文档内容
专题 06 代数式与整式
考点一 列代数式 考点二 代数式的概念
考点三 已知字母的值，求代数式的值 考点四 已知式子的值，求代数式的值
考点五 程序流程图与代数式的值 考点六 单项式的判断及系数、次数
考点七 多项式的判断及系数、次数 考点八 整式的判断
考点一 列代数式
例题：（2022·全国·七年级单元测试）请用代数式表示“比 的 倍小 的数”：______
【答案】3a-1##-1+3a
【分析】a的3倍即3a，小1即-1，据此可得．
【详解】解：“比a的3倍小 的数”用代数式表示为：3a-1，
故答案为3a-1．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式训练】
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）某公园门票价格为成人票每张30元，儿童票每张15元，
若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费为_________．
【答案】（30m+15n）##（15n+30m）
【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．
【详解】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，
故答案为：（30m+15n）．
【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量＝总价，是列代数式的关键．
2．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）一个三位数，百位上的数字是2，十位上的数字是x，个
位上的数字是y，那么这个三位数可表示为______________
【答案】200+10x+y
【分析】根据三位数的列法即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个三位数可表示为200+10x+y．故答案为：200+10x+y
【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解三位数的列法．
考点二 代数式的概念
例题：（2022·全国·七年级课时练习）在式子 ， ， ，x， ， 中代数式的个数有
（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】根据代数式的定义判断即可得解．
【详解】解： 是不等式，不是代数式， 是等式，不是代数式；
代数式有： ， ， ， ，共有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义：用基本的运算符号把数或表示数的字母连
接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
【变式训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列式子 中，代数式有（ ）．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】利用代数式的定义分别分析进而得出答案．
【详解】解：代数式有： 共有4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、
减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．
2．（2021·甘肃兰州·七年级期中）有下列式子：①2；②2a；③ ；④ ；⑤ ；⑥
；⑦ ．其中代数式有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据代数式的定义，即可求解．
【详解】解：代数式有2； 2a； ； ； ，共5个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子
叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式是解题的关键．
考点三 已知字母的值，求代数式的值
例题：（2022·全国·七年级专题练习）已知a=-2.5，b=-4，则代数式 的值是__________；
【答案】-30
【分析】直接把a、b的值代入代数式求解即可．
【详解】解：∵a=-2.5，b=-4，
∴ ，
故答案为：-30．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，含乘方的有理数混合计算，熟知含乘方的有理数混合计算法则是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川广元·七年级期末）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相
反数等于它本身的数，则x﹣z+y﹣w的值是 _____．
【答案】0
【分析】先根据题意得，最大的负整数x为－1，最小的正整数y为1，绝对值最小的数z为0，相反数等于
它本身的数w为0，再进行计算即可得解．
【详解】根据题意得：x=－1，y=1，z=0，w=0，
则x－z＋y－w=－1－0+1－0=0．
故答案为：0．
【点睛】本题根据题意结合整数的分类和绝对值的知识，得到每个字母所代表的数，然后再进行有理数的
加减法计算即可．
2．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）（1）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的相反数是其本身，求 的值．
（2）已知 ， ， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据题意得 ， ， ，进行计算即可得；
（2）由题意可知， ， ， ， ，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的相反数是其本身，
∴ ， ， ，
∴ ；
（2）解：由题意可知， ， ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了代数式求值，解的关键是理解题意，正确计算．
考点四 已知式子的值，求代数式的值
例题：（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知代数式x-2y的值是3，则代数式-3x+6y+10的值是
____________．
【答案】1
【分析】由题意得x-2y=3，再将-3x+6y+10化成-3（x-2y）+10，整体代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y的值是3，即x-2y=3，
∴-3x+6y+10
=-3（x-2y）+10
=-3×3+10
