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专题 04 不等式（组）中含参数问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值..............................................................................................1
题型二、根据不等式的解集求参数......................................................................................................................2
题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围..............................................................................................5
题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围..........................................................................................6
题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围..................................................................................8
题型六、整式方程(组)与不等式结合求参数的问题..........................................................................................10
题型七、整式方程(组)与不等式组结合求参数的问题......................................................................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值
1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值
为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且
系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解．
根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于 的方程求解即可．
【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式，
∴ x 的指数 ，且系数 ，
解 ，得 ，即 或 ，
又 ∵ ，即 ，
∴ ．
故选A．
2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，
叫做一元一次不等式是解题关键．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．【详解】解：由题意可得： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（25-26七年级下·全国·周测）若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解.
【详解】解：由题意，得 且 ，
解 ，得 或 ，
当 时， ，不符合题意；当 时， ，符合题意.
故答案为：3.
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
利用一元一次不等式的定义列示求解即可．
【详解】解：由题意，得 且 ，
．
故答案为：1．
题型二、根据不等式的解集求参数
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式 的解集为 ，则m的值为
．
【答案】
【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定
解集相等，建立方程求解 即可．
【详解】解：解不等式 ，
移项得 ，
两边同乘 （不等号方向改变）得 ，
由于解集为 ，
因此 ，
解得 ，
，故答案为： ．
6．（25-26八年级下·全国·周测）关于 的一元一次不等式 的解集为 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负
数，不等号方向要改变的性质是解题的关键．
通过解不等式求出 的值，再代入表达式计算．
【详解】解：解不等式 ，
两边同乘以 得 ，
移项得 ，
两边同除以 得 ．
由解集为 ，得 ，
解得 ．
代入 得 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式 的解都能使不等式 成立，则
实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系
建立新不等式求参数是解题的关键．
先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，
第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，
去分母得 ，
化简得 ，
解得 ；
解不等式 ，
移项得 ，解得
因为不等式 的解都能使不等式 成立，
所以 ，
解得
故答案为 ．
8．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程 的解适合不等式 ，
则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于 的方程．
先求出方程的解，代入不等式求解即可．
【详解】解：∵ ，
解得： ，
∵方程 的解适合不等式 ，
∴将 代入不等式 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围
9．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知关于 的不等式 的最大整数解是3，则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查根据不等式的解的情况求参，熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键．
先解不等式，求得 ，再根据不等式 的最大整数解是3，得出 ，求解即可．【详解】解：解不等式得 ，
∵不等式 的最大整数解是3，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，不等式 恰有1个负整数解，则a的取值范围为
．
【答案】
【分析】先不等式的解集，后确定整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的解法，整数解的确定，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵
∴不等式的解集为 ，
∵不等式 恰有1个负整数解，为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式 有三个非负整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得 ，根据不等式的解集得出 ，再解出
，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵不等式 有三个非负整数解，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为：
12．（24-25六年级下·上海·期末）关于 的不等式 的解集中恰有四个非负整数，则 的范围
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可．
【详解】解∶解不等式 ，得 ，
∵不等式 的解集中恰有四个非负整数，
∴四个非负整数为0，1，2，3，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围
13．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）若不等式组 有4个整数解，则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，由不等式组解集的情况求参数，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
先求出不等式组的解集，再根据它有4个整数解，求出m的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ，
因为不等式组 有4个整数解，
所以这4个整数解只可能是3，2，1，0，
所以 ，
故答案为： ．
14．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于 的不等式组 恰好有三个整数解，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于 的解题的关键．求出不
等式组的解集，再根据该不等式组恰好有3个整数解，即可得出 的取值范围．
【详解】解不等式组
得： ，
∵该不等式组恰好有3个整数解，
∴该不等式组的整数解为 ，0．∴ ．
15．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组 的最大整数解和最小整数解的
差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ．
【答案】94
【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，
先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并
求和即可.
【详解】解：不等式组 ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集是 .
∴不等式组的最大整数解是9.
∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3，
∴最小整数解是6，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
则 .
故答案为：94.
