”或
“ ”）
②如图2， 中， 、 是 边上的两点，若 ，则 与 的数量关系是 ．
（2）【问题延伸】如图3，四边形 中， ， ，若 的长度为6，求出
四边形 的面积．
（3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中
， ， ， ．现计划将点 处设置为公园的入口，在边上设置一个出口 ，并修建一条贯穿整个公园的小路 ．根据规划，要求小路 将整个公园分
成两块面积相同和周长相同的区域（即 与四边形 的周长和面积都相同），施工队能否按照规
划修建出这条小路？若能，请求出 的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）
【答案】（1）① ， ；② ；（2） ；（3）能，
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三
角形的性质，
（1）①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，进而得出 ，
，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）延长 至 ，使得 ，过点 作 交 的延长线于点 ，同（2）可得
，设 ，则 ， ，根据 得出 ，
根据勾股定理求得 ，根据（2）的方法求得面积，根据题意在 上取点 ，使得 ，根
据 将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出 ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：①∵ 中， ， 为 边上的中点，
∴ ，
设 的面积和周长分别为 和 ， 的面积和周长分别为 和 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
②设 边上的高为 ，
∵
∴
∴
即
（2）如图所示，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴
又∵
∴
在 中，
∴
∴ ，
∴
∴（3）能，
如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
同（2）可得
∴ ，
∴
∴ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，则 ，
设 ，则 ， ，
∴
又∵
∴
解得：
∴在 上取点 ，使得 ，
∵ ，
∴ 将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，则 即为所求，
由（2）可得
即
解得：
∴
变式2-2 如图，在四边形 中， ， ， ， ，
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发以每秒 速度沿着射线 运动，设运动时间为 秒，点 在射线 上，且
．
①如图1，若点E在线段 上，判断线段 之间的数量关系，并加以证明．
②在整个运动过程中，求 的周长（结果可用含 的式子表示）．
【答案】(1)(2)①它们的关系为 ．证明见解析；②当 秒时 周长为 ，当 时，
不存在；当 秒时， 周长为
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）由勾股定理直接求解；
（2）①如图1，延长 到点G，使 ，连结 ，先证明 ，再证明
，即可求解；②依题意得 ，记 的周长 ，则
，故 （I）当 秒时，点 在线段 上，点 在 上，由①
知 ，II）当 时，点 与点
重合， 不存在；III）当 时，点 在 延长线上，点 在 延长线上，如图2，在 上取点
G，使 ，连结 ，同理可得 ， ，
．
【详解】（1）解： ， ，
， ；
（2）解：①它们的关系为 ．理由如下
如图1，延长 到点G，使 ，连结 ，
又 ，， ，
，
又 ，
即
②依题意得 ，记 的周长 ，
， ，
，
（I）当 秒时，点 在线段 上，点 在 上，
由①知 ，
II）当 时，点 与点 重合， 不存在.
III）当 时，点 在 延长线上，点 在 延长线上，
如图2，在 上取点G，使 ，连结 ，
同理可得 ， ，
综上所述，当 秒时 周长为 ，当 时， 不存在.
当 秒时， 周长为 ．
类型三、一线三等角模型
B
A
D E
C
应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
例3 （1）问题发现：如图1，在 中， ，将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，在
射线 上取点D，使得 ，线段 与 的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，写出变化后线段
与 的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把线段 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出 ，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明 ，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作 延长线于 点，过 点作 ，交 于 点，交 于 点，结合“一线三垂
直”证明 ，从而利用全等三角形的性质求出 和 ，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
（2） ．
证明：同（1）可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图所示，作 延长线于 点，过 点作 ，交 于 点，交 于 点，
则 ， ， ，
由（1）同理可证， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键．
变式3-1 （1）【问题提出】如图1，在 和 中， ， ， ，
， 三点在一条直线上， ， ，则 的长度为________；
（2）【问题探究】如图2，在 中， ， ， ，且 ，求点 到
的距离；
（3）【问题解决】如图3，在四边形 中， ， ， ，
求 的周长．
【答案】（1）5；（2）点 到 的距离为3；（3） 的周长为
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是