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查代数式求值，将-3x+6y+10化成-3（x-2y）+10是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·朝阳市第一中学七年级期末）已知代数式 ，则代数式 的值是
______．
【答案】-2021【分析】依据题意得到 ，然后依据等式的性质得到 ，最后代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
＝
＝2-2023
＝-2021，
故答案为：-2021．
【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得 是解题的关键．
2．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知代数式x-3y的值是4，则代数式
（x-3y）2+2x-6y-1的值是__．
【答案】7
【分析】把 看作一个整体并代入代数式进行计算即可解出答案．
【详解】将 看作一个整体可得：
将 代入得：
故答案为：7．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
考点五 程序流程图与代数式的值
例题：（2022·安徽·定远县育才学校八年级期末）在如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为 ，
则输出的结果为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 代入 +3即可求解．
【详解】解：∵ ，为分数，
∴将 代入 +3，
得： ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据程序代入对应的代数式求值．
【变式训练】
1．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是
32，则满足条件的x值为（ ）
A．11 B．4 C．11或4 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意列出等式，进而可以求解．
【详解】解：由题意可得，
当输入x时，3x-1=32，解得：x=11，
即输入x=11，输出结果为32；
当输入x满足3x-1=11时，解得x=4，
即输入x=4，结果为11，再输入11可得结果为32，
故选：C．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键．
2．（2021·湖南永州·七年级期中）按下面的程序计算，若输入x的值为1，则输出的结果为___________．【答案】42
【分析】根据x(x+1)进行运算，当运算结果大于或等于10时，输出结果，即可得到答案．
【详解】解：当输入x的值为1时，x(x+1)=2，
当输入x的值为2时，x(x+1)=6，
当输入x的值为6时，x(x+1)=42，
，
输出的结果为42，
故答案为：42．
【点睛】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，理解程序流程图是解决本题的关键．
考点六 单项式的判断及系数、次数
例题：（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在代数式 ， 中，是单项式的
有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，即可求解．
【详解】解：单项式有 ， 共3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，
单独的一个数或字母也是单项式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）单项式 的系数为m，次数为n，则8mn的值为____．
【答案】
【分析】先判断单项式 的系数与次数，然后计算8mn即可．【详解】解：∵单项式 的系数为 ，次数为 ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查单项式的概念，掌握单项式的定义，会判断单项式的系数与次数的是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）在代数式 ， ， ，12， ， 中，单项式
有___________个．
【答案】3
【分析】根据单项式的定义，进行逐一判断即可．
【详解】解：在 ， ， ，12， ， 中，单项式有 ， ，12，一共3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫
做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的
指数之和叫做单项式的次数．
考点七 多项式的判断及系数、次数
例题：（2022·全国·七年级课时练习）在代数式 、1、 、 、 、 、 、
、 、 ，单项式有______个，多项式有______个．
【答案】 4 4
【分析】根据单项式与多项式的定义分析即可．
【详解】单项式：1， ， ， 共4个，
多项式： ， ， ， 共4个，， 不是整式．
故答案为：4，4．
【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不
含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或衣蛾字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．
【变式训练】
1．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心七年级期中）下列整式：① ；② ；③ ；
④0；⑤ ；⑥ ，其中单项式是__________，多项式是__________（填序号）．
【答案】 ①③④ ②⑤⑥
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；根
据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；进行判断即可．
【详解】解：属于单项式的：① ；③ ；④0；
属于多项式的有：② ；⑤ ；⑥ ，
故答案为：①③④；②⑤⑥．
【点睛】本题考查了单项式、多项式的定义，能熟记单项式、多项式的定义是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级单元测试）多项式 是______次______项式，其中三次项是______，二次
项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．
【答案】 三##3 三##3 0 5
【分析】根据多项式的次数、项、系数的定义写出即可．