16．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于 的不等式组 的解集中仅有2个整数解，则
的整数解之和为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键．
先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，
求和即得．
【详解】解： ，
解①，得 ，解②，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵不等式组的解集中仅有2个整数解，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ 取整数，
∴ ，
∴ 的整数解之和为 ．
故答案为：14．
题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围
17．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）若不等式组 的解集为 ， 则 的值为
．
【答案】8
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵不等式组 的解集为 ，
∴ ， ，
解得 ，
．
故答案为：8．
18．（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组： 无解，则a的取值范围是
．【答案】
【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，
得到关于a的不等式，进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵该不等式组无解，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
19．（24-25七年级下·四川广元·期末）如果不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查由一元一次不等式组解集求参数，由不等式组解集求法“同小取小”得到 ，
解不等式即可得到答案．熟记一元一次不等式（组）的解法是解决问题的关键．
【详解】解： 不等式组 的解集是 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
20．（24-25八年级上·浙江金华·月考）关于 的方程 的解是自然数，且关于 的不等式组
无解，则符合条件的整数 的值的积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用
表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出 的取值范围，结合方程的解为自
然数确定整数 的具体整数值，最后求出它们的积．
【详解】解：解方程 ，
，
为自然数，
，且 为 的倍数， 为奇数
，解不等式组 ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
不等式组无解，
，
，即 或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
故答案为： ．
题型六、整式方程(组)与不等式结合求参数的问题
21．（25-26八年级下·全国·期中）若方程 的解是非负数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于
等于 ，转化为一个一元一次不等式求解集的问题．
解方程得到 的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程 ，
移项得 ，
两边除以 得 ．
由于方程的解是非负数，即 ，
．
去分母得 ，
移项得 ，
解得 ．
故答案为： ．
22．（24-25七年级上·四川眉山·期中）关于 的方程 的解为负数，则 的取值范
围是 ．【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，先解一元一次方程得出，根据题意列出不等式，
解不等式，即可求解．
【详解】解：解关于 的方程 得
为负数，
解得：
故答案为： ．
23．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x，y的方程组 ，方程组的解x与y的和
不小于4，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题
的关键．先用 表示出 的值，再由x与y的和不小于4得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解： ，
，得 ，
，
，
，
故答案为： ．
24．（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组 ，若此方程组的解满足 ，则
m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次不等式，先利用加减消元法求得 ，
再根据已知得到关于m的不等式，然后解不等式即可求解．
【详解】解：将关于x，y的方程组 中的两个方程相加，得 ，
∴ ，
∵此方程组的解满足 ，
∴ ，解得 ，故答案为： ．
题型七、整式方程(组)与不等式组结合求参数的问题
25．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于 的方程 的解是整数，且关于 的不等式组
有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】28
【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关
键．
首先解方程得到 ，由解为整数可知 为奇数，再解不等式组，得到解集为 ，再由有
且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合 为奇数，得到 或 ，最后求和即可．
【详解】解：解方程 ，得： ，
∵解为整数，
∴ 为偶数，即a为奇数，
解不等式组 ，得： ，
∵关于 的不等式组有且仅有3个整数解，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵a为整数，且a为奇数，
∴ 或 ，
∴满足条件的整数a和为 ，
故答案为：28．
26．（25-26八年级上·重庆江北·月考）若数k使关于x的不等式组 无解，且使关于y的方程
的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无
解得出k的取值范围，解方程得出 ，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的
范围,据此可得答案．【详解】解： ，
解不等式①，得：
解不等式②，得： ，
∵不等式组 无解，
，
，
解方程 ，得 ，
∵关于y的方程 的解为整数，且 ，
或4或2或1或 或 或 ，
或7或5或4或2或1或 ，
则符合条件的所有整数k的和为 ，
故答案为：
27．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如果关于x的不等式组 的解集为 ，且整数
使得关于 ， 的二元一次方程组 的解为整数（ ， 均为整数），则符合条件的所有整数
的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．
根据不等式组的解集，可得 ，解二元一次方程组，结合解为整数，可得 或 或 ，从
而可得符合条件的所有整数 的和．
【详解】解： ，
由 得 ，
由 得 ，
∵关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，解关于 ， 的二元一次方程组 ，
得 ，
∵ ， 均为整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
∵ ，
∴ 或 或 ，
∴符合条件的所有整数 的和为 ．
故答案为： ．
28．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果关于x的不等式组 的解集为 ，且整数m使得
关于x、y的二元一次方程组 的解为整数（x、y均为整数），则符合条件的整数m的值有
．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并能
根据x、y均为整数确定整数 的值；
先解不等式组，结合其解集得出 ，再解方程组得出其解，结合解均为整数和 确定m的最终取
值．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
不等式组的解集为 ，
，
解方程组 ，得 ，
为整数， 为整数，
可取 ，
可取 ，满足 且 为整数的 的值为 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出 的值．
根据一元一次不等式的定义得出 ，求出 的值即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式 恰有两个负整数解，则b的取值可以是
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到 ，再根据恰有两个负整数解确定这两个
负整数为 、 ，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 不等式恰有两个负整数解
∴ 这两个负整数解为 、 ，
∴ ，
结合选项，只有 在该取值范围内；
故选：D
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先解方程求出 关于 的表达式，再根据解为负数列不等式求解.