作辅助线，构造全等三角形（ 型全等)．
（1）由 ，得 ，可证明 ，即得 ，
，利用勾股定理求出 即可；
（2）过 作 交 延长线于 ，由 ，得 ，即得
，可证明 ，得 ，据此求解即可；
（3）过 作 于 ，过 作 交 延长线于 ，由 ， ，得 是
等腰直角三角形，即得 ， ，根据 ，可得 ， ，
即有 ，即可证明 ，从而 ，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：5；
（2）过D作 交 延长线于E，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为3；
（3）过A作 于E，过B作 交 延长线于F，如图：
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的周长为 ．
变式3-2 如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在 中， ， ； 中，
， ．
(1)如图 ，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足
为点 ，请在图 中找出一对全等三角形，并说明理由；
(2)如图 ，当顶点 在线段 上且顶点 在线段 上时，过点 作 ，垂足为点 ，猜想线段
、 、 的数量关系，并说明理由；
(3)如图 ，当顶点 在线段 上且顶点 在线段 上时，若 ， ，连接 ，则 的面
积为 ．
【答案】(1) ，见解析(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）利用 、 互余， 、 互余可推得 ，再根据“角角
边”即可证明 ；
（2）由 、 互余， 、 互余推得 ，再根据“角角边”即可证明
，再根据全等三角形的性质即可推得 、 、 的数量关系；
（3）作 延长线交于点 ，同理证明 后，求得 垂线 的长度，根据
即可得解．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）解：猜想 ，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
在 和 中，，
，
， ，
，
．
（3）解：作 延长线交于点 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
中， ，，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型
的全等判定方法．
类型四、手拉手模型
应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。
例4．在 中， ， ， 是直线 上的一点，连接 ，过点 作 ，
交直线 于点 ．
(1)当点P在线段 上时，如图①，求证： ；
(2)当点P在直线 上移动时，位置如图②、图③所示，线段 ， 与 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)见解析
(2)如图② ，如图③【分析】（1）在 上截取 ，连接 ，可先证得 ，则 ，
，进而可证得 为等腰直角三角形，即可得证；
（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的 ， ，与 之间的数量关系．
【详解】（1）证明：如图1，在 上截取 ，
，
， ．
，
．
又 ，
，
， ．
．
在 中， ，
；
（2）解：如图2， ．
在 上截取 ，连接 ，
由（1）可知 ，
， ，
，在 中， ，
，
，
．
如图3， ．
延长 至点 ，使得 ，连接 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
变式4-1 如图所示，等腰直角 中， ．
(1)如图1，若 是 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连 ，求证： ；
(2)若 是 外一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，且 ，连结BD，猜想：线段
和 满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完
成证明；
(3)如图，若 是斜边 的中点， 为 下方一点，且 ， ， ，则
___________．
【答案】(1)见解析；
(2)图见解析， ；
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，从而得到 ，可证明
，即可；
（2）连接 交于点O，连接 ，根据旋转的性质可得 ，再证明 ，可得
，从而得到 ，进而得到 ，可得到 ，即可；
（3）过点O作 于点O，使 ，连接 ，并延长 交 于点Q，交 于点N，先证明 ，可得 ， ，从而得到 ，再由
，以及等腰直角三角形的性质可得 ， ，再由勾股定理求出
，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 交于点O，连接 ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点O作 于点O，使 ，连接 ，并延长 交 于点Q，
交 于点N，
∵ 是等腰直角三角形， 是斜边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定
理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，
利用类比思想解答是解题的关键．
变式4-2 如图，在 中，以 为边向外作等边 ，以 为边向外作等边 ，连接 、
．求证： ．
【知识应用】如图，四边形 中， 、 是对角线， 是等腰直角三角形， ，
， ，求 的长．
【拓展提升】如图，四边形 中， ， ， ，则
________．
【答案】证明见解析； ；
【分析】（1）要证 ，由于 ， 是等边三角形，故 ， ，只需要再
证明夹角 即可．
（2）要求 的长，根据已知条件以及第一问的启示，需要构造三角形，过点C作 且 ，
连接 ， ．证明 ，可将 的长转化为在 中求 的长，利用勾股定理即可解决．
（3）根据前两问的启示，已知 ，因此需要同样构造三角形，将角 和 并
在一起构造直角三角形．作 ，且 ，连接 ，然后利用三角形全等，以及角度的等
量替换即可解决问题．
【详解】（1）证明： ， 是等边三角形，
， ， ，
，
．
（2）解：过点C作 且 ，连接 ， ，则 ， .