【详解】多项式 是三次三项式，其中三次项是 ，二次项系数是0，一次项系数是5，常数
项是 ．
故答案为：三；三； ；0； ； ．
【点睛】本题考查了多项式的项数，系数，此时，掌握多项式的定义是解题的关键．多项式的每一项都有
次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”
或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
考点八 整式的判断
例题：（2022·全国·七年级单元测试）在代数式 ， ， ， ， ， ， 中，整式共有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据整式的定义，单项式和多项式都是整式，整式是指没有除法运算，或有除法运算但除式中不
含字母的有理式．
【详解】解：∵在代数式 ， ， ， ， ， ， 中，
， ， ， ， ，是整式，
∴整式共有5个
故选C
【点睛】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）对于下列四个式子：①0.1；② ；③ ；④ 其中不是整式的是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可．
【详解】解：①0.1；② ；④ 都是整式；
③ 分母中含有字母，不是整式；
故选：C．
【点睛】本题考查的是整式的概念，整式分为单项式和多项式，注意分母不能出现字母．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）在 ， ，0， ， ， 中，整式有
（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据整式的定义逐个分析判断即可求解，单项式和多项式统称为整式．
【详解】解：在 ， ，0， ， ， 中，整式有 ， ，0， ， ，
共5个，
故选C
【点睛】本题考查了整式的判断，掌握单项式和多项式统称为整式是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．a8 B． C．m﹣1元 D．1 x
【答案】B
【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进
行判定，即可求出答案．
【详解】A、数字应写在前面正确书写形式为8a，故本选项错误；
B、书写形式正确，故本选项正确；
C、正确书写形式为（m﹣1）元，故本选项错误；
D、正确书写形式为 x，故本选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而
成的式子叫做代数式．数的一切运算规律也适用于代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式，注意
代数式的书写格式是解答此题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）下列式子中： ， ， ， ， ，
整式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整式的定义判断即可．
【详解】-a是单项式，是整式；
为单项式，是整式；
是一个多项式，是整式；
不是整式，因为它的分母中含有字母；
是一个多项式，也是整式；
所以一共有4个整式；
故选:C
【点睛】本题考查整式的基本概念，单项式和多项式统称为整式．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式 的系数是 ，次数是2 B．单项式 的次数是3
C． 是四次三项式 D． 是二次单项式
【答案】C
【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、单项式 的系数是 ，次数是 ，则此项错误，不符合题意；
B、单项式 的次数是 ，则此项错误，不符合题意；
C、 总共有三项，项中次数最高的是4，所以它是四次三项式，则此项正确，符合题意；
D、 是二次二项式，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，熟记相关概念是解题关键．4．（2022·海南鑫源高级中学七年级期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．1 B．0 C．±1 D．2021
【答案】B
【分析】由非负数的性质先求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题主要考查的是非负数的性质以及乘方运算，掌握非负数的性质是解题的关键．
5．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运
算，若输入一个有理数 ，则可相应的输出一个结果 ．若输入 的值为 ，则输出的结果 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把x= 代入程序中计算，判断结果比0小，以此类推，得到结果大于0，输出即可．
【详解】解：把x= 代入运算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-5<0，
把x=-5代入运算程序得：（-5）×（-3）-8=15-8=7>0，
输出的结果y为7．
故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
二、填空题
6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）m与n的和的3倍可以表示为__________．
【答案】3（m+n）
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的和，再表示出和的3倍即可．
【详解】解：“m与n和的3倍”用代数式可以表示为：3（m+n）．
故答案为：3（m+n）．
【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
7．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）单项式 的次数是____，系数是____
【答案】 3
【分析】根据单项式系数和次数的定义即可求解．
【详解】解：单项式 的次数是3，系数是 ．
故答案为3， ．
【点睛】本题考查单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字
母的指数和叫做这个单项式的次数．
8．（2021·云南省元谋县第一中学七年级期中）已知
_______________
【答案】16
【分析】根据题意确定出 的值， 前两项提取3变形后，把 的值代入计算即可求