【详解】解：解关于 的方程 得， ，
∵ 该方程的解为负数，
，即 ，
解得： ，
故选：C．
4．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的范围．先分别解出不等式组中两
个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同小取小”，结合已知的解集来确定 的取值范围．
【详解】解：解不等式组
∵解不等式①，得
解不等式②，得
又∵不等式组的解集是
根据“同小取小”的原则，要使两个解集的公共部分为 ，则
故选：A．
5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号 ，例如：
．若关于 的不等式组 ，恰好有4个整数解，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次
不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可．
【详解】解：∵定义 ，
∴第一个不等式转化为： ，
化简得： ，
即 ，
，第二个不等式转化为： ，
化简得： ，
，
，
则不等式组的解集为 ，
∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为 ，0，1，2，
，
不等式两边同乘7得：
解得： ．
故选：B．
6．（24-25八年级下·四川达州·期中）已知方程组 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①当 时，方程组的解也是方程 的解； ②当 时， ；
③ ； ④若 ，则 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，
注意方程与不等式的综合运用．用加减法解出方程组，根据x为正数，y为非负数，得出 ，求
出 ，然后对各个选项进行判断即可．
【详解】解： ，
得， ，
得， ，
∵x为正数，y为非负数，
∴ ，
解得： ，故③不正确；
②当 时， ，
解得： ，故②正确；③ 时，方程组的解为： ，
把 ， 代入 方程成立，故①正确；
④ 时， ，
解得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴此时 ，
即 ，故④不正确；
综上分析可知：正确的有①②．
故选：A．
二、填空题
7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）关于 的不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则
．
【答案】
【分析】本题考查了不等式，掌握不等式的解法、数形结合思想是解题的关键，解不等式可得 ，
由数轴可得 ，因此 ，可求出 的值．
【详解】解：由 得：
，
由数轴可得 ，
，
，
故答案为：2．
8．（24-25八年级下·四川成都·月考）关于x的不等式 是一元一次不等式，则a的值为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的概念得出 的值即可．
【详解】解：∵不等式 是一元一次不等式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．9．（2026七年级下·全国·专题练习）若关于x的方程 的解是不等式 的一个解，
则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的综合应用，掌握先分别求解方程和不等式，再根据
解的关系建立新不等式求参数范围是解题的关键．
先解方程得到 关于 的表达式，再解不等式得到 的取值范围，最后根据方程的解是不等式的一
个解，建立关于 的不等式并求解．
【详解】解：解方程 ，
得 ；
解不等式 ，
得 ；
由题意， ，
解得 ．
故答案为： ．
10．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组 ．若方程组的解满足
，则m的非正整数和为 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组
两方程相加得到 ，即 ，代入条件 得 ，解得 ，非正
整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可
【详解】解：∵ 方程组 ，
① + ② 得：
∴ ，
∵
∴
∴
∴
则m的非正整数为 ，
∴ ．
故答案为： ．11．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x的不等式组 有且仅有3个偶数解，且关于y的
一元一次方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组
和一元一次方程的一般步骤．
先解不等式组得到 ，再由不等式组有3个偶数解得到 ，接着解一元一次方程得到
，利用一元一次方程的解为非负整数和 得到 ， ， ，从而得到结果．
【详解】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且仅有3个偶数解，