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
在 中，
．
．
为直角三角形，在 中
,
，
，
（3）解：作 ，且 ，连接 ，如图所示，，
，
，
，
， ，
，且 ， ,
，
，
，
在 ，又 ，
为等腰直角三角形， ，
设 ，由于 ，则 ，
， ，
又 ，
，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的全等，勾股定理，根据图中已知条件，尤其已知条件中直角的信息，构
造适当的三角形，掌握转化和化归思想是解决问题的关键．1．如图，在 中， ， ， 是 外一点，连接 ，若
， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了余角性质，全都三角形的判定和性质，勾股定理，作 于 ，由余角性质可得
，进而可证 ，得到 ， ，设 ，则
，在 中，由勾股定理得 ，即得 ，再利用勾股定理即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作 于 ，如图所示，
则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．如图，在 中， 为中线，点F在 上，满足 ，连接 并延长交 于点E，若
则 的长为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，将三角形的中线延长一
倍，构造全等三角形是解决问题的关键．
延长 到 ，使 ，连接 ，过点 作 于点 ，依题意得 ，则
，证明 和 全等得 ，进而再证明 是等腰三角形得 ，则 ，由此可求出 ，然后再由勾股定理求出BP的长即可得出答案．
【详解】延长 到 ，使 ，连接 ，过点 作 于点 ，如图所示：
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
又∵ ，
，
∴ 是等腰三角形，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，在 中，由勾股定理得：
，
．
故答案为： ．
3．如图，在 中， ， 平分 ，点N为线段 上一点，连接 ，过点N作
交 于点D，连接 ．若 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，过 作 交 延长线于 ，先证明
，得到 ，再证明 ， ，即
可证明 ，得到 ， ，求出 ，最后根据
求解即可．
【详解】解：如图，过 作 交 延长线于 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图1，在 中， ，E为 上一点，D为 延长线上一点，且 ，
连接 ，并延长 交 于F．
(1)求证： ．
(2)若点N与C关于直线 对称，连接 ，连接 ．
①如图2，作 的角平分线 交 于点M，连接 ．判断 与 的数量关系，并证明
你的结论．
②如图3，若 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）依据 判定 ，再根据三角形内角和定理，即可得到 ，进而得出
；
（2）①依据 判定 ，即可得到 ，再根据（1）可得， ，
根据点 与 关于直线 对称，可得 ，进而得出 ，即可得到
；
②连接 ，过 作 ，交 于 ，根据 ，即可得出 ，再根
据 ，即可得到 ，最后在 中，依据勾股定理即可得到 的长．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
又 中，
∴ ，
又∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）① ．
证明：∵ 平分 ，在 和 中，
由（1）可得， ，
点N和点C关于直线 对称，
垂直平分
即 ；
②如图，连接 ，过 作 ，交 于 ，
由（1）可得， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 中， ．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，折叠的性质，
勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质的综合运用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，
依据全等三角形的对应边相等进行计算．
5．[方法储备]如图1，在 中， 为 的中线，若 ， ，求 的取值范围．中线
倍长法：如图2，延长 至点 ，使得 ，连结 ，可证明，由全等得到 ，从而
在 中，根据三角形三边关系可以确定 的范围，进一步即可求得 的范围．
在上述过程中，证明 的依据是______， 的范围为______；
[思考探究]如图3，在 中， ， 为 中点， 、 分别为 、 上的点，连结
、 、 ， ，若 ， ，求 的长；
[拓展延伸]如图4， 为线段 上一点， ，分别以 、 为斜边向上作等腰 和等腰
， 为 中点，连结 ， ， ．
①求证： 为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰 绕点 转至图5的位置（ ， ， 不在同一条直线上），连结 ， 为
中点，且 ， 在 同侧，连结 ， ．若 ， ，求 和 的面积之差．【答案】[方法储备] ， ；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；②
【分析】[方法储备] 由 得出 ，在 中，根据三边关系得到 ，
即可求解，
[思考探究] 延长 至点 ，使得 ，由 得出 ， ，从
而得 ，应用勾股定理求出 ，结合 垂直平分 ，即可求解，
[拓展延伸]
①延长 至点 ，使得 ，由 ，可得 ， ，由
， ， ，即可求证，
②延长 至点 ，使得 ，由 ，可得 ， ，导角得
，由 ，可得 ， ，作 ， ，
，通过勾股定理得到边长间的关系，代入 ，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中
线法”．
【详解】[方法储备]解：
在 和 中， ，
，
，
在 中， ，即： ，
，，
，
故答案为： ， ，
[思考探究]解：
延长 至点 ，使得 ，连结 ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，
在 中， ，
而 ， ，
垂直平分 ，
，
故答案为： ，
[拓展延伸]解：
①延长 至点 ，使得 ，连结 ， ，在 和 中， ，
，
， ，
，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
为等腰直角三角形，
②如图，延长 至点 ，使得 ，连结 ， ， ，
为 中点，同上“倍长中线”方法可得 ，
， ，
设 ，，
， ，
， ， ，
分别过 ， 作 ， ， ， 为垂足，
，
设 ， ， ， ，
， ， ，
解得 ，
，
，
故答案为： ．
6．【问题背景】
（1）如图1，点 是线段 ， 的中点，求证： ；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰 中， 是底边 上的高线，点 为 内一点，连接 ，延
长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，请判断 、 、 三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰 中， ，点 为 中点，点 在线段 上（点E不与点
，点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ，求 的长．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形．
（1）根据 证明 与 全等即可；