出值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：16．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则运用整体代入是解本题的关键．
9．（2020·四川乐山·七年级期末）已知3x2y|m|﹣（m﹣1）y+5是关于x，y的一个三次三项式，则代数式
2m2﹣3m+1的值等于 _____．
【答案】6
【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3．
【详解】解：由题意可知m﹣1≠0，即m≠1，
由3x2y|m|可知|m|＝1，即m＝±1，
∴m＝﹣1．当m＝﹣1时，原式＝2× ﹣3×(-1)+1＝2+3+1＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多项式的项和次数概念，并用代入法求值，解题关键是掌握多项式的项与次数的概念．
10．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）下列单项式： ， ， ， ，… ，
，…根据你发现的规律，第2011个单项式是______________．
【答案】
【分析】发现规律：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，第n个单项式的系数的绝对
值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，根据规律解答即可．
【详解】解：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，
∴第2011个单项式的符号为负，
第n个单项式的系数的绝对值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，
∴第2011个单项式的系数为-2011，幂为 ，
∴第2011个单项式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的
关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·七年级）观察下列各式：﹣a， a2，﹣ a3， a4，﹣ a5， a6，…
(1)写出第2014个和2015个单项式；
(2)写出第n个单项式．
【答案】(1) ；﹣
(2)(﹣1)n
【分析】（1）由单项式的排列规律即可求出第2014个和2015个单项式；
（2）由单项式的排列规律即可求出第n个单项式．
(1)解：由﹣a， a2，﹣ a3， a4，﹣ a5， a6，…
可得第n项的表达式为（﹣1）n ，
所以第2014个单项式为 ，第2015个单项式为﹣ ．
(2)
由单项式的特点可得第n个单项式为(﹣1)n ．
【点睛】本题考查数式规律题，发现单项式的排列规律是解题关键．
12．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，这是一个计算程序示意图．
(1)写出计算程序示意图所表达的代数式（不用化简）．
(2)化简（1）中的代数式，并求当 时代数式的值．
【答案】(1)
(2)x+1，2022
【分析】（1）根据框图列出代数式即可．
（2）化简代数式后代值计算．
（1）
由框图得： ．
（2）
原式 ．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，理解框图是求解本题的关键．
13．（2020·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）如图，在一个底为acm，高为hcm的三角形铁皮上剪去
一个半径为rcm的半圆．(1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积，并判断这个代数式是单项式还是多项式；
(2)求当a＝20，h＝15，r＝4时剩下的铁皮面积（π取3）．
【答案】(1) ah﹣ πr2，是多项式
(2)126
【分析】（1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果；
（2）把a＝20，h＝5，r＝4代入（1）中的代数式计算即可．
（1）
解：S ＝S ﹣S
阴影 三角形 半圆
＝ ah﹣ πr2，是多项式；
（2）
当a＝20，h＝15，r＝4，π＝3时，
S ＝ ah﹣ πr2
阴影
＝ ×20×15﹣ ×3×42
＝150﹣24
＝126．
【点睛】此题考查了列代数式，整式的判断，已知字母的值求代数式的值，正确理解图形面积的计算方法
列得代数式是解题的关键．
14．（2020·浙江温州·七年级期中）求代数式求值．
(1)若a-2b=4，求代数式3a-6b+9的值．
(2)当x=1时，代数式 的值是7，则当x=-1时，求这个代数式的值．
【答案】(1)21
(2)1
【分析】（1）将多项式3a-6b+9的前两项利用乘法分配律得=3（a-2b）+9，再将a-2b=4代入变形后的式子
即可求解；
（2）先将x=1代入多项式得 ，再将x=-1代入原多项式后即可求解．
（1）
解：∵a-2b=4，∴原式=3a-6b+9，
=3（a-2b）+9，
=3×4+9
=21．
（2）
当 时，
，
∴当 时
，
，
，
=1
【点睛】本题考查了求代数式的值，能够将已知式子的值整体代入所求代数式是解题的关键．
15．（2022·全国·七年级单元测试）已知多项式 是五次四项式，单项式 与
该多项式的次数相同．
（1）求m、n的值．
（2）若 ，求这个多项式的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据多项式 是五次四项式，可得 ，根据单项式 与该
多项式的次数相同可得 ，求解即可；
（2）根据 得出 的值，然后代入多项式中求解即可．
【详解】解：（1）∵多项式 是五次四项式，
∴ ，解得 ，∵单项式 与该多项式的次数相同，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ ， ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由（1）得这个多项式为： ，
∴
＝
＝
＝ ，
所以这个多项式的值为 ．
【点睛】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，
根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键．
16．（2022·全国·七年级）已知多项式 是关于 、 的四次三项式．
（1）求 的值；
（2）当 ， 时，求此多项式的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值；
（2）将x，y的值代入求出答案．
【详解】解：（1）∵多项式 是关于 、 的四次三项式．
∴ ， ，
解得： ；（2）当 ， 时，
此多项式的值为：
．
【点睛】本题主要考查了多项式以及多项式的求值，正确得出m的值是解题关键．