∴这3个偶数解为 ，0，2，
∴ ，
解得 ．
解方程 ，
得 ，
∵方程 的解为非负整数，
∴ ，
解得 ，且a为偶数，
∴a的范围为 ，且a为偶数，
∴ ， ， ，
则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
故答案为： ．12．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知关于x、y的方程组 ．其中 ，给出下列结
论：① 是方程组的解：②若 ，则 ；③若 ；则M的最大值为5；④若
时，则 ；其中正确的有 ．（填写序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是
解此题的关键．
先解方程组，求得 ，符合 ，可判断①；把 代入 求得 ，可判断②；求得
，即可得到 随 的增大而增大，把 代入求得 的最大值，可判断③；当 时，求得
，则 ，即 ，可判断④．
【详解】解：解方程组 得 ，
当 时，则 ，解得 ，符合题意，故①正确；
当 时， ，解得 ，故②正确；
，
∴当 时 有最大值 ，故③错误；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题
13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于 的不等式组
(1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求 的值；
(2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元一次不等式（组），会解一元一次不等式是解答本题的关键；
（1）求出第一个不等式的解集，由解集相同得到 ，求出a的值即可；
（2）根据第二个不等式的解都是第一个不等式的解，可得到 ，求出a的范围即可．【详解】（1）解：由 ，得
，
∵不等式组 中的两个不等式的解集相同，
∴ ，
解得 ．
（2）∵不等式组 第二个不等式的解都是第一个不等式的解，
∴ ，
解得 ．
14．（21-22七年级下·江苏南通·月考）已知关于x，y的方程组 ．
(1)求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）；
(2)当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于 ；
(3)若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或0
(3)
【分析】本题为二元一次方程与不等式综合应用，考查了解含参数的二元一次方程组，解一元一次不等式
组等知识．
（1）利用加减消元法解方程组即可求解；
（2）由题意得到 ，解一元一次不等式组，再求出整数解即可；
（3）先根据三角形三边长为正数，求出 ，再根据三角形的三边关系列不等式组求出a的范围，进
而确定答案．
【详解】（1）解： ，
，得： ，解得： ，
把 代入①，得： ，
解得： ，
∴方程组的解是 ；
（2）解：∵方程组的解满足x小于3且y不大于 ，
∴ ，
解得： ；
∵a是整数，
∴ 或0；
（3）解：∵以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，
∴ ，
解得： ，
由三角形三边关系的得： ，
∴ ，
解得： ，综上所述， ．
15．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的
值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例如：已知方程 与不等式 ，当 时， 与 同时成立，则称 是
方程 和不等式 的“梦想解”．
(1)已知① ，② ，③ ，则方程 的解是它与不等式__________的“梦想
解”．（填序号）
(2)若关于 ， 的二元一次方程组 和不等式 有“梦想解”，求 的取值范围．
【答案】(1)③
(2)
【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知
识﹒
（1）解方程 得 ，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解；
（2）解二元一次方程组 得 ，进而求出 ，根据题意得即可得到
，从而求出求 的取值范围﹒
【详解】（1）解：解方程 得 ，
解不等式 得 ，故方程 的解不是不等式①的梦想解；
解不等式 得 ，故方程 的解不是不等式②的梦想解；
解不等式 得 ，故方程 的解是不等式③的梦想解﹒
故答案为：③；
（2）解：解二元一次方程组
得 ，
∴ ，
∵方程组 和不等式 有“梦想解”，
∴ ，
∴ ﹒
16．（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如： 的解为 ， 的解集为
，不难发现 在 的范围内，所以 是 的“子方程”．问题解决：
(1)在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的“子方程”
是 （填序号）；