（2）连接 ，利用 证明 与 全等，可得 ， ，从而 ，
又 ，故 ，即得 ；
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，延长 交 于点 ，证明 是等腰直角三角形，即
可求出 的长．
【详解】（1）证明： 点 是线段 ， 的中点，
， ，
在 与 中，
，
，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
连接 ，如图：是等腰三角形， 是底边 上的高线，
，
在 与 中，
，
，
， ，
∴ ，
，
，
，
；
（3）解：延长 到 ，使得 ，连接 ，延长 交 于点 ，如图：
为 的中点，
，
在 与 中，
，，
， ，
∴ ，
，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
7．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．
（1）如图1， 和 均为等边三角形，点D为 边上一个动点， ，点O为 边中点，
连接 ，写出图中全等的三角形______．线段 的最小值______．
【问题探索】
（2） 是等腰直角三角形， ，点E是 上一点， ，交 于
D．①如图①试探究 数量关系，并给予证明；
②如图②，若 ，点F是 的中点，求 的长．
【灵活运用】
（3）如图3，四边形 中，对角线 相交于点E， ，
，求四边形 的面积．
【答案】（1） ， ；（2）① ，证明见解析；② ；（3）
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性
质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）连接 ，证明 ，得到 ，则 ，可得点E在射线
上运动，故当 时， 有最小值，此时 ，据此求解即可；
（2）①如图所示，过点C作 交 延长线与F，连接 ，证明 是等腰直角三角形，得到
，再证明 ， ，得到 ，则
，由勾股定理即可得到 ；②如图所示，过点C作 于G，则
，进而得到 ，再求出 ，由勾股定理得；
（3）如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，过点A作 于H证明
，得到 ，在 中， ，则
，可得 ， ，再由
即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，连接 ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在射线 上运动，
∴当 时， 有最小值，
∴此时 ，
∵点O为 边中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；（2）① ，证明如下：
如图所示，过点C作 交 延长线与F，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 由勾股定理得 ，
在 中， 由勾股定理得 ，
∴ ；
②如图所示，过点C作 于G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ；
（3）如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，过点A作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．8．【知识背景】
勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在 中， ，则
三边的数量关系满足 ；
【提出问题】
某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：
如图1，锐角 中，M是 的中点，N是线段 上的点，设 ，若 ， ，
则称k为勾股比．
【解决问题】
（1）如图2，若 ， ， ，当勾股比 时，求 与 的数量关系．
（2）如图3，在锐角 中，M是 的中点，N是线段 上的点，过点B、C作 的垂线，垂足分
别为P、Q，
①求证： ；
②若 ， 时，用勾股比k的代数式填空： （ ） ．
【答案】【知识背景】 ；
【解决问题】（1） （2）①见解析；② ；【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的内容并正确运用是解题的关键．
【知识背景】由勾股定理即可得： ；
【解决问题】（1）由等腰三角形的性质得 ，设 ，得 ， ，
；在 中， ，则得 ，即可求得
与 的关系；
（2）①证明 ，即可求解；
②由勾股比设 ，得 ， ， ；在 与 中，分
别由勾股定理得 ， ，两式相加，
再利用勾股定理即可求得 与 的关系．
【详解】解：【知识背景】由勾股定理得： ；
故答案为： ；
【解决问题】（1）解：∵ 是 的中点，
∴ ；
设 ，由 ，得 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ；
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）①证明：∵ ，
∴ ；
∵M是 的中点，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ；
②解：由勾股比设 ，得 ，
∴ ；
∵ 是 的中点， ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得： ①，
与 中，由勾股定理得： ②，
∵ ，
∴ ，
得， ；
在 中，由勾股定理得： ，
∴
；
∵ ，
∴ ，
∴
即 ．
故答案为： ．
9．综合与实践
【问题重现】
义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下
面是一道关于三角形的中线有关问题：
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．问题解决思路：延长 到 ，使得 ，连接 ，可证 （相当于将 绕点 顺
时针旋转 得到 ，把 ， ， 变换到 中，利用三角形的三边关系可得
，所以 ．根据上面信息，解决下面问题．
【问题变式】
如图2，点 ， ， 分别在 的边 ， ， 上， 是 边上的中点， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想；
【问题拓展】
（3）如图3，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在四边
形 的边 ， 上，且 ，连接 ．探索线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
【答案】（1）详见解析
（2） ，证明见解析
（3） ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的
关键．
（1）延长 至 ，使 ，证出 得到 ，再证出 ，得到
，再根据三角形的三边关系求解即可；
（2）根据全等的性质进行角的等量代换求出 ，再利用勾股定理求解即可；
（3）延长 至 ，使 ，证出 得到 ， ，通过角的等量代
换得到 ，推出 后即可求解．
【详解】解：（1）证明：延长 至 ，使 ，连接 ， ，如图所示：∵ 是 边上的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）猜想： ，
证明：由（1）可知， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，∴ ；
（3）答： ，
证明：延长 至 ，使 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 和 中：
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
