文档内容
专题 06 全等三角形常考模型二
【知识点梳理】
模型一：对角互补模型
结论：∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD
作辅助线：分别过点C作CF⊥AO，CG⊥OB
模型二：半角模型
1、等边角形半角
作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG
结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF
2、正方形含半角
作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF
模型三：手拉手模型（模型特点：双等腰，共定点，顶角相等，旋转得全等）
已知：▲ABC，▲CDE为等边三角形，B，C，D三点共线
结论:1.▲BCE≌▲ACD（SAS）， ▲BCM≌▲ACN（ASA）， ▲ MCE≌ ▲NCD
（ASA）
2.BE=AD，BM=AN，ME=ND，CM=CN
3.▲CMN为等边三角形
4.AB∥CE，AC∥DE，MN∥BD，
5.∠APB=∠FPD=60°
6.CP平分∠BPD
已知:▲ABC，▲CDE为等腰直角三角形
结论：1.▲BCE≌▲ACD（SAS）
2.BE=AD,BE ⊥A D
1．（2019秋•土默特左旗期中）如图所示，已知PA＝
PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．2．（2019秋•潢川县期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）在图2中，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
3．（2020秋•硚口区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC+∠BDC＝180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE＝ ∠BAC且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等
量关系 ．
4．（2021秋•芜湖期中）在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝
90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数
量关系，并说明理由？5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于
C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF ＝6，求S△BEF 的值．
6．（2020•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、
CD延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．7．（2019秋•河北区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
8．（2020秋•增城区期中）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ ，AD、BE交
于点H，连CH． α
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：HC平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含 的式子表示）
α9．（2019秋•海安市期中）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，
点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否
变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？专题 06 全等三角形常考模型二
【知识点梳理】
模型一：对角互补模型
结论：∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD
作辅助线：分别过点C作CF⊥AO，CG⊥OB
模型二：半角模型
1、等边角形半角
作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG
结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF2、正方形含半角
作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG
结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF
模型三：手拉手模型（模型特点：双等腰，共定点，顶角相等，旋转得全等）
已知：▲ABC，▲CDE为等边三角形，B，C，D三点共线
结论:1.▲BCE≌▲ACD（SAS）， ▲BCM≌▲ACN（ASA）， ▲ MCE≌ ▲NCD
（ASA）
2.BE=AD，BM=AN，ME=ND，CM=CN
3.▲CMN为等边三角形
4.AB∥CE，AC∥DE，MN∥BD，
5.∠APB=∠FPD=60°
6.CP平分∠BPD
已知:▲ABC，▲CDE为等腰直角三角形
结论：1.▲BCE≌▲ACD（SAS）
2.BE=AD,BE ⊥A D
1．（2019秋•土默特左旗期中）如图所示，已知
PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．【答案】略
【解答】证明：过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，如图所示．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝∠3．
在△APE和△BPF中， ，
∴△APE≌△BPF（AAS），
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB．
2．（2019秋•潢川县期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）在图2中，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】略
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°∴AC＝2AD，AC＝2AB，
∴2AD＝2AB
∴AD＝AB
∴AD+AB＝AC．
（2）（1）中的结论AD+AB＝AC成立，
理由如下：如图2，在AN上截取AE＝AC，连接CE，
∵∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠DAC＝∠CEB＝60°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠ADC＝∠EBC，
∵在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC
∴DA＝BE
∵△CAE为等边三角形，
∴AC＝AE，
∴AD+AB＝AB+BE＝AE＝AC，
∴AD+AB＝AC．
3．（2020秋•硚口区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC+∠BDC＝180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE＝ ∠BAC且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等
量关系 ．【答案】（1）略 （2） DE ＝ DC + BE
【解答】（1）证明：延长DC至E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAD+∠BDC+∠ABC+∠DCA＝360°，
∴∠ABD+∠DCA＝180°，
∵∠ACE+∠DCA＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD为∠BDC的平分线；
（2）DE＝DC+BE．
延长DC至F，使CF＝BE，连接AF，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAD+∠BDC+∠ABC+∠DCA＝360°，
∴∠ABD+∠DCA＝180°，
∵∠ACF+∠DCA＝180°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠ADB＝ ∠BDC，∠DAE＝ ∠BAC，
∴∠ADB+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴DE＝DF，
∴DE＝DF＝DC+CF＝DC+BE，
即DE＝DC+BE．
4．（2021秋•芜湖期中）在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝
90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间
的数量关系，并说明理由？
【答案】EF＝BE+DF．
【解答】解：EF＝BE+DF．
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD−∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于
C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF ＝6，求S△BEF 的值．【答案】（1）略 （2）4
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴
∴∠ABO＝∠ACO＝90°
∵∠BOC＝90°
∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°
∴∠A＝∠BOC
∵C（0，4），A（4，4）
∴OC＝AC＝AB＝4
∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE
∴OF＝AE
在△COF和△CAE中
∴△COF≌△CAE（SAS）
∴CF＝CE．
（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，
则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°
∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°
∴∠GCF＝∠ECF
在△GCF和△ECF中
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∵S△ECF ＝6
∴S△GCF ＝6
∴S△ECA +S△OCF ＝6
∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形
∴S四边形OBAC ＝4×4＝16
∴S△BEF ＝S四边形OBAC ﹣S△ECF ﹣S△ECA ﹣S△OCF ＝16﹣6﹣6＝4
∴S△BEF 的值为4．
6．（2020•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】略
【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
7．（2019秋•河北区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
【答案】（1）EC＝BF，EC⊥BF （2）略【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．
（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【跟踪训练】1．（2020秋•天宁区校级月考）已知：如图，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＜
90°，求证：DB＝DC．
【答案】略
【解答】证明：DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中， ，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC＝DB．
2．（2020秋•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝
180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．
【答案】略
【解答】证明：
如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且
∠EAF＝ ∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．
【答案】略
【解答】证明：在CB的延长线上取BH＝DF，如图所示：
∵∠ABE+∠ABH＝180°，∠ABE+∠D＝180°，
∴∠ABH＝∠D，
在△ADF和△ABH中，
，∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∴∠BAD＝∠HAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝∠HAE＝ ∠HAF，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE＝EF，
又∵HE＝HB+BE，HB＝DF，
∴EF＝BE+DF，
∴DF＝EF﹣BE．
4．（2021春•碑林区校级期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD
＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中
线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长 FD到点G．
使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，
他的结论应是 EF ＝ BE + DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，
舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指
令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90
海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且
两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】略
【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD﹣ ∠BAD＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝ ∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
5．（2020秋•增城区期中）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ ，AD、BE交
于点H，连CH． α
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：HC平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含 的式子表示）
α【答案】（1）略 （2）略 （3）∠CHE＝ ∠AHE＝90°﹣
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝ ， α
∴∠ACD＝∠BCE， α
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴HC平分∠AHE；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠AHB＝∠ACB＝ ，
∴∠AHE＝180°﹣ ，α
α
∴∠CHE＝ ∠AHE＝90°﹣ ．
α6．（2019秋•海安市期中）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，
点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否
变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【答案】（1）略 （2）略 （3）∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