(2)若方程 是关于x的不等式组 的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程 是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解
题的关键．
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
【详解】（1）解：① ，
解得： ，
② ，
解得： ，
③ ，
解得： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∴不等式组 的“子方程”是：①②，
故答案为：①②．（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
解方程 得， ，
方程 是关于x的不等式组 的“子方程”，
∴ ，
解得 ．
（3）解：解方程 ，得 ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组 的解集为： ，
∵关于x的方程 是不等式组 的“子方程”，
∴ ，
解得 ．
17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：若二元一次方程组的解中的所有数都是不等式（组）的
解，则称二元一次方程组被不等式（组）包含；否则称二元一次方程组不能被不等式（组）包含．如，方
程组 的解为 ，方程组 的解为 ，不等式 的解集为 ，因为0，2
都在 内，所以方程组 被不等式 包含；因为4不在 内，所以方程组 不能被不等式 包含．
(1)方程组 能否被不等式 包含？说明理由；
(2)若关于 的方程组 被不等式组 包含，求实数 的取值范围．
(3)关于 的方程组 不能被关于 的不等式组 包含，且此不等式组恰有2个整数解，
求 的取值范围．
【答案】(1)能，见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握包含的定义和分类讨论是解题的关键．
（1）求出方程的解和不等式组的解集，根据包含的定义进行判断即可；
（2）解不等式组得到 ，解方程组 得到 ，根据包含的定义得 解
不等式组即可得到答案；
（3）求出方程的解 后，根据包含，和不等式组恰有2个整数解进行解答即可．
【详解】（1）解： 能被 包含．理由如下：
解方程组 得到它的解为 ，
不等式 的解集为 ，
和 都在 内，
∴ 能被 包含；
（2）解关于 的方程组 得到它的解为 ，
解不等式组 得它的解集为 ，
被，
所以实数 的取值范围是 ．
（3）解方程组得 ，解不等式组得
设不等式的两个整数解为
则
∵存在 且不等式组有解
解得：
∵ 是整数
∴
∴
∵方程组不能被不等式组包含，
或
解得： 或 ，
又 ，
．
18．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称
此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程 是不等式 的“关联性
方程”，因为方程的解 可使得 成立；又如方程组 是不等式 的“关联
性方程组”，因为方程组的解 可使得 成立．根据以上信息回答问题：
(1)方程 ______（填“是”或者“不是”）不等式 的“关联性方程”；(2)已知关于x，y方程组 是不等式 的“关联性方程组”，求 的取值范围；
(3)已知关于 的不等式组 恰有5个整数解，且关于 的方程 是它的“关联性方程”，求
的取值范围．
【答案】(1)不是
(2)
(3)
【分析】本题考查了“关联性方程组”这一概念，其中包括方程（组）的求解，不等式（组）的求解，需
熟练掌握方程与不等式的解法，理解“关联性方程组”的概念推理未知数的取值范围是解决本题的关键．
（1）求解出方程 的解，将解代入不等式中验证即可；
（2）先由二元一次方程组的求解求解x和y，再由“关联性方程组”的概念将x和y的值代入不等式中即
可求解取值范围；
（3）先求解出不等式组的解集，由“关联性方程组”的概念将方程的解代入不等式组中求解b的取值范围，
再根据有“5个整数解” 可得 ，结合b有解，可得 ，从而得到k的整数解
为 ，即可求解．
【详解】（1）解：方程 的解为 ，
将 代入不等式 中，
有 ， ，
∴方程 的解不能使不等式 成立，
∴方程 不是不等式 的“关联性方程”；
故答案为：不是；
（2）解：关于x，y方程组 ，
由 可得 ，
两式相加可得 ，解得 ，
将 代入 可得 ，
∵关于x，y方程组 是不等式 的“关联性方程组”，
∴方程组的解满足不等式，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围为 ；（3）解：不等式组 ，解得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于 的方程 是不等式组的“关联性方程”，
∴ 满足不等式组，
即 ，解得 ，
∴ ，
∵关于 的不等式组恰有5个整数解，
∴可设5个整数解为 ，
∴ ，
解得： ，
∵b有解，
∴ ，
解得： ，
∴k的整数解为 ，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
综上所述， 的取值范围为 ．
